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Fundamentos de Crystals

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Bem-vindo à palestra número 35 na série sobre Materiais Acústicos e Metamateriais. É a última palestra desta semana e tivemos início a nossa discussão na última aula sobre o cristal sonic. Então, foi uma palestra sobre Introdução aos Cristais Sonic. Por isso, nesta aula vamos continuar com nossa discussão sobre alguns dos Fundamentos relacionados a Cristais. Por isso, já estudamos alguma terminologia como no que se entende por um cristal, o que se entende por um latício ou um latro-cristal, então quais são os dois tipos diferentes de arranjos possíveis etc.
Por isso, nesta aula começaremos com uma discussão sobre o que se entende por um espaço real e um espaço Recíproco e depois seguido por que haverá relacionados a um espaço real, temos um latrolo Real ou um latrolo direto e relacionado ao espaço recíproco, temos um latrolo recíproco.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 01:23)

E então concluiremos nossa discussão com o que se entende por uma zona de Brillouin e uma zona de Brillouin Irredutível e estes dois conceitos são muito importantes porque a partir de agora quando estudamos sobre cristais sonoros, por isso toda a resposta que é estudada para os cristais sonoros só será estudada na Zona de Brillouin Irredutível.
Sendo assim, essa é a zona dentro da qual serão estudadas as características de resposta de todos esses cristais. Então, o que se entende por um espaço real? Então, primeiro de tudo um latro-direto. O que é um latício direto? Trata-se de um latrolo; a estrutura de latrolo físico ou o latrolo de cristal físico que temos discutido. Até agora isso é o latroamento direto ou o que pudermos ver no real no espaço real que a estrutura de cristal ou latroamento cristal é a latroa direta.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 02:13)

Por isso, o latrolo direto é estudado no espaço real. Então, o que se entende por um espaço real? Agora sabemos que sabemos que um espaço típico consiste nas três dimensões espaciais, bem como uma dimensão temporal. Então, um espaço real consiste em três dimensões espaciais ortogonais. Então, se você está tomando independentemente de que tipo de sistema você está estudando, por isso, digamos que você escolhe sistema de coordenadas cartesianas.
Por isso, nesse caso você terá três dimensões especiais independentes. Ele será o eixo X, o eixo Y e o eixo Z, são todos de três. Eles são mutuamente perpendiculares uns aos outros e mutuamente independentes uns dos outros. Da mesma forma, digamos que você escolhe um sistema de coordenadas esféricas.
Nesse caso, qualquer ponto pode ser representado; a localização de qualquer ponto pode ser representada por três coordenadas independentes que é a; (R, o, φ). Portanto, aqui R é simplesmente a distância radial a partir da origem e é o ângulo que a reflexão, é o ângulo que o reflexo do ponto faz com o eixo X, e φ é o ângulo que o vetor radial do ponto faz com o plano XY. Então, nós estudamos sobre o que é um sistema esférico ou o que é um sistema de coordenadas cartesianas.
Então, seja qual for o sistema que seguimos nós para qualquer um por qualquer objeto, o local pode ser totalmente descrito pelas três coordenadas espaciais e por uma quarta dimensão que é o tempo. Então, nós temos a coordenadoria de tempo espacial e isso constitui um espaço real.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 04:03)

Por isso, todas as coisas que temos estudado para o nosso látice de cristal como o que é a forma de cristal, qual é o tamanho da forma e a dimensão do cristal, quais são as várias direções de periodicidade, as várias constantes de latício até mesmo as propriedades como modulo a granel e densidade, tudo isso tem sido estudado em um espaço Real.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 04:25)

