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Resposta a Excitações ArbitráriasNas palestras anteriores, aprendemos as respostas de um único grau de liberdade sistema sob vibrações livres e sob forças harmônicas e periódicas. A partir de agora, aprenderemos as respostas de estruturas de grau único de liberdade sob qualquer excitação arbitrária.Então, como primeiro passo vamos entender a resposta a impulso unitário.(Consulte o Tempo do slide: 00:41)Então, o que é um impulso? Se uma grande força atua sobre um corpo por um tempo muito curto que é chamado de força impulsiva e o tempo integral será finito; isso significa, a força integrada ao longo do tempo será a constante será um valor finito. E, a quantidade desse impulso é igual à força dos tempos. Então, qual é o impulso unitário? Se, o valor deste impulso for igual a 1, podemos chamar isso de impulso unitário. Por isso, vamos entendê-lo em detalhes.Então, aqui temos uma força atuando por uma duração muito pequena digamos que no tempo é igual ao tau. Então, aqui essa força a magnitude da força é igual a 1 por epsilon e ela está agindo por um epsilon de tempo. Assim, qual será o valor do impulso, seria 1 por epsilon vezes epsilon que é 1. Então, essa é uma função de impulso unitário. Então, se essa força está agindo por uma grande duração; isso significa, o valor da força será menor. Então, o produto deve ser 1 assim, se o epsilon for grande então a força será menor. Então, e se esse epsilon tende a 0?Então, se o epsilon tende a 0 para que este produto seja igual a 1, a força deve ficar próxima do infinito. Assim, como a epsilon tende a 0, a magnitude da força torna-se infinita, mas mesmo assim a magnitude do impulso será igual a 1, pois ela é força vezes a duração, quando a duração é de pequena força atingirá o pico, mas novamente a magnitude do produto será igual a 1.Então, esta ainda é uma força impulsável unitária. Então, tal força é conhecida como impulsor unitário. Então, como representaremos esse tipo de forças em nossa análise? Assim, matematicamente podemos representar essa força impulsa usando a função dirac delta. Então, o que é função dirac delta? Sendo assim, essa função delta a t menos tau é definida como mais infinito, se t é igual a tau e ela é igual a 0 de outra forma. Então, essa função representa essa força. Portanto, quando t é igual a tau; isso significa, nesta posição o valor se torna infinito e em todos os outros locais o valor é 0.Então, esta função de delta dirac pode ser usada para representar matematicamente esta força impulsiva.δ (t-τ) = +se t = τ= 0 caso contrário(Consulte o tempo de deslizamento: 04:02)Agora, vamos ver como o impulso unitário está iniciando uma vibração em um sistema de liberdade de grau único? Então, vamos voltar para a nossa segunda lei de Newton ’. A segunda lei de Newton ’ afirma que “ taxa de mudança de momentum de um corpo é igual à força aplicada ”. Assim, quando as forças aplicadas a um corpo haverá uma mudança de momentum.Então, o impulso é a velocidade dos tempos de massa. Então, haverá uma taxa de mudança de impulso. Assim, d por dt de momentum será igual à força aplicada, esta é a segunda lei de Newton ’. Por isso, e se temos uma massa constante, se a massa é constante com relação ao tempo podemos escrever isso como aceleração dos tempos de massa. Assim, a força será igual a aceleração de tempos de massa.Então, podemos integrar esta força esta equação ao longo do tempo e obteríamos que o LHS se tornará integral t 1 t 2 p dt é igual a tempos de massa, se você integrar aceleração que será igual a velocidade. Então, essa seria a mudança na velocidade. Então, nós obteríamos esse impulso é igual a mudar no momentum.Então, o que isso significa? Assim, se aplicarmos o impulso unitário a tempo tau que o impulso irá pauar uma velocidade para a massa e essa velocidade será igual a 1 por m. Assim, para o impulso uma mudança na velocidade será criada. Então, essa velocidade será igual a 1 por m.Então, qual seria o deslocamento? Assim, o deslocamento antes do impulso e após o impulso será igual a 0, portanto, o sistema único de grau de liberdade está em repouso inicialmente. Assim, um impulso unitário que atua no sistema único de grau de liberdade causa vibração livre do sistema devido a essa velocidade inicial 1 por m. Então, o impulso agindo sobre esse corpo está dando a ele uma velocidade inicial e que a velocidade inicial fará com que esse sistema vibre sob vibrações livres. É uma vibração livre porque após o impulso não há força atuando no sistema. Então, o sistema está sob vibração livre.