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Module 1: Conceito de Stress

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As direções principais são as direções taisque nenhum frasto de cisalamento age nos planos normais a esta direção. Como vimos que seeu considero o plano perpendicular ao X1, novamente este avião, então se eu considerar estescomponentes de tensão Sigma 11 e ao longo desta direção porque este é o stress normal,nenhum stress shear agindo ao longo de Sigma 11.Então, portanto se eu considerar um plano perpendicular a X1, o Sigma 11 é um stress principal perpendiculara esse plano. E porque X1, X2 e X3, estes 3 são meus quadros de coordenadas em um sistema cartesiano, portanto Sigma 11, Sigma 22 e Sigma 33 são as minhas principais direções também, ao longo dea direção em que está trabalhando.Em 3 dimensões, deve haver três direções como vimos que são mutuamenteperpendiculares e podem ter valores iguais ou diferentes. Aprendemos o que seria o significadose eles são iguais e o que é o significado se forem diferentes. Assim, o estresse atuando ao longo deas direções principais, isso significa sua magnitude ao longo das principais direções quesão componentes de estresse essencialmente normais são conhecidos como principais tensões. Assim aprendemosprincipais frisa que outras magnitudes e aprendemos direções principais quesão as direções ao longo das quais as principais tensões fazem ato ou fazem trabalho.Agora completamente principais tensões e direções principais elas são conhecidas como principais eixosde estresses. As principais direções e os principais estresses são comumente referidos juntoscomo ele é escrito aqui como principais eixos de estresses. Agora se eu considerar um sistema tridimensional, então é bastante óbvio que eu teria três estresses principais e euteria três direções principais. Portanto, ao todo, requer seis componentes para determinar o estadode eixos principais de tensões que atuam sobre um corpo.Agora como vimos no diagrama anterior, que se este Sigma 11, Sigma 22 e Sigma33, quais são os componentes normais alinhados ao longo dos eixos principais de tensões, se issoacontece, isso significa se o cubo da unidade sob tensão está alinhado perfeitamente para que as principais tensõesestejam alinhadas ao longo dos 3 eixos do sistema de coordenadas, então podemos definir esteSigma 11 como Sigma 1 que é a magnitude de eixos principais de tensão ao longo da direção X1, Sigma 22 como Sigma 2 e Sigma 33 como Sigma 3.Então, portanto, ele dá três vetores de tensão principal: Sigma 100, Sigma 020 e 00 Sigma3. Agora eu a escrevi como uma espécie de aqui como matriz de linha, mas geralmente elas aparecem como matriz de coluna.Então, se eu escrevo Sigma 100 e assim por diante, então três vetores de tensão trabalhando em três diferentesaviões, onde Sigma 1, Sigma 2 e Sigma 3 são tensões normais e ao longo dessas direçõesnão há estresse enshear agindo sobre os aviões perpendiculares a Sigma 1, Sigma 2 e Sigma3.Agora se este cubo unitário que estamos considerando não está alinhado, isso significa que as bordas desse cubos de unidadenão estão alinhadas a o sistema de coordenadas, então não podemos simplesmente substituir a Sigma11 por Sigma 1 e assim por diante. Temos que calcular o que seria o Sigma 1, qual seria oSigma 2, o que seria Sigma 3 primeiro para obter os eixos principais, tensões principais. Eentão temos que buscar as direções principais. Isso significa primeiro as direções, primeiro esta direção, as magnitudes e depois as direções.Então, vamos para outro tópico muito importante desse assunto de estresse que sempre consideramos,particularmente em geologia estrutural que é o estresse isotrópico e desviante. E você poderealmente decompor seu tensor de estresse, o tensor de estresse geral para o isotrópico ouàs vezes chamamos de matrizes de estresse hidrostático e desviado ou tensores de tensão.Agora o que é estado isotrópico de estresse? Como ele define que está escrito aqui, onde as principais tensõessão iguais em magnitude, o estado de tensão é considerado isotrópico ouhidrostático. Isso significa que a magnitude do Sigma 1, Sigma 2 e Sigma 3 são iguais, mas é claro queeles são mutuamente perpendiculares uns aos outros.No tensor de tensão, portanto agora