Mas também podemos estudar a propagação Wave em um espaço real. Por isso, logo no início deste curso na palestra 1, eu lhe disse que qualquer propagação de onda específica especificamente uma propagação de onda Acústica pode ser descrita como uma variação periódica no espaço e no tempo.
Portanto, se for soma deixe-nos dizer se é uma onda em pé, então isso se torna uma variação periódica ao longo do tempo, mas sobre o espaço ele permanece constante. Da mesma forma que temos, mas as ondas acústicas típicas são ondas de viagem porque estão se propagando e transferindo a energia sonora da fonte para o receptor. Então, são as ondas de viagem e a onda de viagem típica é então uma perturbação que pode ser mostrada como uma variação periódica sobre o espaço e o tempo.
Assim, a propagação de ondas pode ser representada no espaço real como este. Assim, você tem a variação da pressão acústica sobre o espaço e um parâmetro importante que você recebe é o comprimento de onda que é a distância sobre o espaço ou a distância espacial sobre a qual a onda está repetindo seu padrão. Assim, quando o representa e vê-se o que é como a onda está variando sobre isso, sobre qualquer uma da dimensão espacial. Assim, quando você tiver três dimensões espaciais deixe-nos dizer X Y e Z e você obtiver e você criar uma onda 3D, então ele terá um comprimento de onda associado à direção X, um comprimento de onda associado à direção Y e um comprimento de onda associado à direção Z.
Assim, através de todas essas dimensões espaciais individuais você obtem um parâmetro específico que é chamado como um comprimento de onda. Da mesma forma a onda pode ser representada ao longo do tempo de dimensão.

Então, é como uma variação periódica ao longo do tempo. Então, se você ver nesta figura aqui e aqui o parâmetro que obtemos é um período de tempo. Então, aqui a onda está repetindo seu padrão ao longo deste período de tempo. Então, este é aquele comprimento no eixo do tempo ou a distância ao longo da dimensão de tempo sobre a qual o padrão de onda se repete. Apenas da mesma forma a distância sobre a qual o padrão de onda se repete na dimensão espacial, obtemos um comprimento de onda e através de uma dimensão temporal, obtemos um período de tempo.
Então, é assim que a onda está no espaço real, mas também estudamos que o justo saber o conhecimento de como ele está variando sobre o espaço e o tempo não é suficiente. De fato, que componentes de frequência ele compreende e como a magnitude ou a potência variam sobre a frequência ou o que você em geral chama como espectro de frequência de potência é ainda mais importante porque a maioria dos aplicativos de controle de ruído, eles significa que eles usam o ouvido humano e o ouvido humano é altamente freqüente seletivo. Por isso, um conhecimento sobre o componente de frequência se torna muito importante. Por isso, se algum sinal sonoro estiver disponível para você, por isso, digamos em qualquer aplicativo de controle de ruído você adquire algum sinal sonoro e esse sinal sonoro será o sinal sonoro no espaço real.
Assim, será um sinal sonoro variando sobre o espaço e o tempo, a dimensão espacial e o tempo, mas você converte esse sinal sonoro em um novo domínio que é o domínio do número de frequência e onda. Então, você faz uma transformação de Fourier. Por isso, se você quer estudar a propagação da onda em ainda mais detalhes, então apenas adquirir um sinal não é suficiente. Você às vezes tem que estudá-lo em um framework diferente usando transforme de Fourier, para que você possa obter uma informação mais detalhada do que são os componentes de frequência individual e quais são os vários números de ondas ou vetores de propagação de ondas. Então, isso cria a necessidade de usar um espaço recíproco.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 08:25)

Por isso, dentro dos cristais também nos deixam dizer que estamos estudando a propagação da onda no cristal, então podemos estudar a propagação da onda no espaço real normal que é a dimensão espacial na época, mas também podemos criar um espaço recíproco. Então, o que temos é que temos um cristal ele pode ser representado em um novo framework por completo e esse novo framework mostrará a relação de como a onda está se propagando sobre as diferentes frequências e sobre a diferente espécie de números de ondas.
Assim, o espaço recíproco pode ser pensado como é equivalente a fazer uma transformação de Fourier do espaço real. Então, para obter uma análise mais detalhada da propagação de ondas, podemos estudá-la fazendo uma transformação de Fourier do espaço real. Então, esse é um framework que é usado para estudar propagação de ondas e ele é construído usando a recíproca das dimensões originais do espaço real.
Por isso, como um nome sugere é espaço recíproco o que significa que o que quer que fosse o espaço real, utilizamos recíproco das dimensões. Então, nós retribuímos as quantidades para obter uma nova espécie de framework onde estudamos a propagação da onda e este novo framework irá lhe dar informações mais detalhadas sobre os componentes de frequência da onda.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 09:53)