(Consulte o Tempo de Slide: 06:43)Então, agora vamos calcular a resposta de vibração livre. Então, nós derivamos que a resposta de vibração livre de um sistema de liberdade de grau único amortecida é dada por isso e ela depende do deslocamento inicial e da velocidade inicial.}===E, nesta expressão zeta como a proporção de amortecimento e ômega D é a raiz quadrada de frequência natural de 1 menos quadrada de zeta e esta é conhecida como a frequência natural do sistema represado. Então, nós tínhamos derivado isso mais cedo. Então, usaremos isso para encontrar a resposta ao impulso unitário. Então, a função de resposta de impulso unitário é a resposta devido à força de impulso unitário em tempo de say igual a tau.Então, acabamos de saber que quando aplicamos um impulso unitário ao sistema único de liberdade, ele é equivalente a uma velocidade inicial dada ao sistema e que a velocidade inicial é igual a 1 por m, e que o deslocamento inicial é igual a 0. O impulso é agir sobre o corpo a tempo é igual a tau. Então, nós temos x ponto tau e x tau conhecido por nós.Então, para qualquer sistema represado usando esta expressão podemos escrever a função de resposta de impulso unitário, que é representada como função h; portanto, h t menos tau que é a resposta a impulso unitário quando um impulso unitário está atuando no tau. Podemos substituir o valor destedeslocamento e velocidade nesta expressão. Então, o deslocamento é 0 então, esse termo vai sumir e nós temos esse termo com x naught dot substituído por nosso x dot tau.))]Então, a expressão para a resposta de impulso unitário para o sistema represado é esta. Então, nós podemos apenas reorganizar os termos e teríamos 1 por m omega D, e para o poder menos zeta omega m t menos tau sin omega D t menos tau. Então, esta é a resposta de um sistema represado sob impulso unitário. Assim, para sistema de amortecida por un impulso esta função de resposta de impulso unitário é igual a 1 por m omega n sin omega n t menos tau. Então, não temos esse termo e o omega D será igual a omega n, então é um sistema sem roupa.)]Este é o enredo para ambas as respostas assim, como você pode ver temos que dar uma velocidade inicial ao sistema através deste impulso unitário. Então, essa velocidade inicial que é a inclinação desta curva de resposta em t é igual a tau será igual a 1 por m, isso é igual à velocidade inicial. Agora, vamos encontrar a resposta para a força arbitrária.(Consulte o Slide Time: 10:14)Então, utilizaremos a função de resposta de impulso unitário para calcular a resposta à força arbitrária. Vejamos como ele é feito.A força arbitrariamente variada pode ser representada como uma sequência de impulsos infinitamente curtos. Então, nós temos essa força e ela está tendo uma forma arbitrária ela está variando arbitrariamente com o tempo. Então, esse tipo de força podemos dividê-lo em múltiplos impulsos curtos. Então, nós podemos representar essa força como a sequência de impulsos curtos. Então, é como se um impulso fosse agir imediatamente após o outro. Assim, podemos representá-lo assim e podemos calcular a resposta para cada um desses impulsos curtos.Então, a resposta de um sistema a este um impulso a dizer que o tempo tau será igual ao impulso será igual aos tempos de força, a duração do impulso. Então, essa seria a força naquele momento tau que é p tau multiplicado pela duração infinitesimal que é d tau. Assim, este será este curto impulso a tempo tau e a resposta do sistema devido a esse impulso serão os tempos de impulso a resposta de impulsos unitários.du (t) = [p (τ) d τ] h (t-τ) t > τEntão, este h t menos tau é a resposta a um impulso unitário. Sendo assim, a resposta de um impulso é igual a p tau d tau será que vezes a função de impulsão unitário. Então, isso é possível já que estamos lidando com sistema linear. Então, se o sistema era não-linear isso não funcionará. Sendo assim, resposta de um sistema linear a qualquer força arbitrária é igual à soma das respostas de todos os pequenos impulsos. Assim, a resposta devido a essa força arbitrária pode ser calculada integrando-se essa expressão ao longo do tempo.Então, a resposta x t será igual a integral 0 t p tau h t menos tau d tau. Então, este p tau e d tau darão o valor do impulso e h é a