se eu tiver Sigma 11, Sigma 22, Sigma 33 todos são iguais, entãoeu posso substituí-los por um único valor. Neste caso o que eu fiz foi o Sigma 0. Ok,assim todos os outros componentes são 0, você tem apenas três tensões principais, tenha magnitude similar.Agora se o tensor de tensão todos os componentes diagonais, isso significa que os componentes de tensão shear são0 e em componentes diagonais não são iguais, isso significa que você não tem nenhum estresse shearatuando mas seu Sigma 1, Sigma 2 e Sigma 3 não são iguais entre si.Então você pode realmente obter algo que é chamado de stress médio. Um estresse médio é na verdadea soma dos eixos principais das tensões divididas por 3 ou é a média ou do em componentes diagonaisdá-lhe o stress normal médio. Portanto, se eu tiver valores não iguais, aquiSigma 11 não é igual a Sigma 22, não é igual a Sigma 33, nesse caso eu posso resumi-los,e depois dividi-los por 3 e, portanto, eu consigo algo chamado Sigma 0 e isto eu possoseparar e então pode escrever a matriz de tensão também desta forma.Então todos os outros componentes que não são isotrópicos na matriz de tensão ou tensão tensor de tensãocom ou sem shear stress componentes exceto as tensões normais média são consideradas comodeviatoric estresses. Assim você pode escrever desta forma. Ok, então isso é escrito sem shearcomponente de estresse e você também pode adicionar seus componentes de estresse de compartilhamento, desculpe, não este.Então, seus componentes em diagonais e fora componentes diagonais estão trabalhando aqui. E estas sãotensões desviatórias onde você tirou o stress médio Sigma 0 que na verdade foi Sigma11 mais Sigma 22 mais Sigma 33 dividido por 3.Então este é o seu componente de estresse desviado. Então em geral, se eu considerar o estresse geralmatriz Sigma i j eu posso decompô-lo em dois tensores de tensão. O primeiro eu vim manterapenas os componentes diagonais, mantendo todos os valores diagonais iguais que dariamvocê o tensor de tensão isotrópico. E o tensor de estresse desviado é o que for restante ese você somá-los, você obterá o seu total tensor de tensão.Então quais são os significados de estresses isotrópicos e desviantes? Agora estresses isotrópicoscomo podemos entender que todos os valores são iguais. Suas magnitudes são iguais. Por isso, as tensões isotrópicassão, em sua maioria, responsáveis pela mudança de volume. Pode ser positivoou negativo, dependendo da direção em que está funcionando. Mas não altera a forma inicialdo volume de rochas em consideração.O estresse desviante por outro lado, mede a partida do tensor de tensãoa partir da simetria e, portanto, que significa, não considera a parte simétrica deela. Ok, portanto, o estresse desviante é responsável pela estirpe ou distorçãodo corpo e, portanto, ele altera a forma do corpo.Agora, às vezes, usamos poucos termos diferentes como pressões Lithostáticas ou pressões de Sobrecargo.Então estressa em rochas a profundidade que são isotrópicas e devidas unicamente às massas de rochas sobrementistas.Isso significa que se eu estiver a 600 quilômetros então eu tenho uma enorme pilha de 600 quilômetro de rochasacima de mim ou eu tenho do grão que você está olhando. É claro que não posso ir a 600 quilómetros.Então esta pressão devido a esta massa de rocha sobrementirosa é conhecida como pressão lithostática ou sobrecarga de. E é importante entender que essas pressões litostáticas não são necessariamentecorrespondem ao estresse médio. Ok.Agora vai olhar para a parte de estresse de compartilhamento e vamos fazer isso de uma maneira bem diferente. Você podeobter as derivações ou as maths detalhadas envolvidas nele a partir de qualquer livro. Recomendo novamenteProfessor Ghosh ’ s book, você pode ver como chegamos a este tipo de considerações.Mas o básico, vou te explicar como ele é feito.Agora, claramente, eu tenho três eixos principais de tensão de estresses e se eu considerarsobre o shear salienta então existem três possibilidades e estas 3 possibilidades sãomostradas no ponto 1, 2 e ponto 3. Agora na primeira possibilidade você pode obter um par de aviõesque estão se cruzando ao longo do eixo Sigma 2. Por isso, tenho esses dois aviões, um é azul, umé verde, há cruzamento ao longo do eixo Sigma 2. Ok.E eles estão inclinados