Por isso, agora sabemos que o espaço real ele compreende de três dimensões espaciais ortogonais X, Y, Z e o eixo do tempo. Portanto, se você tem que pensar em um espaço recíproco, portanto, para um espaço recíproco você precisará de algum reverso da dimensão espacial e algum recíproco da dimensão temporal para algo. Portanto, as dimensões para o espaço recíproco, portanto, aqui as dimensões de um espaço recíproco podem ser três dimensões ortogonais onde a unidade é proporcional a 1 pela dimensão espacial, 1 pela dimensão espacial, da mesma forma.
Então, estes e ele pode compreender de uma dimensão cuja unidade é a diretamente proporcional à recíproca do tempo. Por isso, estamos usando a recíproca das quantidades que é usada no espaço real para conseguir um novo framework. Agora, sabemos de dois parâmetros importantes que foi comprimento de onda e período de tempo no espaço real. Então, se nós retribuirmos o comprimento de onda que é 1 λ e depois adicionar 2π a ele.

Por isso, 2π λ como você sabe é um número muito importante que é o número de onda ou o vetor de propagação. Da mesma forma você pode fazer 2π T que lhe dá a frequência angular que é novamente o ω, um parâmetro muito importante para uma onda. Sendo assim, uma escolha ideal poderia ser que criemos um espaço recíproco usando o ω e k como as dimensões. Então, o que você recebe aqui é isso. Então, o espaço recíproco típico é criado usando as três dimensões de número de ondas ortogonais.

Então, com cada um que há nos deixe dizer que tínhamos x eixo y e z, então correspondente a cada direção temos um vetor de propagação de ondas individuais. Por isso, lá temos um vetor de propagação de ondas ao longo da direção x, um vetor de propagação de ondas ao longo da direção y, e um vetor de propagação de ondas ao longo da direção z. Então, você tem kx, ky e kz. Estes são os três componentes independentes do total de k vetor.
Então, estes são kx, ky e kz; kx, ky e kz. Então, estes são os três vetores de ondas individuais ou números de ondas e eles representam as três dimensões de número de ondas ortogonais. Então, estas são três primeiras três dimensões são kx, ky e kz e a quarta dimensão é então 2π T que

é a dimensão de frequência angular Assim, quando esta forma de enquadramento é utilizada onde se tem espaço k, onde se tem um espaço recíproco que compreende o espaço de k-k. Então, você tem em vez de ter a localização espacial e o tempo, agora você está usando o que é a frequência e o número da onda e você está representando as várias ondas em termos dessas coordenadas, então isso se torna um espaço recíproco que também é chamado como espaço de k − k ou simplesmente o espaço k.
Então, agora você sabe por que usamos o espaço recíproco, é para obter análise mais detalhada dos componentes de frequência e propagação da onda. Por isso, o mesmo latício que estudamos na direta; no espaço real pode então ser convertido em um espaço recíproco.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 13:49)

