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Tutorial sobre Crystals Sonic

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Vídeo 5

Bem-vindo à palestra 38 e nesta palestra faremos um Tutorial sobre Cristais Sonic; assim, obtemos um melhor entendimento. Assim, alguns números de números resolvidos estarão lá para o tópico de cristais sonic. Então, vamos começar com o primeiro problema para esta semana em particular.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 00:43)

Então, aqui nós estamos dando cilindros de aço estão sendo organizados; então, aqui o cilindro de aço. Então, isso dá a vista superior do cristal sonic. Então, senão eles são cilindros e eles têm uma seção transversal triangular equilátero. Então, esta é a seção transversais destes cilindros de aço, eles estão dispostos em um formato de lattice de 2D quadrados. Então, o que significa que essa distância aqui é de 10 centímetro e essa distância aqui é de 10 centímetro.
Então, a constante de lattice que é igual à distância entre esses centros é a mesma na direção vertical e horizontal e temos que encontrar o que é a fração de enchimento deste e de cristal sonic. Então, esta é uma questão pura de geometria. Então, vamos resolver isso. Então, se nós levarmos uma unidade de repetição primária; assim, podemos encontrar a unidade de repetição primária desta célula como esta praça particular aqui. Então, eu estou levando essa. Então, qualquer coisa dentro desta praça se repetida pode criar o cristal inteiro. Então, essa é a unidade de repetição primária que eu tomei, caso contrário você também pode pegar essa unidade.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 01:47)

Então, ou isso pode ser tomado ou até mesmo essa unidade pode ser tomada, você pode descobrir uma espécie de célula Wigner-Seitz que lhe dará essa quantidade. Então, isso pode ser tomado ou isso pode ser tomado. Para esta; obviamente, a fração de enchimento pode facilmente ser encontrada, será a fração de enchimento para o cristal sonic é dada por volume de espaço ocupado por estes espalhadores divididos pelo volume de espaço ocupado pelo material geral. Então, se você pode pegar uma célula primitiva; assim, ela pode ser esta ou esta.
Então, em que tal como ele como pode ser representado? Ele pode ser representado como o que for; assim, aqui não há essa mudança na outra terceira dimensão, apenas na visão superior sua mudança.
Então, podemos reduzirá-lo para área; assim, temos área ocupada por triângulos divididos por área ocupada pela praça. Então, a partir disso o que você recebe é que este será:

área de 1 triângulo área de 1 quadrado

E, sabemos já qual é o lado do quadrado e do triângulo, o lado do quadrado tem 10 centímetro e o lado do triângulo é de 5 centímetros.
Então, isso é de 10 centímetro quadrado todos os lados são iguais e este é um triângulo equilátero de 5 centímetros. Então, usando isso você pode descobrir o que é a fração de enchimento. Então, muito facilmente ele pode ser encontrado. Então, eu vou te explicar o mais difícil. Portanto, se o seu bem se escolher a unidade de repetição como diretamente a célula Wigner-Seitz. Então, é muito fácil calcular a fração de enchimento, mas e se você tomava esta é a célula unitária?
Então, pode haver muitas células de tal unidade, mas apenas uma célula Wigner-Seitz. Então, vamos ver se você escolheu este então também você vai chegar na mesma conclusão. Então, o que você vai receber é que; assim, esta é a área ocupada pela porção triangular dividida pela área da praça.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 03:47)

Por isso, aqui área da praça é deixar-nos dizer uma é a constante de lattice que é a distância entre os centros so, que se torna o lado da praça. Então, se torna um quadrado.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 03:57)

Agora, se você ver qual é a área geral ocupada pelo triângulo. Então, aqui você tem isso, esta é a primeira porção, segunda porção, terceira e quarta. Quando você se junta a todas essas porções juntas ela lhe dá o triângulo completo, este é um triângulo equilátero que está passando por seu centroide. Então, isso se torna igual à área de 1 triângulo completo. Assim, escolher qualquer uma das células unitárias lhe dará os mesmos resultados, você pode escolher a célula Wigner-Seitz ou pode escolher uma célula unitária diferente.
Então, qualquer uma unidade de repetição você leva e você pode então criar a sua solução. Então, vamos descobrir qual é a área de 1 triângulo equilátero. Por isso, digamos r é o comprimento de borda da seção transversais do espaldador. Então, esta é uma seção transversal do espalhador, digamos que o comprimento de borda é r e é assim, triângulo equilátero. Então, aqui a altura do triângulo equilátero é h. Então, isso é 90 grau e isso é 60 grau.
Então, o que é que se torna? Pelas relações trigonometria o que obtemos é: h = r sin o. Então, será r
Terreno 3 2 e a área do triângulo será a metade na altura na metade em qualquer que seja a altura no comprimento da base e a base é r aqui, h pode ser representada como r Terreno 3 2
. Então, usando esta expressão o que você ganha é o 3 4 r 2, isto torna-se a área do

seção triangular.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 05:29)

