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    Palestra – 08ExemplosBem-vindo de volta ao curso de Dinâmica Estrutural. Na última semana aprendemos como a análise dinâmica é diferente da análise estática, aprendemos como formular uma equação de movimento, aprendemos também as respostas das vibrações livres, aprendemos com vibrações livres onduladas e viscosas viscosas. Por isso, nesta semana inicialmente resolvamos alguns problemas de exemplo depois que exploraremos vibrações livres de coulomb barradas mais tarde aprenderão vibrações forçadas. Então, agora vamos seguir em cima de problemas de exemplo.(Consulte o Tempo do slide: 00:56)Agora, vamos formular a equação de movimento deste sistema, temos uma massa, um amortece e uma mola, uma força dinâmica p t está agindo sobre esta massa. Assim, para este sistema por causa da taxa de autotaxa o sistema terá um deslocamento estático. Então, a configuração deslocada do sistema sob seu próprio peso é esta, d st é o deslocamento estático deste sistema e X é o deslocamento desta massa em relação à sua posição de equilíbrio estático, X t é o deslocamento total desta massa. Assim, X t será igual a x mais d st.Agora, vamos sortear o diagrama de corpo livre dessa massa. Assim, uma força dinâmica p t está atuando em baixo peso do sistema é igual a tempos de massa aceleração gravitacional também está agindo para baixo. A força de amortecimento está atuando para cima e é igual a c vezes x ponto t a velocidade total e esta temos também uma força de mola que é igual a k vezes x d so, k times x plus d st.Então, agora, podemos escrever a força total agindo sobre este corpo em direção vertical. Então, a força desequilibrada em direção vertical é igual a p t mais peso que é mg menos k x menos k d st menos c x ponto t, e esta soma é igual a tempos de massa a aceleração deste corpo, a aceleração total.Então, também sabemos que mg que é o peso do corpo é igual a k vezes o deslocamento estático. E podemos descobrir a partir dessa relação que x ponto duplo t será igual a x ponto duplo porque d é um deslocamento estático que não varia com o tempo e também temos x ponto t seria igual a x ponto.Então, podemos reescrever esta equação como este m x double dot mais c x ponto mais k x é igual a p t.Então, mg e menos k d st cancelar e temos esta equação de movimento. Portanto, se você olhar para esta equação de movimento, isto é em termos de x e seus derivados assim; isso significa, x é o deslocamento dessa massa em relação à sua posição de equilíbrio estático. Assim, se você escrever a equação de movimento em relação à posição de equilíbrio estático, não teremos nenhum termo de peso na equação do movimento.(Consulte o Tempo do slide: 04:44)Agora, vamos olhar para outro sistema e escrever a equação do movimento. O próximo sistema possui uma massa lombada m e um stiffener k isto não tem qualquer amortecimento e o sistema é afetado por um deslocamento de solo Xg. O deslocamento dessa massa em relação ao suporte é indicado como X e o deslocamento total desta massa indicou como X t.Então, sabemos que X t é igual a X mais Xg. Agora, escrevamos a equação do movimento. Então, se você considerar essa massa há apenas uma força de mola agindo sobre essa massa. Então, se X é considerado positivo nessa direção. Então, a força da primavera estará nesse sentido. Assim, será menos k X t. Então, essa é a força atuando sobre essa massa e esta deve ser igual a aceleração de tempos de massa. Então, isso é dado pela lei de Newton ’. Então, esta é a nossa equação de movimento podemos reorganizar o termo que ele se torna m x double dot t mais k X é igual a 0. Sabemos que X t é X mais X t. Então, nós podemos expandir esse termo. Então, temos m x double dot plus k X é igual a menos m x double dot g que é a aceleração do solo.Então, o deslocamento do solo no suporte é equivalente a ter uma força dinâmica eficaz agindo sobre esta massa e a força efetiva é igual a menos massa vezes a aceleração do solo. Então, é assim que o terremoto afeta uma estrutura. Por isso, o terremoto é uma aceleração de solo ou deslocamento de solo. Então, isso seria equivalente a ter uma força dinâmicaexterna sobre esta massa e o valor dessa força será igual a menos tempo de massa ’ s aceleração do solo.