para o eixo Sigma 2 com um valor de mais e menos 45 graus.Então, se eu fizer uma transversal então eu vejo que este é o meu Sigma 2, que se projeta longe dea diretoria e então você tem Sigma 1 e Sigma 3. Assim, ele se cruzaria assim e cada interseçãoindicaria você, teria o valor de 45 graus se a rocha que você estiverconsiderando é perfeitamente isotrópica.Então os valores de tensão shear que você teria ao longo dessas duas possibilidades, um é maisdesta metade de Sigma 3 menos Sigma 1 e outro é menos de 0,5 Sigma 3 menos Sigma1. Um caso semelhante aconteceria se você tivesse interseção acontecendo ao longo do eixo Sigma 1.Então os dois aviões estão se cruzando ao longo do eixo Sigma 1 e você pode obter uma maneira muito similar. Por isso, neste caso, o Sigma 1 está projetando para cima desta diretoria e você tem Sigma 3e Sigma 2 partiu neste avião que você está considerando. E você obteria dois aviões diferentes.De novo para a terceira consideração o que resta? Que você pode ter a interseção ao longo deo eixo Sigma 3 e, portanto, aqui neste caso, o Sigma 3 é esta direção. Por isso, éperpendicular a bordo e você tem dois aviões diferentes que você gera. Agora a partir dessa discussãopode soar pouco abstrato que por que você teria esses dois aviões se cruzando ao longo deum determinado estresse, principais estresses e suas orientações e então por que tem que ser45 graus. Estes são teoricamente calculados mas será que vemos isso na natureza? A resposta ésim.Então aqui eu tenho alguns exemplos para você. O que você vê aqui? Que este é um pedaço de pedra de arenito,tiramos a fotografia do campo, ele tirou esta imagem e o que vemos aqui? Esta rochaé aparentemente homogênea mas é caracterizada por um conjunto de fraturas, um conjunto é assime então há um segundo conjunto de fratura que vai assim, não é?Agora é por isso que é imaginar que estas linhas de intersecção porque estes são aviões é um dos seuseixos principais de tensões e direções. E, portanto, se considerar isso, este doissão o seu outro eixo principal de estresses. Por isso, não sei qual é, mas se euconsiderar este é que se projeta para cima a partir da diretoria. Se for Sigma 2 então vocêpode considerar que este seria Sigma 1 ou Sigma 3 e este seria Sigma3 ou Sigma 1.Agora existem algumas considerações como vimos que isso tem que ser 45 grau, isso tempara ser 45 grau. Neste caso, não é e isto é porque esta rocha não é perfeitamenteisotrópica ou são algumas outras considerações. Mas geralmente um ângulo é agudo e outro ânguloé obtuso e há algumas relações para isso, nós ganharemos mais tarde. Mas estesdois conjuntos de fraturas, um assim, um assim, estes são conhecidos como conjuntos conjugadosde fraturas de xear.A gente vê em outro lugar? Sim, vemos escalas diferentes. Por exemplo aqui você pode ver, vocêestá gerando dois conjuntos de fraturas de cisalamento, conjuntos conjugados de fraturas de xear e esteé um experimento clássico que fizeram com temperatura de alta pressão. Então isso você vêuma jaqueta de cobre, na verdade o rock sample está dentro e esses dois comprimentos são cobertos por alguns discos de alumina. Por isso, foi comprimido a partir deste o diâmetro da amostra foi de 15 mm. Estedeve estar errado, deve haver 15 mm.E então o que vemos? Por causa da compressão geramos dois conjuntos de fraturas. Eles têmalgum tipo de deslocamento que nós não estamos olhando agora. Mas vemos que estedeve ser cruzamento de 2 eixos principais de tensões e sabemos que esta é uma direção de compactação. Portanto, se você calcula isso deve ser agudo e este é o ângulo obtuso.Agora vemos também de uma maneira muito diferente, aprendemos isso quando você tem um terremoto.Que há dois movimentos diferentes ou você pode resolvê-lo em dois movimentos diferentes, umé movimento de solo vertical e outro é movimento de aterramento horizontal. Agora você pode imaginar se láfor um terremoto, então por causa do movimento de solo vertical, você teria uma espécie de construção de tensãoao longo das direções verticais e, portanto, todas as paredes que vemos nósobtemos na verdade alguma espécie de fraturas conjugais e onde sua aplicação de estresse deveser assim.Então com base nessas considerações estamos convencidos de que talvez a consideração do estresse, entãolonge