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    Vibração sob as Forças PeriódicaAgora, vamos olhar para a Vibração de um grau único de sistemas de liberdade sob as Forças Periódica. Nós já aprendemos a vibração sob forças harmônicas; força harmônica é um tipo especial de força periódica. Assim, agora vamos analisar as vibrações sob qualquer força periódica.(Consulte o Tempo do slide: 00:38)Então, neste caso o sistema único de grau de liberdade é agido por uma força que é uma função periódica no tempo. Então, o que é uma função periódica? Podemos dizer que a função periódica tem uma porção específica dele, dentro de uma duração específica repetindo-se indefinidamente. Então, vamos entender isso usando um exemplo. Então, esse é um exemplo de uma função periódica, essa função é chamada de função sawtooth e isso tem um período T naught. Por isso, após a duração do T naught a função se repete. Então, essa parcela muito específica dessa função se repete indefinidamente.Então, vamos ver mais um exemplo. Então, essa também é uma função periódica e esse período é T naught e essa porção dessa função se repete indefinidamente. Portanto, a função p t é dito periódica com o período de tempo de T naught se p t o valor da função em t é igual a p t mais j t naught que é p t é igual ao valor da função após múltiplos de T naught. Por isso, p t é igual a p t mais j T naught onde j varia de menos infinito a mais infinito. Então, essa função continua indefinidamente. Por isso, agora, vamos ver como uma função periódica pode ser representada em termos de componentes harmônicos.p(Consulte o Tempo do slide: 02:26)Então, podemos fazer isso usando representação de Fourier. Assim, qualquer função periódica p t pode ser representada como esta usando representação de Fourier. Então, aqui um naught aj e bj são constantes e temos cosseno e sin funciona também. Então, essa função periódica pode ser dividida em múltiplas funções harmônicas que são funções de cos e pecados. A série tem infinito número de termos e como o valor de j aumenta de 1 para o infinito, aquele harmônico em particular terá frequência igual a j vezes omega naught. Ambos esses harmônicos terão a mesma frequência igual a j omega naught.pE o harmônico fundamental nessa excitação tem a frequência ômega naught que é quando j é igual a 1. Por isso, omega naught tem igual a 2 pi por T naught onde T naught é o período da força periódica. E, os coeficientes desta série de Fourier que é um naught aj e bj podem ser expressos em termos da própria função periódica que é p t; um naught o primeiro coeficiente é expresso como este este 1 por T naught integral 0 to T naught p t dt t so; isto significa, este é o valor médio da função periódica.Então, se você fizer isso obteremos o valor médio desta função p t. Então, isso é equivalente ao primeiro coeficiente e aj que é o coeficiente dos termos cosseno são calculados comoeste 2 por T naught integral 0 para T naught p t cos j omega naught t dt. Assim, para encontrar um j temos que nos integrar p t multiplicado pelos cos harmônicos e ele pode ser descoberto para todos os valores de j, j que variam de um ao infinito.Da mesma forma, o coeficiente dos termos do pecado pode ser calculado como 2 por T naught integral 0 para T naught p t multiplicado pelo sin j omega naught t dt. Isso também pode ser encontrado para todos os valores de j. Assim, se você pode calcular um naught aj e bj podemos dividir a função p t em termos de componentes harmônicos.(Consulte o Tempo do slide: 05:28)Temos visto que o coeficiente um naught indica o valor médio de p t e os coeficientes aj e bj indicam as amplitudes do j th harmônicas e o j th harmônico terá freqüência igual a j vezes omega naught e omega naught é a frequência do harmônico fundamental que é igual a 2 pi por T naught. Teoricamente esta série tem infinito número de termos; isso significa, precisamos de termos infinitos para representar essa função periódica em termos de harmônicos, mas na realidade apenas alguns termos são suficientes para esta série de Fourier.pEntão, com pouquíssimos termos esta série irá convergir para a função periódica. Se esta função tiver alguma descontinuidade na descontinuidade esta série de Fourier irá convergir para um valor médioque é a média dos valores para a esquerda e para o direito da descontinuidade que é média dos valores vizinhos da descontinuidade.(Consulte o Tempo do slide: 06:56)Agora, vamos encontrar a resposta de sistemas represados à força periódica. Nós já aprendemos a resposta de sistemas represados sob forças harmônicas e aprendemos que respostas transientes devido ao deslocamento inicial e velocidade decai no tempo. Assim, a maior parte da análise é focada em estado estável do sistema. Assim, depois de algum tempo as respostas transientes irão morrer e somente a resposta estatal constante será prevalente e a resposta estatal constante estará presente enquanto a força existir. Então, podemos nos concentrar na resposta estatal constante desse sistema.Agora, a resposta de um sistema linear a uma força periódica pode ser determinada exatamente como a de um sistema harmônico e aqui combinamos as respostas a termos de excitação individual em séries de Fourier. Então, acabamos de ver que a função periódica pode ser separada em harmônicos diferentes usando séries de Fourier. Então, a resposta da força periódica também pode ser tratada como a soma das respostas das forças harmônicas individuais.Então, a resposta a uma força periódica é igual a soma das respostas a muitas forças harmônicas. Assim, quando uma força constante é aplicada a um único grau de liberdade sistema de liberdade, a resposta estatal constante é dada por um naught by k. Então, isso é como uma resposta estática, a força é constante e estamos olhando para a resposta estadual constante. Então, isso é igual à resposta estática do sistema que é um naught by k.(Consulte o Slide Time: 08:56)Agora, deixe-nos ver: qual é a resposta de sistemas represados para o pecado da força. Isto é exatamente o que temos visto durante vibrações harmônicas, esta é a equação de movimento de um único grau de sistemas de liberdade agidos por um pecado força as forças p naught sin omega t.+t Damping ratio,