(Consulte o tempo de deslizamento: 07:16)O próximo exemplo é de vibração torsional. Então, nós temos um disco rígido de massa m montado em um eixo flexível. Então, este é um disco rígido que tem uma massa m e ele é montado sobre este eixo flexível com diâmetro d. Negligenciar o peso do shaft e negligenciar o amortecimento derivam a equação da vibração torsional livre do disco. O modulo shear de rigidez do eixo é G. Então, podemos negligenciar o amortecimento no sistema e podemos tratar o poço como massinha. Então, isso só oferece alguma rigidez para o sistema e o disco tem alguma massa. Então, este é um sistema de vibração livre sem roupa. Por isso, aqui está a vibração torsional.Então, vamos desenhar o diagrama de corpo livre deste disco. Então, até agora temos lidado com sistemas onde a massa foi lombada, ela estava concentrada. Então, este é um exemplo onde as massas distribuídas o disco tem algumas dimensões algumas raio e alguma espessura. Assim, a massa será igualmente distribuída através deste disco. Então, massas distribuídas aqui.Então, vamos voltar para o diagrama de corpo livre. Então, se a teta for tomada positiva nesse sentido, podemos escrever a força restaurada. Neste caso o torque restaurador é igual à rigidez torsional deste eixo multiplicado pelo deslocamento angular que é este ângulo teta. Então, o valor dessa rigidez torsional do poço é igual a GJ por L, G é o modulo shear e L é o comprimento e J é o segundo momento de área. Você teria aprendidoessas expressões no curso de mecânica de sólidos. Por isso, o torque restaurador pode ser expresso assim.Então, agora podemos escrever a equação do movimento usando Newton ’ s segunda lei que diz força desequilibrada, neste caso que é igual ao torque menos fs que deveriam ser iguais à inércia. Então, ou seja, se fosse um deslocamento translacional este teria sido igual a tempos de massa translação translacional.Então, aqui esta é uma massa distribuída e estamos falando também de deslocamento angular. Sendo assim, esta será a força desequilibrada será igual a aceleração angular multiplicada por I naught que é o momento de massa de inércia deste disco. Por isso, para disco como este o momento de massa de inércia é igual a m R quadrado por 2, onde R é o raio do disco. Por isso, menos fs é igual a momento de massa de inércia épocas de aceleração angular.ondeEntão, agora, vamos ver qual é o valor desse torque. Assim, o torque fs é igual a GJ por L que é a rigidez torsional do poço multiplicado pelo deslocamento angular que é a teta. J é o segundo momento de área e para este shaft é igual a pi d à potência 4 por 32, d é o diâmetro deste eixo.ondeEntão, agora podemos calcular este torque e o momento de massa de inércia, temos as dimensões desta estrutura. Por isso, agora, podemos escrever esta equação de movimento como eu naught theta double dot mais GJ por L theta é igual a 0 esta é a equação do movimento. Podemos substituir o valor de momento de massa de inércia e o segundo momento de área e obtemos a expressão para a nossa equação de movimento como esta.(Consulte o Tempo do slide: 12:30)Deixe-nos fazer mais um exemplo. Neste exemplo um automóvel é crudamente idealizado como uma massa lombada suportada por uma mola e um amorteco, e este automóvel viaja a uma velocidade constante v sobre uma estrada que tem alguma rugosidade. Então, a rugosidade dessa estrada pode ser expressa em função de X e X é a posição deste veículo na estrada.Então, a rugosidade é representada por uma função u g X temos que derivar a equação de movimento deste sistema. Então, esse sistema único de grau de liberdade está recebendo um deslocamento de solo u g a cada instante em que o veículo está se movendo sobre essa estrada esta u g muda. Então, isso equivale a um deslocamento a partir do; deslocamento do apoio deste único grau de liberdade sistema. Então, vamos tentar resolver isso.Então, temos essa massa conectada à mola e o amortece e ela