resposta de impulso unitário assim, obteremos a resposta devido a esta força. Então, se temos 0 condições iniciais que é no tempo é igual a 0, se o nosso deslocamento e velocidades em 0, então nossas respostas serão para sistemas amortecidos podemos encontrar as respostas esta onde este p tau é a expressão para esta força arbitrária.Da mesma forma, podemos encontrar a resposta para um sistema ondulado ignorando esses termos amortecidos.e mais " Então, que seria 1 por m omega n integrais ao longo do tempo p tau sin omega n t menostau d tau. Então, podemos usar essas integrais para encontrar a resposta a uma força arbitrária, e essas integrais são conhecidas como Duhamel Integrals. Agora, utilizaremos estes Duhamel Integrals para encontrar a resposta de sistemas de liberdade de grau único.(Consulte o Tempo de deslizamento: 14:12)Então, primeiro vamos encontrar a resposta devido a uma força de passo.Então, em força de passo força constante p naught é de repente aplicada. Por isso, em t é igual a 0 esta força p naught é aplicada subitamente e depois disso a força é constante. Então, é uma força constante, mas antes de ser a aplicação a força era de 0 então, este foi um salto repentino, foi de repente aplicado força. Então, vejamos como a resposta de um único grau de liberdade do sistema de liberdade para esse tipo de forças de passo. Então, será que isso será igual à resposta estática porque no caso estático temos uma força constante, direita.Então, qual é a diferença aqui? Assim, na análise estática nós assumem que a carga é aplicada sobre a estrutura muito gradualmente. Então, que é uma natureza dinâmica pode ser ignorada, mas aqui o valor da força é constante, mas ele é aplicado subitamente. Então, nós vamos obter alguns efeitos dinâmicos e veremos o quanto esse efeito é. Então, podemos encontrar essa resposta usando Duhamel Integral. Então, a resposta de um sistema sem roupa é dada por isso então, u t é igual a 1 por m omega n integral ao longo do tempo p tau sin omega n t d tau.Então, sabemos que essa função forçando é igual a uma constante p naught so, podemos substituir e realizar esta integral. Então, se você integrar isso será p naught by m omega n integral sin. Então, a gente pegava p naught by k 1 menos cos omega n t. Então, esta será a resposta de deslocamento de um único grau de liberdade sistema sob essa força de um, isto é para um sistema sem roupa. Então, se nós planejamos esta expressão a resposta é assim. Então, esta é a resposta dividida por p naught by k.Então, vimos que este p naught by k é a resposta estática. Então, se esta fosse uma força estática p naught então a resposta teria sido p naught by k. Por isso, nessa curva de resposta normalizada podemos ver que esse sistema único de grau de liberdade oscila sobre a resposta normalizada igual a 1. Então; isso significa, ele é oscilante sobre a posição de deformação estática, não oscila cerca de 0 que é ele não oscila sobre sua posição de equilíbrio original.Mas, ele se desloca por p naught by k, ou seja a deformação estática e oscila sobre essa posição e a amplitude máxima como podemos ver desta curva é 2 p naught by k. Então, a resposta normalizada é de 2, a resposta máxima é 2 então, a amplitude é de 2 p naught by k, ou seja, o dobro do deslocamento estático. Então; isso significa, se de repente aplicarmos uma carga constante p naught a amplitude de resposta será duas vezes mais do que a carga estática p naught. Então, por causa dessa aplicação repentina haverá efeitos dinâmicos induzidos e que serão duas vezes o deslocamento estático.Agora, vejamos a resposta para um sistema de liberdade único represado. Então, nós temos esse termo de amortecimento no Duhamel Integral.Então, se você realizar essa integral nós teríamos essa expressão; nós não vamos a derivação disso você pode fazê-lo por você mesmo.Então, se você trafegasse isso nós obteríamos uma resposta decadência. Então, isso ocorre por causa do efeito devido ao amortecimento, isso não se passa continuamente como no caso de sistemas sem roupa, mas este decaimentos. Depois de algumas vezes a resposta converge para a resposta estática que é p naught by k so; isso significa, depois de algum tempo esses efeitos dinâmicos morrem e a resposta é igual a resposta estática.