Então, a fração geral de enchimento para o cristal sonic é o quê? É a área ocupada pelo triângulo dividido por área ocupada pela praça dentro da unidade de repetição. Por isso, quando você faz isso, esta é a expressão que você acaba com; aqui r sendo o comprimento da borda da seção transversais do espaldador.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 05:49)

Então, isto é o que você tem acabar e sabemos que este r nos é dado é 5 e um é
10. Então, se eu voltar para a questão só mais uma vez. Então, aqui este tem 5 centímetros, o comprimento lateral de um triângulo e para o quadrado é de 10 centímetros. Então, quando você coloca esse valor aqui nesta expressão ele é:

ff = ar 3 4
× (5 10) 2
= 0,11

Então, isso é o que você ganha; então, isso se torna a fração de enchimento. Então, esse é o resultado final.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 06:19)

Então, esta foi uma pergunta, agora vamos falar de outra questão aqui. Então, aqui esta é a pergunta que nos é dada é, aqui esta figura mostra uma porção de um latrolo recíproco. Então, anteriormente nós tínhamos um latrolo direto; então, era simplesmente o que é a visão superior daquele arranjo de cristal sonic. Agora, temos um latrolo recíproco e que nos é dado e como você disse apenas uma pequena porção é dada aqui e o mesmo padrão continua em toda a direção.
Então, é um grande latroeiro quadriculado, tenho que encontrar o que é aquilo que é a área da zona de Brillouin e qual é a área do IBZ. Então, esta é também uma pergunta muito fácil e reta. Então, se você conhece o conceito de zona de Brillouin e IBZ, você pode descobrir. Por isso, digamos que este é o latrolo recíproco que nos é dado e as constantes latas em ambos os rumos são dadas como 8 e 8.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 07:13)

Então, é por isso que se trata de um latrolo quadrado. Assim, você pode encontrar a zona de Brillouin exatamente a maneira como eu expliquei algumas palestras antes. Então, você pode simplesmente desenhar bisectores perpendiculares; então, para esta coisa em particular estes são os vizinhos. Então, estes são estes são aqueles 8 vizinhos que circundam esta unidade, este lattice, este ponto de lattice particular. Por isso, neste momento temos esses 8 vizinhos, para cada vizinho você pode ver quais serão aqueles pontos que estão mais próximos de realmente este ponto comparado ao seu vizinho. E, similarmente você pode continuar desenhando e desenhando e vai acabar com uma praça.
Então, isso foi o mesmo que isso já vem sendo repetido na palestra anterior então, nós tiramos diretamente a zona de Brillouin para o latroio quadrado. Então, isso vem à tona para ser a zona Brillouin. Por isso, aqui como você pode ver deixe-nos descobrir qual é o comprimento. Então, isso é 8 e 8. Então, qual será o comprimento dessa praça em particular? Então, aqui você tem a maneira que você desenhou é este é o próximo vizinho, de forma semelhante esta é a próxima vizinha, este é o próximo vizinho, e este é o próximo vizinho. E, esta linha é uma espécie de bisectar estas linhas juntando-se ao centro.
Então, esse comprimento deve ser igual a este comprimento. Então, esses dois comprimentos são iguais e agora sabemos que esse comprimento total é de 8 centímetros certo; então, esta é a metade deste comprimento. Então, isso será de 4 centímetros e essa coisa daqui para o centro aqui, esse comprimento será de 4 centímetros e da mesma forma que este onde esta linha também é desenhado como bisectar essas duas linhas. Então, se esse comprimento total aqui também o comprimento total for de 8 centímetro; assim, este será de 4 centímetro e este comprimento aqui será de 4 centímetros.