se move com uma velocidade v. Então, quando ela se move vai para cima e para baixo e essa rugosidade é dada como u g X. O deslocamento desta massa é representado pela variável u t. Então, esse seria o deslocamento total dessa massa e o deslocamento dessa massa em relação à base é u t menos u g; assim, o deslocamento total menos o deslocamento da base.Agora, vamos traçar o diagrama de corpo livre dessa massa. Então, esta é a massa. Assim, quando a massa for movida nesta direção haverá restabelecimento da força na direção oposta. Por isso, temos força de mola atuando nessa direção e força de amortecimento agindo nesse sentido e haverá força de inércia também nesse sentido.Então, agora, vamos escrever a equação de equilíbrio. Assim, essa seria a força de inércia mais a força de mola mais a força de amortecimento é igual a 0. Então, o que faz a força de inércia? Aprendemos que a força de inércia é igual a tempos de massa a aceleração da massa que é massa vezes u t double dot esta é a aceleração.Agora, vejamos a força de amortecimento. Então, o coeficiente de amortecimento é c. Assim, a força de amortecimento seria c multiplicada pela velocidade dessa massa. Assim, a velocidade seria a velocidade em relação à base. Então, isso seria u t menos u g ponto, a força de mola seria k multiplicada pelo deslocamento relativo. Então, que é u t menos u g e que deve ser igual a 0.Então, agora, podemos reorganizar este termos. Por isso, m u t double dot plus c u t dot plus k u t é igual a levar estes termos para o lado direito que seria c u g ponto mais k u g e é dado que u g é uma função de X e o que é X, sabemos que este automóvel está a mover-se com uma velocidade v.Então, qual será a posição desta velocidade a cada instante? Essa será a velocidade multiplicada pelo tempo. Então, podemos substituir essa variável x por v t que é velocidade multiplicada pelo tempo. Então, o lado direito torna-se c u g dot v t sua função de v t e k u g Vt. Então, v é apenas uma constante. Então, essa equação se tornará c v u g ponto que será uma função de t e k v u g t. Então, esta é a equação de movimento deste sistema.(Consulte o Tempo do Slide: 17:36)(Consulte O Slide Time: 17:41)Agora, vamos analisar alguns exemplos de vibração livre. Por isso, no primeiro exemplo temos um bloco de madeira ligado a uma mola e uma bala é disparada para este bloco. A bala tem alguma massa e velocidade esta bala fica incorporada a este bloco, temos que descobrir o movimento resultante do bloco. Então, o que acontece quando essa bala é disparada para dentro desse bloco? Então, a bala estava viajando com alguma velocidade e ela tem uma massa. Por isso, ao atingir este bloco de madeira as duas massas eles vão se mover junto com alguma nova velocidade.Então, ao disparar uma massa uma bala que tem alguma massa neste bloco de madeira significa que estamos dando alguma velocidade inicial a este bloco de madeira. Descobriremos o quanto é a velocidade inicial e usando que temos que descobrir o movimento resultante deste bloco. Então, vamos ver como resolver isso. Então, nesta questão, o peso do bloco é dado; peso da bala é dada a rigidez da mola e a velocidade da bala também são dadas.Agora, vamos calcular. A massa do bloco é calculada como o peso que é dado dividido por aceleração gravitacional. Então, você vai obter a massa e a massa da bala também é encontrada como este peso é dado dividido por g você fica m naught e rigidez já é dado.Então, agora, temos que descobrir a velocidade inicial do bloco. Então, como calculamos isso? Podemos fazer isso usando a conservação do ímpeto. Então, o impulso do sistema antes e depois do impacto deve ser igual. Por isso, antes do impacto apenas a bala estava se movendo com alguma velocidade v naught. Por isso, o impulso é igual a m naught v naught e isso deve ser igual ao impulso após o impacto. Então, depois do impacto essa massa fica incorporada a ela. Então, a massa total será m mais m naught e ela se moverá com uma nova velocidade u dot naught. Então, podemos descobrir o que é essa velocidade inicial.