(Consulte o Tempo do slide: 18:56)Agora, vejamos a resposta a uma força de rampa; isso significa uma força progressivamente aumentando. Então, essa força pode ser representada como p naught t por tr. Então, é linearmos cada vez mais rápido e depois de algum tempo ele está atingindo o valor p naught.Então, vamos ver como a resposta a essa força se parece. Por isso, novamente para um sistema SDOF sem roupa, podemos usar o Duhamel Integrals e substituir o valor de p t aqui. Assim, seria integral 1 por m omega n integral p naught t by tr sin omega n t menos tau d tau, mesmo que a expressão anterior apenas temos que substituir a função forçando. Assim, se carregarmosfora esta integral obteríamos a resposta como p naught by k que é a resposta estática t por tr menos sin omega nt por omega n tr.Então, vamos enredo isto. Então, este é o enredo para esta expressão. Então, essa curva azul mostra resposta total u t. Por isso, como podemos observar à medida que a força está aumentando, a resposta também aumenta, mas tem alguns efeitos dinâmicos. Então, ele é oscilante e que oscilação é sobre a resposta estática. Então, esta linha vermelha pontilhada indica a resposta estática que é p naught by k t por tr. Assim, como a força está aumentando a resposta estática também aumentará e nossa resposta dinâmica será uma oscilação sobre esta resposta estática.(Consulte o Tempo do slide: 20:52)Então, agora vamos ver qual é a resposta a uma força de passo com algum tempo de aumento finito; assim, esta é a combinação dos dois últimos casos temos uma força de passo, mas em vez de aumentar subitamente a força temos uma rampa em entre. Então, ela está aumentando gradativamente e então a força é constante durante todo o tempo. Então, dependendo da duração desta rampa os efeitos vão mudar. Então, vamos calcular a resposta.Então, neste caso a função de forca é igual a p naught t por tr e que é quando o tempo é menor que tr. Então, depois de tr a função forçando mudanças então ela é igual a p naught.Então, vamos encontrar a resposta; quando o tempo é menor que tr que é t menos do que tr nós aqui nesta zona; isso significa, a força ramada está agindo. Então, a resposta nesta zona será igual ao que vimos anteriormente. Então, a resposta será este p naught by k t por tr menos sin omega n t dividido por omega n tr. Então, isso será válido quando t for menor do que tr.Então, vamos enredo disso já vimos isso anteriormente. Então, isso será oscilante sobre a resposta estática à medida que a força está aumentando, a resposta também vai aumentando gradativamente. Por isso, quando t é menor do que tr esta é a resposta. Agora, temos que encontrar a resposta quando t é maior do que tr. Então, qual será a resposta, quando este tempo é mais do que tr? Então, será que isso será igual à força de passo então, nós tínhamos derivado a resposta dessa força de passo inicialmente. Então, será exatamente igual a resposta da força do passo ou é outra coisa?(Consulte o Tempo do slide: 23:18)Quando o tempo é mais do que tr temos essa força que é uma força constante semelhante a uma força de passo. Então, a resposta será mesma como a força do passo. Então, esta é a força de passo que vimos anteriormente. Então, se temos uma força de passo a tempo é igual a tr a resposta será esta que acabamos de derivá-la mais cedo. Assim, quando a etapa iniciar no tr a resposta será esta, mas em nosso casoaqui a resposta desta função de etapa rampada será esta resposta mais os efeitos devidos a esta força de rampa. Por isso, por causa dessa força de rampa nesta zona nosso sistema já está vibrando. Assim, em t é igual a tr, ele não está em repouso, ele terá algumas condições iniciais que é a resposta devido a esta força rampada no tempo é igual a tr.Então, o efeito dessas condições iniciais também afetará a resposta após tr. Assim, a nossa resposta deste sistema do sistema de grau único de liberdade sob esta força quando t maior que tr será esta resposta mais a vibração livre do sistema resultante do deslocamento e da velocidade em t é igual a tr. Então, precisamos calcular a resposta devido a esta função de rampa em t é igual a velocidade de tr e o deslocamento e o uso que temos para calcular aquele componente de vibração livre e adicionar a esta resposta de força de passo.Então, nossa resposta total seria, esta é a resposta devida a esta força de passo sozinha e esta é a resposta de vibração dos dois primeiros são a resposta de vibração livre, devido a condição em t é igual tr e que é por causa da força rampada.