aprendemos puramente com base em matemática e cálculos teóricos. Mas vemos estirpe,vemos deformação de rochas, vemos que há algum tipo de semelhanças ou alguma espéciede relações geométricas de um conjunto de deformação para outro conjunto de deformaçãoe se podemos resolver isso através do conceito de estresse, a vida se torna muito mais fácil e esteé o que aprendemos porque vimos que ele o expressa perfeitamente.Agora também há um ponto que gostaríamos de aprender nesta fase. Isso que temosconsidera até agora o estresse em um ponto ou estresse em uma superfície. Mas considera-se litosféricaescala ou poucos quilómetros ou poucos 100 quilómetros. Por isso, e temos que visualizar isso que o estresseem cada um e cada ponto não é constante. Por isso, eles variam, eles variam significativamente emos volumes de rochas sob tensão. Portanto, a consideração de estresse geral de cada um e de cada ponto,chamamos geralmente como campo de estresse e esse campo de estresse, neste campo de estresse as tensõesfazem variar de um ponto a outro.Agora essa variação de tensão pode ser representada e uma pode analisá-lo usando trajetórias de tensão,que são as linhas que mostram a variação contínua das principais tensões, principaisorientações de estresse de um ponto a outro ponto dentro do volume de rochas. Agora quando vocêfizer, veremos o diagrama em breve. As trajetórias individuais em um campo de estresse que significaem um único ponto você pode desenhar os 3 eixos diferentes que são perpendicularmente perpendicularesum ao outro. E aí você tem que conectá-lo ao próximo ponto, próximo ponto, próximo pontoe assim por diante.Então, no geral, ele pode variar de uma maneira muito curvilinear, mas é importante quando você medee traça as trajetórias de estresse, a orientação das principais tensões sempre deve ser perpendicularumas às outras e em cada ponto.Então aqui é um trabalho muito clássico, trabalho teórico de W. Hafner e é um papel de 1951onde ele calculou as trajetórias de estresse. Os diferentes símbolos são dados aqui, na parte de cima, o diagrama superior que vemos estas são soluções completas da distribuição de tensão internasob a forma de trajetórias de tensão e as linhas de tensões de cisalhada máxima iguais.Então essas linhas são as, essas linhas fortes são as tensões principais principais e estaslinhas pontiladas são tensões principais principais. As condições limite para o modelo teóricofoi que ele aplicou uma quantidade significativa de estresse horizontal aqui. E aqui ele aplicoutambém o estresse horizontal mas isso é muito menos e o que vemos? Isso porque temos grande estresse horizontal de, grande estresse horizontal de grande magnitude neste lado, ele está declinando lentamenteem direção à baixa magnitude do estresse horizontal e este declínio está acontecendo principalmentedevido à gravidade.Ao mesmo tempo, porque ele também traça as tensões de cisalhada que são assim ecom base neste stress shear e essas duas tensões máximas e mínimas principais, é possívelresolver também que o que seriam os potenciais aviões de falha ou onde você pode gerar falhasneste modelo teórico. Portanto, esse é um dos diagramas bem clássicos que Hafner deue as pessoas ainda fazem seguir seu modelo para calcular as trajetórias de estresse em diferentes escalas.Ok, agora vamos aprender duas aplicações da teoria do estresse que você entendeuaté agora ou discutido até agora. O primeiro é um problema que geralmente resolvemos ou tentamosdescobrir quando você faz experimentos de deformação do rock em laboratório e segundo um também somos nósaplicamos nos experimentos de deformação de rochas e ao mesmo tempo no campo e nomuitas outras aplicações. Por isso, vamos primeiro pegar o problema que geralmente resolvemos emo laboratório para experimentos de deformação de rochas.O que vemos neste slide? Trata-se de uma pedra de arenito e você pode ver que há uma fratura em execuçãoem toda a amostra. O que aconteceu com esta amostra? Então foi uma pedra de arenito, perfuramosum núcleo e depois de corar a amostra cortamos os lados superior e inferior, mantendo duas facesperpendiculares ao eixo. Então isso significa essa superfície e essa superfície, então eles foram perpendicularesaté o eixo da amostra de arenito, cilindro de