(Consulte o Tempo do slide: 20:22)Então, isso seria m naught v naught pela massa total.Então, se você resolver isso obterá a velocidade inicial. Assim, após o impacto a massa do nosso sistema altera a massa torna-se m mais m naught e a rigidez da mola não a altera é igual à anterior.Então, podemos calcular a frequência natural como raiz de k pela nova massa que é m mais m naught.E acabamos de calcular a condição inicial na velocidade inicial acabamos de calcular a velocidade inicial é este muito para fazer isso e o deslocamento inicial do sistema do bloco de madeira foi de 0. Então, o deslocamento inicial é 0.Então, usando essas duas condições iniciais podemos calcular o movimento resultante do bloco de madeira que é u t é igual a u naught dot by omega n sin omega n t.Sabemos que para esta vibração livre, a resposta é da forma um cos ômega n t mais b sin omega n t e se utilizamos as condições iniciais podemos descobrir a e b, e a é igual ao deslocamento inicial aqui o deslocamento inicial foi de 0. Então, nós não temos isso cos omega n t termo. Sendo assim, a resposta total é equivalente a b que é u naught dot by omega n sin omega n t. Assim, podemos substituir esses valores e escrever o movimento resultante do bloco neste formato, que estaria nas polegadas da unidade.(Consulte o Tempo do slide: 22:21)No próximo exemplo temos uma embalagem com um instrumento dentro dele. Então, este é um instrumento e ele é embalado em uma caixa e este instrumento com esta massa m é contido por molas de rigidez total k por 2. Então, há uma sequência de k por 2 rigidez acima deste instrumento e outra abaixo deste instrumento. E, massa e massa do instrumento e esta rigidez das molas são dadas, e esta caixa este recipiente caiu acidentalmente de uma altura de 3 pés acima do solo. Então, essa caixa foi lançada a partir de 3 pés, temos que calcular alguns parâmetro deste sistema.Então, primeiro vamos calcular o deslocamento inicial e a velocidade deste sistema. Então, quando essa massa é apoiada pelas molas por causa do peso, esta mola vai ficar comprimida um pouco e esta mola vai se estender por alguma quantidade e isso seria proporcional ao peso deste peso de massa deste instrumento. Então, o quanto essa deflexão seria a deflexão estática que podemos calcular pela fórmula m g que é o peso do instrumento dividido pela rigidez. Então, podemos calcular essa deflexão estática. Então, esse seria o deslocamento inicial desse sistema quando isso for eliminado.Então, o deslocamento inicial que é u naught é igual a mg por k, podemos calcular o valor dele. Agora, qual será a velocidade inicial? Então, esse pacote é eliminado de uma altura. Então, quando era antes de cair tinha alguma energia potencial; assim, quando éser eliminado que a energia potencial se tornará convertida em energia cinética. Então, isso vai ter alguma velocidade.Então, aprendemos em cursos anteriores que essa velocidade será igual a de raiz de menos 2 g h, a energia potencial antes de cair é m g h e que será convertida em energia cinética. Então, essa é a metade m v quadrado. Então, se você resolver podemos encontrar essa expressão para a velocidade. Por isso, usando esse valor você pode calcular a velocidade inicial.Então, agora vamos calcular a frequência natural, a rigidez é dada e a massa também é dada. Assim, a frequência natural é igual a raiz de k pela massa. Então, isso é kg por peso. Então, você pode calcular esse valor também.(Consulte o Tempo de Slide: 25:51)Próximo calcularemos a deformação deste sistema. Então, você já conhece as condições iniciais, sabemos a frequência natural. Então, você pode calcular o deslocamento como um cos omega n t mais b sin omega t todos esses valores são conhecidos. Então, você pode substituir e obter a expressão para o deslocamento do instrumento e você pode calcular a deformação máximacomo raiz quadrada deste termo quadrado mais este termo quadrado. Assim, você pode calcular a deformação máxima do instrumento dentro do pacote.Então, se soubamos a deformação máxima podemos calcular também a velocidade máxima ou mesmo a aceleração máxima. Então, vamos calcular a aceleração máxima. Então, se este é o deslocamento qual é a aceleração? Se você diferenciá-lo duas vezes você obterá aceleração. Então, se você diferenciá-lo duas vezes, o que vai acontecer? Você obterá uma expressão similar com ômega n quadrado também como coeficiente.Então aceleração, aceleração máxima é igual ao deslocamento máximo multiplicado pela praça omega n, sabemos o valor de omega n. Assim, podemos encontrar a aceleração máxima também basta substituir o valor e obter a aceleração do instrumento.