(Consulte o tempo de deslizamento: 25:47)Agora, podemos substituir o valor da velocidade e deslocamento em t é igual a tr e obter a expressão para a resposta quando t maior que tr. Então, se você substituir esses valores nós obteríamos essa expressão, usando isso podemos calcular a resposta quando t é maior que tr.Então, agora, vamos ver a resposta total do sistema. Então, quando o tempo de ascensão é 3,5 vezes Tn a resposta se parece com isso. Assim, trata-se de um sistema sem roupa que responde; assim, esse período entre esses 2 picos será igual ao período natural, dependendo do valor do tempo de ascensão a natureza das alterações de vibração. Então, vamos ver como ela está mudando? Então, essa trama é para um tempo de ascensão igual a 3,5 vezes Tn. Então, esse é um grande tempo de ascensão.Então, aqui como você pode ver durante a porção ramada o sistema está oscilando, mas essa amplitude de oscilação é muito menor e ela oscila sobre a resposta estática como já falamos anteriormente. Então, depois de t é igual a tr, isto é oscilante sobre esta resposta estática p naught by k.(Consulte o Tempo do slide: 27:10)Agora, vejamos a resposta para outros valores de tempo de ascensão. Então, isso é quando tr é igual a 3 vezes período natural. Por isso, tr é um pouco menor do que o que vimos anteriormente. Então, aqui esta é a resposta. Então, durante a porção ramada o sistema é oscilante, mas quando t é igual a tr aqui a velocidade dessas resposta é 0, como sabaremos a partir desta curva? Pois, neste ponto essa curva tem uma inclinação plana, a inclinação desta curva neste ponto é 0.Então; que significa, a velocidade em t é igual a tr é 0. Por isso, quando a velocidade é de 0, nesse caso esta sem oscilação além do tempo de ascensão. Então, a força é constante aqui e a resposta também é constante. Então, isso é equivalente a uma resposta estática e é também o valor também éigual à resposta estática. Então, isso não há oscilação em torno dessa resposta estática, esta fica como está no caso de resposta estática. Então, agora vamos ver quando tr é igual a 2,5.(Consulte o Slide Time: 28:29)Quando for 2,5 a amplitude da resposta e essa fase de força constante está aumentando e também há oscilação. Então, aqui quando t é igual a tr a velocidade é diferente de zero nós podemos entendê-la a partir desta inclinação. Então, isso tem uma inclinação positiva então; isso significa, a velocidade não é 0. Assim, quando a velocidade não é 0 estamos obtendo alguma oscilação nesse intervalo e a amplitude da oscilação é maior em comparação com 3,5 caso.Então, aqui t é o tempo de elevação é 3,5 Tn aqui a amplitude foi baixa, mas aqui a amplitude é um pouco alta. E, novamente o período entre 2 picos será igual ao período natural porque este é um sistema sem roupa.(Consulte o Slide Time: 29:30)Agora, vejamos por tr é igual a 2 Tn; aqui novamente, obtemos uma condição aqui que a velocidade é 0, e quando a velocidade nessa posição é 0 então não há oscilação, a resposta é igual a este p naught by k. Então, isso é novamente equivalente a resposta estática ela não oscila.(Consulte o tempo de deslizamento: 29:55)Então, quando o tr é mais reduzido quando é 1,5 vezes o período natural a amplitude dessa vibração aumenta, isso oscilará apenas se a velocidade for diferente de zero. Então, aqui ele édiferente de zero então, ele é oscilante, mas a amplitude será maior do que a de tr é igual a 2,5 sobre t r é igual a 3,5.(Consulte o Tempo do slide: 30:21)O tempo de subida se você reduzir mais aqui não há velocidade de modo, não há oscilação.(Consulte o Tempo do slide: 30:26)Se, você mais reduzi-lo haverá oscilação, mas a amplitude é aumentada consideravelmente agora. Então, a amplitude é 1,6 vezes a resposta estática que é p naught by k. Por isso, quando o tempo de ascensão reduz a amplitude da vibração aumenta. Agora, vamos ver para tr é igual a 0,2 vezes o período natural.(Consulte o Tempo de deslizar: 30:53)Então, neste caso o tempo de ascensão é muito baixo. Então, essa resposta é muito próxima da força do passo; assim, em força de passo quando as forças se candidataram subitamente. Então, aqui no caso de uma amplitude de força de passo foi o dobro do da resposta estática. Aqui, quando o tempo de ascensão é de 0,2 vezes Tn que é quando temos um pequeno tempo de subida a amplitude é muito próxima de 2. Então, a partir disso podemos entender que se uma força constante é aplicada de repente, então pode causar alguns efeitos dinâmicos e esses efeitos podem fazer a resposta do sistema duas vezes mais que a resposta estática. E, se a força for aplicada gradualmente a resposta estará próxima da resposta estática. Assim, se aplicarmos a carga gradualmente os efeitos dinâmicos serão muito menores.