E assim por diante, com a mesma lógica esse comprimento também virá a ser de 4 centímetros e esse comprimento superior também vai sair a ser de 4 centímetros. Então, o que você recebe aqui é que; assim, esta é a zona de Brillouin e este é o IBZ. Então, eu vou apenas desenhar a zona de Brillouin aqui primeiro.
Então, a zona de Brillouin que você obtém é como um ponto de latrolo e um volume de espaço que o envolve, para criar um tipo quadrado de área e o comprimento aqui é de 4 centímetro, 4 centímetro e 4 centímetro e este também é 4 centímetro e 4 centímetro.
Então, isso se torna um quadrado de lado = 4 + 4 que é igual a 8 cm. Então, ele é o mesmo lado que o valor da constante latroca. Então, nesse caso qual será a área dessa zona de Brillouin? Será simplesmente a área desta praça que vai ser de 8 × 8 cm2 que vai ser. Então, aqui eu tenho escrito centímetro, mas aí eu percebo que nenhuma unidade foi fornecida para nós; então, não vamos colocar as unidades.
Então, eu removi as unidades de todos os lugares. Então, são apenas algumas unidades; poderiam ser medidores, poderiam ser centímetros; por isso, algumas mesmas unidades de escolha foram dadas então, é isso que conseguimos.
Então, ele se torna:

área de BZ = 8 × 8 = 64 unidades

E, agora, vamos descobrir qual é a área do IBZ ou da Zona de Brillouin Irredutível.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 11:15)

Então, o que a gente vê aqui é que, esta foi a praça e a área desta é 64 unidades é a área total da praça. Agora, para reduzir mais isso e remover toda a simetria um IBZ foi desenhado e se você pode ver aqui, se você desenhar essas linhas como essas assim, foi assim que eu trafei as linhas. Portanto, obviamente, então este é 1 IBZ e esta porção é simétrica a esta porção acima. Então, este é o segundo e esta porção é simétrica a esta, isto é simétrico a esta, isto é simétrico a este, este e este.
Assim, obtemos 8 porções de área simétrica do IBZ fará 1 zona de Brillouin completa. Por isso, se repetimos este IBZ 8 vezes toda a zona de Brillouin pode ser criada. Portanto, a área do IBZ será o quê? Será:

área do IBZ = 1 8
× área de BZ = 1 8
× 64 = 8 unidades

Então, foi uma pergunta simples e direta, desde que você saiba como criar zona de Brillouin e zona de Brillouin irredutível. Então, deixe-me apenas ir diretamente para a solução.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 12:55)

Então, esta é a solução: área para a zona de Brillouin é de 64 unidades e área para a zona de Brillouin irredutível é de 8 unidades. Por isso, neste tutorial em particular estou apenas resolvendo as porções de cristal sonic até as lacunas da banda. E, então na próxima aula vamos estudar alguns, alguns dos outros conceitos relacionados ao cristal sonic e eu resolvo uma questão de design. Então, para esta aula em particular resolvemos apenas até o teorema do Bloch.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 13:25)

Então, a terceira questão aqui é dada é para o teorema de Bloch. Então, vamos dizer que esta é a questão aqui. Então, novamente temos alguma lattice de cristal sonic, agora esta é na verdade um latrolo direto, este não é um latrolo recíproco e eu tenho que o quê; então, este é o tipo de arranjo. Então, aqui estes são os vários espalhadores e este é o meio fluido e é assim que os espalhadores sônicos são dispostos ou alguns metais, as hastes de metal são arranjadas.
Então, o que eu tenho que encontrar é que qual é o período da onda Bloch, que é gerada ou o período da onda acústica geral. A onda bloch é simplesmente uma onda acústica que é governada pelo teorema do Bloch. E, agora também descobrimos que não a onda não é regida apenas pelo teorema de Bloch, mas também é regida pelo fato de que B e ρ se tornam negativos em determinadas frequências. Então, a onda geral pode ser chamada como uma superposição do teorema do Bloch.
E, a onda governada por uma onda governada pelo teorema de Bloch e a onda governada pelo teorema de ressonância local que lhe dará a vaga completa. Mas, se você só leva onda de Bloch em conta ou a onda que é tipicamente governada pelo teorema de Bloch, então o que eu tenho que encontrar é: qual é o período da onda acústica que é gerada quando uma frente de onda de avião é incidente ao longo do eixo X eixo Y e do eixo XY? Por isso, três direções diferentes são dadas a nós, essas três direções ao longo dessas três direções.
Então, quando a onda é incidente ao longo de X qual será o período da onda? Se for incidente ao longo de Y o que será o período e assim por diante.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 15:01)