arenito para ser muito específico.E então uma carga foi aplicada da parte superior, onde este inferior foi fixado e depoisele ficou deformado. E enquanto se deformou, produziu uma grande fratura e uma fratura demuito menor deste lado e acabamos de aprender a teoria de estresses de cisalhamento e você pode ver aquimuito bem que duas superfícies foram formadas. Um é proeminente e outro não é tanto assim.Mas agora sabemos que aplicamos a carga aqui, digamos que a carga foi tão bem F.E conhecemos a área dessa amostra cilíndrica. A parte superior da amostra cilíndrica, digamospor exemplo eu sei que isso é 2,54 cm. Isso significa que é de 1 polegada, então temos a área dessa superfície de amostra, temos a força e podemos calcular o estresse. E esta é a curva de tensão de tensãodessa deformação, por isso vemos que a amostra deformada a 32 estirpes de MPa. Entãoque sua força que é 32 MPa.Agora esta é uma espécie de atividades de rotina. Mas se você gostaria de ir mais longe para análise,então gostaríamos de saber que o que era o estresse sombreado e qual era o estresse normalnessa superfície de fratura. Portanto, se eu resumir esta a imagem desta sandstone deformada,sandstone, então ele se parece com isso, você pode aproximar este avião como esta linha vermelha pontilhadaaqui e você pode descobrir o ângulo é cerca de 52 graus com o plano horizontal.Agora o desafio é, ou a tarefa é descobrir qual foi o estresse normal nesta superfíciee qual foi o estresse shear na superfície.Agora para fazer isso o que geralmente fazemos em laboratório? Nós primeiro temos que fazer algum tipo de desenhose depois descobrir o que está funcionando. Sorteio de desenho de trabalho e como temos entendidodas descrições de força deste curso que se esta é a força sendo aplicada sobreesta superfície, então eu posso resolver esta força sobre esta superfície com muita facilidade. Diga, se eu tiveressa força agindo sobre isso, então normal para esta seria a sua força normal. Essa é a sua FNe então paralela a esta superfície que seria o seu FS.Agora esta seria uma simples adições de vetores ou operações vetoriais. Sendo assim, FN seria F costheta e FS seria F sine theta. Portanto, é assim que podemos calcular as forças que atuamneste plano, um é o componente normal outro é o componente shear. Mas para o estresse elenão é tão direto assim, simplesmente porque o estresse é a função da área. Agora claramentea área aqui não é a mesma da área deste plano de fratura.Agora se eu conheço esse ângulo, que é o theta, portanto, essa área se eu designar como A1, entãoA1 na verdade é uma função da área A e deste ângulo com cosseno. Assim, A dividida por costheta é o A1, a área da superfície. Então, portanto, para calcular agora o estresse normalclaramente temos a FN e temos o A1, então esse seria o seu estresse normal funcionandona superfície. E se você resolver através de algumas manipulações algébricas, você obteriaé na verdade Sigma cos quadrado theta onde Sigma é um estresse, o pico de tensão que nósconseguimos que era 32 MPa.De modo semelhante ao stress shear ele seria. O stress shear, componente de força shear que éFS dividido pela área A1 e novamente, se você fizer algumas manipulações algébricas vocêchegaria, seria a metade de Sigma sine a theta. Então, é assim que calculamos o estresseatuando em um avião de fratura após experimentos de deformação. E isso você pode aplicar em muitosoutros campos dependendo do seu problema.O segundo problema, nós parecíamos é uma espécie de calcular o stress shear e o normalde tensão em uma superfície inclinada. Então aqui eu tento dar-lhe ou dar uma demonstração deo problema. Agora o que vemos aqui nesta fotografia, esta é uma superfície sombreada, falha na superfíciee esta, todas essas estrias que você estas são conhecidas como linhas de silício, aprendemossobre isso depois. E essa coisa branca que você vê aqui, isso nós fizemos no campoapenas para classificar de tirar um molde dessas linhas de silício para um propósito diferente. Por isso, ainda élá.Mas o que é importante? Isso porque este é um avião de falha, o que vemos nesta fotografia?Certamente houve uma espécie de movimento de cisalamento ao longo desta direção. Então o estresse encolhido foiativo lá, você vê, eu estou dando flechas de cabeça dupla