(Consulte o Tempo do slide: 31:59)Agora, vamos concluir nossas observações a respeito da resposta à força de passo com tempo de aumento finito. Então, neste caso o sistema oscila no período natural Tn sobre a posição de resposta estática. E, se a velocidade for de 0 no final da força de rampa então o sistema não vibrará durante a fase de força constante.Então, após a força da rampa será uma resposta constante, ela não vibraria. Para valores menores de tr por Tn as respostas semelhantes a isso devido à força de passo aplicada repentinamente. Assim, quando o tempo de ascensão for menor a resposta será igual à força aplicada repentinamente. Quando tr por Tn é grande então o deslocamento dinâmico oscila sobre a solução estática. E, os efeitos dinâmicas são pequenos. Assim, se você tem um grande tempo de ascensão então os efeitos dinâmicos são pequenos, mas a estrutura oscilará sobre ela é posição de resposta estática.Agora, vejamos o fator de resposta de deformação. O fator de resposta da deformação é a amplitude máxima dividida pela resposta estática. Então, como podemos ver isso é tramado para diferentes valores de tempo de ascensão que é tr by Tn. Assim, como vimos anteriormente quando o tempo de elevação é 0, isso é igual à força aplicada repentinamente e esse fator de resposta de deformação é 2; isso significa, a resposta será duas vezes a da resposta estática.Como a essa proporção está aumentando e à medida que o tempo de elevação está aumentando, este Rd está reduzindo e quando o tempo de subida é maior, então o valor de Rd é muito próximo de 1; isso significa, a resposta estará muito próxima da resposta estática. Assim, dependendo do valor do tempo de elevação para o período natural, a amplitude muda, na expressão para esse fator de resposta de deformação que é Rd pode ser derivada da expressão para o deslocamento maximizando o deslocamento. Então, você pode descobrir o valor máximo do deslocamento em termos de tr por n e que é isso e é assim e é assim que traçamos essa curva.(Consulte o Tempo do slide: 35:00)Agora, vejamos alguns exemplos. Por isso, no primeiro exemplo temos um sistema único de liberdade, sistema sem roupa e ele é submetido a dois impulsos. Então, a força é formada por dois impulsos cada uma de magnitude que mostrei na figura. Portanto, em t é igual a 0 temos 1 de impulso na direção positiva e que tem uma magnitude I, então depois de uma duração td este outro impulso menos I. E, precisamos traçar a resposta de deslocamento do sistema para vários valores de td por Tn. E, para cada caso mostrar a resposta a impulsos individuais e a resposta combinada.Então, precisamos encontrar a resposta devido a cada um desses impulsos e depois a resposta combinada, também trama x naught by I por m omega n. Então, isso é como fator de resposta à deformação. E, indicar separadamente o máximo ocorrendo em t menor ou igual a td e t maior do que igual a td; isso significa, se a resposta máxima nesta fase e esta fase.(Consulte o Tempo de deslizamento: 36:35)Então, vamos resolver isso. A resposta devido a essas funções de impulso pode ser calculada utilizando-se resposta de impulso unitário. Então, podemos multiplicar essa magnitude desse impulso pela resposta de impulso unitário e obtemos a resposta correspondente a esses impulsos. Sendo assim, a primeira resposta que é a resposta devido a este primeiro impulso é a magnitude multiplicada pela resposta de impulso unitário do sistema sem roupa. Então, isso é dado para o sistema represado e já que o nosso é um sistema sem roupa podemos ignorar esses termos de amortecimento. Assim, para a primeira resposta será I vezes 1 por m omega n sin omega n t.E, similarmente podemos calcular para o segundo impulso e essa resposta seria esta grandeza que é menos eu multiplicada pela resposta de impulso unitário em t é igual a td. Então, essa resposta será menos I vezes 1 por m omega n estes termos são semelhantes e sin omega n t menos td. Então, isso é para localizar essa posição. E, a segunda resposta é válida apenas quando t é maior que td. Então, se t é menos do que t d esta força não está agindo. Então, o efeito disso virá apenas quando t é maior que td.