Então, vamos estudar latroalete direto que sabemos que é o latício representado no espaço real.
Agora cada lattice pode ser pensada como alguma repetição de um bloco de construção primário.
Então, você e aquele mesmo bloco de construção quando ele é repetido usando algumas operações simétricas como se ele é traduzido ou ele é rotacionado ou ele é refletido sobre algum eixo, ele pode criar o cristal inteiro, de modo que a unidade primitiva se torna a célula primitiva da unidade ou simplesmente o bloco primitivo de construção do sistema de cristal.
Agora, se sabermos; se sabemos como ocorre a propagação da onda nessa célula primitiva específica e sabemos que isso é porque um latrocío é na verdade um arranjo periódica, é um arranjo periódica ordenado muito forte. Assim, se podemos descobrir o que é a zona mínima ou o mínimo, o principal, a menor unidade de repetição que em repetição está criando o cristal inteiro, então em seguida podemos estudar.
Assim, em vez de estudar a propagação da onda sobre todo o domínio do cristal, podemos apenas estudar a propagação da onda sobre esta unidade de repetição e podemos refletir ou podemos simplesmente podemos simplesmente traduzir ou refletir os resultados sobre o outro sobre nós podemos ficar refletindo, para que obtenhamos os resultados sobre o cristal inteiro so apenas para reduzir o tempo de cálculo em como calcular.
Por isso, às vezes você usa MATLAB ou às vezes você usa alguns métodos de elemento finito para computar ou muitas outras ferramentas numéricas para computar como a onda deve se propagar dentro de diferentes cristais. Assim, você pode reduzir o tempo de cálculo se você reduzir a zona computacional. Então, em vez de agora estudar por todo o cristal, você pode simplesmente estudar dentro de uma pequena unidade de repetição e então você sabe que o resultado que estamos obtendo para esta unidade de repetição será simétrico porque o cristal é simétrico, a unidade de repetição pode ser simetricamente, muitas unidades simétricas podem ser arranjadas para obter o cristal inteiro.
Então, o resultado será o mesmo para o cristal. Então, seja qual for o resultado que você obtenha dentro de uma unidade primária, ele pode ser então usado para criar a solução para o cristal inteiro. Por isso, para reduzir o tempo de cálculo às vezes apenas a propagação de ondas é estudada dentro da célula da unidade primária.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 16:19)

Então, qual é a definição? A definição formal desta célula unitária primitiva, é a célula de volume mínimo que corresponde a um único ponto latício de uma estrutura que pode ser utilizada para criar o cristal inteiro utilizando algumas operações simétricas como tradução, rotação e reflexão.
Por isso, é o volume mínimo da célula com apenas um ponto de lattice que pode atuar como unidade de repetição para criar o cristal inteiro e outra forma de definirá-lo pode ser o locus de pontos em um espaço mais próximo desse ponto latício.
Então, suponhamos que tenhamos um cristal, escolhemos um ponto e queremos e queremos criar uma célula unitária primitiva em torno de que um ponto de lattice, então será o locus de todos os pontos que estão mais próximos desse ponto de lattice específico do que a qualquer outro ponto lattice e já que este tipo de célula particular que criamos é chamado como célula Wigner-Seitz. Então, ela é batizada em homenagem aos cientistas que o descobriram e propuseram essa ideia de Wigner e Seitz.
Por isso, a célula da unidade primitiva às vezes também é chamada como a célula Wigner-Seitz.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 17:29)