Então, vamos resolver aqui. Então, aqui isso mostra uma onda típica de Bloch onde a sua onda de primeiro modo Bloch onde temos a maxima ocorrendo no centro do espalhador e a minima ocorrendo no centro do espaçamento entre os espalhadores. Agora, para resolver isso usaremos uma propriedade da onda Bloch que diz que todos os modos de Bloch; assim, a propriedade da onda Bloch afirma que os modos Bloch que são criados ou gerados em um cristal periódico, digamos aqui neste caso este se torna um cristal sonic, ele terá a mesma periodicidade espacial.
Assim, a onda repetirá-se repetindo seu padrão após a mesma distância espacial que o padrão em que a estrutura está repetindo o seu. Assim, a distância após o qual; assim, a mesma distância após a qual a estrutura repete seu padrão, na mesma distância a onda também repetirá o seu padrão.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 16:43)

Assim, a periodicidade da onda e a periodicidade da estrutura serão as mesmas. Por isso, com esta propriedade vamos agora resolver qual é o período para as três direções. Então, parte (a) eu tenho que encontrar é o que é o período em que a onda é incidente ao longo do eixo X, então o período espacial do incidente de onda Bloch ao longo do eixo X. Então, quando a onda incidente está.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 17:11)

Então, deixe-me reescrever esta frase aqui. Então, aqui o período espacial da onda Bloch quando incidente de onda, a onda que é incidente no cristal é ao longo do eixo X. Esse período será igual ao que é a periodicidade do cristal ao longo do eixo X, a frente de onda de avião é incidente aqui como sabemos e uma frente de onda de avião vai criar ondas de avião harmônico dentro do cristal. E, a direção de propagação será a mesma fornecida este cristal não cria flexão.
Por isso, nesse caso seja qual for a periodicidade do eixo do cristal ao longo de X lhe dará a periodicidade da onda quando a incidência acontecer ao longo do eixo X. E, qual é a periodicidade do cristal ao longo do eixo X? Então, se você vê aqui a periodicidade qual é a distância depois da qual esse acerto específico repete o padrão? Então, qual é a distância aqui? Este vai ser 4/2, este próprio vai ser assim, é um raio; assim, o diâmetro é 4.
Então, esta será essa distância será de 4/2, esta será 4/2 e esta será 5, isto é o que nos é dado. Assim, a periodicidade total ou o comprimento após o qual o padrão se repete vai ser: 4 2
+ 5 + 4 2
= 9 unidades

Então, esse é esse comprimento que nós tivemos que encontrar quais encontramos. Então, este é o assim, este é igual ao λ no eixo X. Agora, similarmente podemos resolver para as outras duas direções.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 19:07)

Então, eu não vou explicar mais; assim, diretamente eu vou escrever a solução. Portanto, periodicidade espacial; agora, vamos descobrir qual é o comprimento após o qual o padrão se repete na direção vertical que este é diretamente dado a você que é de 10 unidades. Então, essas 10 unidades vão nos dar o comprimento de onda ao longo do eixo Y, agora o terceiro está ao longo do eixo XY.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 20:01)

Então, de novo o quê; então o que eu posso escrever aqui é que este eixo XY é na verdade 45 graus para este eixo horizontal aqui; assim, este é o chamado como eixo XY. Então, será igual ao que é o período ou a periodicidade do cristal nesta direção em particular e como resolvemos?
Então, aqui deixa eu pegar esse caso particular aqui. Então, é assim que o arranjo é e essa distância aqui é 9 e essa distância é de 10; então, eu só vou escrever 10 aqui.
Então, isso é como um, este é o tipo de distâncias entre os dois, nas duas direções e este é o e este vai ser o padrão. Então, esta é a distância que temos que encontrar, esta é a periodicidade em XY. Então, este é o comprimento após o qual o padrão se repetirá ao longo desta direção. Então, vai ser muito facilmente encontrado usando o teorema de Pitágoras. Então, esta será:

comprimento da diagonal = comprimento 9

2 + 102 = 13,45 unidades

Assim, você fica com o comprimento após o qual a onda está se repetindo. Então, isso se tornará o comprimento de onda ao longo do eixo XY proporcionado a incidência acontece puramente ao longo do eixo XY.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 22:13)

Então, isso é para resumir os resultados: período espacial da onda Bloch no cristal sonic ao longo do eixo X é este 9 unidades, o eixo Y é de 10 unidades e XY é de 13,45 unidades.
Por isso, com isso eu gostaria de encerrar esta palestra em particular e vê-lo para a próxima palestra.
Obrigado.