(Consulte o Tempo do slide: 38:22)Então, agora vamos encontrar a resposta devido a ambos os impulsos. Como, vimos aqui quando t é menor do que td só o efeito devido a este impulso está aí. Assim, quando o tempo for menor do que td a resposta será igual a x1 e quando o tempo for maior que td a resposta total será x1 mais x2. Então, podemos adicionar esse pecado ômega n t então podemos adicionar este x2, que é menos sin omega n t menos td termo. Então, esta é a resposta total quando t é maior que td. Então, podemos simplificar essa equação e podemos obter esta expressão podemos reduzir isso a esta expressão.E, isto é quando esta proporção que é td por Tn é igual a 1 por 4.Agora, vamos seguir para a segunda parte do problema e onde temos que descobrir a resposta máxima. Por isso, primeiro vamos descobrir a resposta máxima durante o tempo é menor do que td. Então, quando o tempo é menor que td apenas esta primeira resposta de impulso é existente.Então, como você pode ver aqui este oscila com o período natural Tn e como você pode ver aqui ele começa com 0 deslocamento. Por isso, o pico; o primeiro pico aparece quando t é igual a Tn por 4 que é um quarto do período natural. Assim, em Tn o ciclo se completa. Assim, os primeiros picos aparecem em Tn até 4. Assim, o número de picos em durante este tempo depende do valor dessa proporção td por Tn, se td for muito menos então não teríamos chegado a este pico. Então, se td for menor do que este Tn por 4, então não estaremos obtendo esse pico, mas se o valor de td for mais do que Tn por 4, então estaremos tendo esse pico.Então, dependendo do valor deste td por Tn podemos descobrir a resposta máxima. Assim, o primeiro pico ocorre em Tn por 4 portanto, no pico a resposta a resposta máxima é como este x naught by I por m ômega m é igual a 1. Então; isso significa, x naught é igual a I por m omega n. Então, esta é a resposta máxima quando o tempo é menor que td e este td é mais longo do que este Tn por 4, caso contrário o pico não aconteceria. Então, assim, td deve ser mais longo que Tn por 4 por pelo menos 1 de pico para se desenvolver durante esta duração.Então, se planejarmos o envelope dessas duas curvas nós chegaríamos a isso. Assim, a resposta máxima geral deste único grau de liberdade sistema este sistema de liberdade de grau único ondado vai mudar assim para diferentes valores de td por Tn. Este é um fator de resposta de deformação e este também é conhecido como espectros de resposta. Então; isso significa, isso mostra a resposta máxima deste sistema para todos os valores de td por Tn. Então, isso dá os espectros de resposta.(Consulte o Tempo de deslizamento: 50:32)Então, no próximo exemplo as propriedades de um tanque de água elevada recebe o tanque de água elevado mostrado abaixo de pesos 100,03 kips quando está cheio de água. A torre tem uma rigidez lateral de 8,2 kips por polegada. Tratando a torre de água como um Sistema Único de Grau de Liberdade, estique o deslocamento lateral máximo devido a cada uma das duas forças dinâmicas mostradas sem qualquer “ análise dinâmica exata ”. Em vez disso, use sua compreensão de como a resposta máxima depende da proporção do tempo de elevação da força aplicada para o período de vibração natural do sistema; negligência amortece.Então, podemos tratar esse tanque de água elevado como um único grau de liberdade ondulado indevidamente, a massa recebe a rigidez também é dada. Precisamos descobrir o deslocamento lateral máximo. Então, são dadas duas funções forçando; assim, não temos que fazer nenhuma solução exata, mas dependendo do tempo de ascensão precisamos encontrar uma solução aproximada, com base na nossa compreensão de como a resposta máxima depende da proporção do tempo de ascensão para o período natural. Então, vamos descobrir isso.Então, para o segundo caso a razão entre o tempo de elevação e o período natural é de 4 em 1,12 que é de 3,57. Então, isso é muito grande o tempo de ascensão da força é relativamente baixo e afetará a estrutura como uma força estática. Assim, uma vez que o tempo de ascensão é mais o efeito dinâmico devido à aplicação da carga é menor.Então, isso é mais ou menos como uma força estática. Sendo assim, a resposta máxima será aproximadamente igual à resposta estática que é p naught by k. Então, isso seria igual a 6,1. Assim, podemos calcular o valor aproximado da resposta máxima usando esse relacionamento.