Então, isso mostra esse diagrama aqui mostra quais são as diferentes unidades primitivas. Então, digamos que você tem um arranjo cúbico, então você tem um latrolo cúbico, então um latrolo cúbico poderia ser primeiro arrombado em seu latrolo de Bravais. Então, o latrolo cúbico lhe dará uma estrutura cúbica.
Então, esta é a célula unitária do latrolo cúbico e dentro desta célula unitária também podemos quebrá-lo para obter o que é a unidade de repetição que contém apenas em um ponto de lattice. Então, digamos que tenhamos escolhido isso como ponto latício, então temos que descobrir o volume do espaço ou de todo o locus de pontos que estão mais próximos desse ponto latício do que em qualquer outro ponto. Então, se você vir o avião aqui, isto é brincadeira, este está a meio caminho nesta direção em particular.
Então, aqui quaisquer pontos dentro desta zona, eles estarão mais próximos deste átomo em particular do que ao outro átomo adjacente no topo. Da mesma forma se você ver o espaço este aqui este espaço, ele também está a meio caminho. Este avião está a meio caminho para esses sites; comprimento lateral. Então, qualquer um so todos os pontos que se encontram dentro deste particular entre este ponto, ponto de lattice e o plano.
Então, todos esses pontos aqui que estão dentro do ponto latício e do avião, estarão mais próximos desse ponto de lattice em comparação com este ponto latente adjacente e da mesma forma que você pode continuar construindo tais aviões e você finalmente encontra um volume de espaço que é um cubo em si e ele passa, ele passa a meio caminho entre todas essas linhas. Então, é a metade do caminho. Assim, as linhas estas são as linhas de ligação dos pontos latrotes adjacentes dos pontos latos. Então, a meio caminho entre isso você tem aviões e dentro disso você pode obter um cubo.
Então, isso nos mostra a unidade de repetição primitiva para uma estrutura cúbica. Da mesma forma como você pode obter alguma célula Wigner-Seitz ou uma célula de repetição primitiva ou a primária primitiva o que chamamos de célula unitária primitiva, isso vem à tona ser este. Por isso, sempre o que você faz é escolher um determinado ponto de lattice e ver qual poderia ser o volume de espaço que é o que contém os pontos que estão mais próximos a este e não a qualquer outro ponto da lattice e então você cria um volume de espaço que se torna a unidade de repetição primária que na repetição pode criar toda a estrutura do lattice. Assim como temos a célula primitiva da unidade, também temos outro parâmetro que é chamado como um vetor primitivo de lattice.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 20:19)

Então, esses são aqueles vetores independentes que definem todas as direções de periodicidade em uma célula unitária. Por isso, digamos e o ponto para os locais adjacentes na trítice, portanto, digamos que temos alguns. Por isso, é melhor mostrá-lo na duas dimensões para uma melhor visualização. Por isso, digamos que temos sistema de latro-quadrado 2D.
Então, esses dois; esses dois vetores se tornarão os vetores de latroes primitivos porque você pode ver que há uma periodicidade ao longo da direção horizontal e de uma periodicidade ao longo da direção vertical. Então, podemos escolher um ponto como o ponto de lattice ou o ponto de lattice primitivo e, em seguida, temos os vetores que se unem ao centro desta origem a este ao centro do próximo ponto latício adjacente.

Então, este é o comprimento que o comprimento será igual à distância entre os centros de dois pontos de lattice adjacentes ou pares de latroes. Então, isso é o que você recebe e eles correspondem às direções individuais em que a variação periódica está acontecendo da mesma forma que você pode para um latrolo hexagonal. Você recebe estes como os vetores primitivos de latroes e pode dizer que qualquer outra repetição.
Então, há uma repetição acontecendo nesse sentido, há uma repetição acontecendo nesse sentido e também há uma repetição nesse sentido este, mas este pode ser representado como uma combinação das duas primeiras direções. Então, isso não é independente. Então, nós só temos duas direções independentes aqui. Então, estes são os vetores de latcação que é simplesmente a direção sobre a qual a variação periódica está acontecendo e eles são independentes.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 21:59)

Então, essa é uma espécie de sistema de coordenadas para um latrolo direto. Agora, vamos chegar à lattice recíproca e estudar os mesmos termos na latrocia recíproca. Então, o que é um latício recíproco? Trata-se simplesmente do latrolo que é construído no espaço recíproco e como construímos um latrolo recíproco.
Por isso, digamos que temos a1, a2 e a3 como vetores de lattice primitivos de um latício direto. Então, no caso anterior tínhamos um sistema 2D. Então, nós tínhamos apenas dois vetores de lattice, mas se temos um sistema de lattice 3D, então teremos três vetores de tal lattice a1, a2 e a3 e se fizermos essas operações de transformação, então obteremos os vetores primitivos de lattice para o latrolo recíproco e então baseado em que você pode criar a lattice recíproca.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 22:53)