porque pelo menos a partir dessa imagem,eu não sei qual a maneira que a falha se moveu. Mas certamente moveu-se nesta direção. Por isso, nósgostaríamos de saber qual foi o estresse encolheu aqui.Imagine que só para esse problema imagine que o estresse encolheu foi nessa direção. Ok,para baixo, isso pode não ser verdade para esta exposição, mas para este problema em particular vamos suporque este foi na direção para baixo, descidas de direção profunda. Portanto, este seria o seu estresse sombreadoe depois é claro alguma coisa. Deve haver um componente de estresse normal, que foi perpendicularà superfície.Agora se você gostaria de saber que como obtê-lo, a coisa básica que você precisa, o requisito principalpara isso é você ter que ter o campo de estresse regional ou local. Isso significaos principais eixos de estresses. Agora se considerarmos que este é o problema do 2-D, então vocêprecisa de Sigma 1 e Sigma 3.Então, se eu gostaria de ver esse problema geometricamente, então eu posso considerar isso porque Sigma1 e Sigma 3 estes são perpendiculares entre si, então este é Sigma 3 e este é Sigma1 e este é o seu avião de falha, esta linha azul que você vê aqui AB, certo. De modo queTau está agindo ao longo da superfície da falha, e este é o seu estresse normal. A consideraçãoé que esse estresse normal se eu projetar em direção à origem desse quadro de coordenadasSigma 1, Sigma 3, então ele faz um ângulo de theta.Agora temos que descobrir o que é o stress shear e qual é o estresse normal agindoem um avião. Agora claramente você não pode resoltá-lo diretamente, então temos que primeiro converter esses componentes de tensãopara os componentes da força. Portanto, se considerarmos AB é o comprimento unitário, entãoOA, isso significa que este seria seno theta e OB seria o cos theta. Lembre-se, esteé a sua theta, então esta tem que ser também theta.Agora as forças atuando em OA, isso significa ao longo deste lado particular e OB que é esse lado particularseria Sigma 3 sine theta e Sigma 1 cos theta respectivamente. Ok, esteé de geometria simples. Então, portanto, conseguimos as forças ao longo da OA e ao longo de OB e se temosque, então podemos realmente calcular essas forças, fora dessas forças podemos transferirpara o estresse porque temos as áreas. Por isso, portanto, podemos finalmente descobrir o queseria seu componente de estresse normal que é Sigma aqui e qual seria o seu componente de estresse shearque é o Tau aqui e é claro que você pode fazer algumas manipulações algébricase você chegaria nessas duas equações.Eu li essas duas equações e eu vou te dizer por quê? Sigma igual a Sigma 1 mais Sigma3 dividido por 2 mais Sigma 1 mais Sigma 3 menos Sigma 3 dividido por 2 cos 2 theta e Tau igual aSigma 1 menos Sigma 3 menos Sigma 3 por 2 sine 2 theta, agora estas duas equações são muito, muito importantesnão só para geólogos estruturais, mas qualquer geólogo de engenharia, alguém que faça análise de estabilidadee assim por diante. Porque um tem que saber que o que seria o estresse cisalheirode um determinado avião uma vez que conhecemos as forças ou estresses naquela região.Então com esta nota concluo esta palestra sobre o estresse. Espero que nóstenhamos mais ou menos uma ótima compreensão sobre a estirpe na série de palestras anteriorese agora esse estresse.Então nossa discussão até agora, todos juntos sobre estirpe e estresse estavam principalmente focados se nósolhamos para aspectos geométricos. Nós não considerávamos o que é um material, qual era o materiale assim por diante. Mas sabemos que as rochas têm composições diferentes e várias propriedades físicas. Por isso, eles também fazem experiencias diferentes pressões e temperaturas em diferentes regimequando ficam na terra.Então, nas condições de superfície eles não experimentam tanta pressão e temperatura, mas quandovocê leva todos esses materiais de rocha no fundo da terra, a experiência quantidade significativade pressão e temperatura. Por isso, na próxima palestra vamos realmente tentar entendercomo esses materiais de rock em diferentes condições de terra baseados na composição, baseados emem suas propriedades físicas, se comportam sob estresse e este seria um tópico de rheologiao qual iremosassumir na próxima palestra. Obrigado. Fique atento.