E esta ação é obviamente é que acontece de ambas as formas. Então, o que você quer dizer com isso é que para cada latrolo direto haverá um latício recíproco que será único assim e o vice-versa. Da mesma forma como nos deixemos dizer o exemplo de transformada de Fourier eu vou dar de novo. Por isso, digamos que você teve um sinal real em x e t para x, y, z e t.
Então, era uma função de p como uma função de x, y, z, e t você fez uma transformação de Fourier e conseguiu sinal no espaço recíproco. Então, você tem algum p em função de c e k, você novamente faz uma transformação de Fourier. Então, o que você obterá é que você voltará a obter o sinal real de volta que será p como função de x, y, z e t.
Então, o que você faz é que se você fizer essa operação duas vezes, você recebe o sinal real de volta. Da mesma forma vamos dizer que você cria um latrolo recíproco de um latrolo recíproco, então você obterá o latrolo direto. Então, se a mesma transformação for novamente feita aos vetores de latroes recíprocos, você recebe os vetores de latcação direta.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 24:05)

Assim, verificou-se nesses estudos de cristais é que um simples cúbico gera um simples latício recíproco cúbico, o rosto centrado gera corpo centrado, o rosto centrado no corpo-centrado e hexagonal gera outro latrolo hexagonal como o latrolo recíproco.

Então, a forma para cúbicos hexagonais e simples permanece a mesma. As dimensões vão obviamente mudar as que serão regidas por essas equações de transformação, mas a forma será a mesma.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 24:35)

Agora, o último conceito nesta palestra em particular é a zona Brillouin. Então, assim como nós tínhamos uma célula unitária primitiva ou uma célula Wigner-Seitz para um latro-líni direto, então agora temos um latício recíproco. Se você descobrir o que é a célula Wigner-Seitz para este latício recíproco que será a sua zona de Brillouin.
Então, primeiro você tem um cristal, você converte em seu latrolo recíproco e depois descobre qual é a unidade de repetição mínima com apenas um ponto de lattice. Então, isso vai dar a zona Brillouin. Então, o que podemos fazer é que nos deixe dizer que queremos estudar a propagação da onda em um cristal. Podemos reduzir o cristal em sua zona de Brillouin apenas para reduzir o tempo de cálculo e podemos estudar a propagação da onda somente dentro da zona de Brillouin e com base no conhecimento que obtemos que pode ser transferido para criar o in para obter o conhecimento do que está acontecendo em todo o cristal.
Por isso, apenas estudando uma pequena zona podemos obter o conhecimento do que está acontecendo em todo o cristal. No entanto se você ver essas zonas Brillouin aqui, elas também estão com simetria.
Então, a própria zona de Brillouin pode ser reduzida ainda mais e mais para baixo, de modo que obtenhamos a menor zona que podemos estudar e recriar o resultado para o cristal inteiro.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 25:57)

Então, isso dá o conceito de zona de Brillouin Irredutível. Por isso, a zona de Brillouin que estamos obtendo também pode ser simétrica na natureza. Assim, podemos cortar as zonas nas várias porções de simetria e obter a menor unidade que na repetição vai criar a zona Brillouin e esta zona Brillouin em repetição vai criar o cristal inteiro.

Por isso, o IBZ é um conceito muito importante porque a partir de agora, quando estudamos sobre a resposta de cristais sonoros, veremos sempre a resposta no no no um do eixo será o IBZ ou a Zona de Brillouin Irredutível porque o como o propagado de onda só será estudado na Zona de Brillouin Irredutível do cristal sonoro e que pode dar a ideia do que estará acontecendo em toda a Brillouin de cristal. Então, isso é apenas para reduzir o tempo de cálculo e salvar; salvar o tempo de cálculo e a complexidade dos resultados.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 26:55)

Por isso, digamos que se este é um cristal particular, esta será esta a zona muito pequena que é simétrica e que na repetição está a criar a zona Brillouin; portanto, este é o IBZ. Então, continuaremos esta discussão sobre zona de Brillouin irredutível, então continuaremos adiante para discutir sobre lacunas de banda na próxima palestra.
Então, obrigado por ouvir.