(Consulte o Slide Time: 27:41)Agora, vamos seguir para os exemplos de vibração livre barrados.(Consulte o Tempo do slide: 27:46)A rigidez e as propriedades de amortecimento de um sistema de amortecimento de molas em massa devem ser determinadas por um teste de vibração livre; a massa é dada como m é igual a 0,1 libra de segundo quadrado por polegada. Neste teste a massa é deslocada por 1 polegada por um jack hidráulico e depois, de repente, liberada. Ao final dos 20 ciclos completos o tempo é de 3 seconds minutos e a amplitude é de 0,2 polegadas. Determine a rigidez e os coeficientes de amortecimento.Então, nesta a massa foi deslocada por 1 polegada e depois foi liberada; isso significa, o deslocamento inicial para o sistema é de 1 polegadas e ele foi apenas liberado, a massa foi apenas liberada não houve impacto ou algo assim, a velocidade inicial é de 0. E também sabemos a amplitude do movimento em 20 ciclos e também sabemos o tempo tomado por vinte ciclos. Assim, podemos calcular a proporção de amortecimento e freqüências naturais.Nós aprendemos sobre decremento logarítmico. Então, o que é decremento logarítmico? É o logaritmo natural da proporção de amplitudes em ciclos diferentes divididos pelo número de ciclos. Então, este é o decremento logarítmico. E a proporção de amortecimento zeta pode ser calculada como 1 por 2 pi de decremento logarítmico. E isso é válido quando a proporção de amortecimento é muito pequena a proporção de amortecimento é muito alta temos que considerar a raiz quadrada de 1 menos o termo zeta quadrado também, mas se a proporção de amortecimento é pequena podemos calculá-la assim.Então, aqui sabemos 1 por 2 pi j é igual a 20 aqui. Então, podemos levar j como 20 porque conhecemos as informações no primeiro ciclo e depois de 20 ciclos. Por isso, u 1 é igual ao nosso deslocamento inicial porque essa é a amplitude do primeiro ciclo e u j mais 1 é a amplitude após 20 ciclos que é dado como 0,2. Então, você pode calcular o valor de zeta e é nós obtemos como 0,0128 que é 1,28%. Então, isso é um amortecimento muito pequeno já que o amortecimento é muito pequeno a suposição que nós fizemos aqui para calcular a zeta é válida. Então, nós assumimos que o amortecimento é de 0 é pequeno. Então, na verdade é pequeno. Então, a suposição é correta, se não foi pequena então tivemos que calculá-la usando a fórmula exata.Então, agora podemos calcular a frequência natural. Então, para fazer isso, vamos descobrir primeiro o período natural. Então, esse sistema é um sistema de amortecao de mola em massa então, ele terá um período natural úmido. Assim, podemos calcular o período natural úmido usando o tempo tomado por 20 ciclos.Então, é dado que 3 seconds foi o tempo tomado por 20 ciclos completos. Então, o período não é nada, mas o tempo tomado para 1 ciclo. Então, o período natural úmido seria de 3 por 20 que é de 0,15 e acabamos de calcular a proporção de amortecimento e descobrimos que o amortecimento é muito menor. Assim, em tais casos podemos considerar que o período natural é igual ao período natural úmido. Então, o período natural também será igual a 0,15 seconds.Então, podemos calcular a frequência circular natural ômega n que seria de 1 pi por T n. Então, 2 pi por 0,15 é igual a 41,89. Agora, vamos tentar descobrir a rigidez e os coeficientes de amortecimento.(Consulte o Slide Time: 33:00)Então, a praça de frequência natural é igual a k por m so, k é igual a ômega n quadrado m.Então, conhecemos a frequência natural que conhecemos a massa assim, podemos calcular a rigidez e sabemos que o coeficiente de amortecimento crítico é igual a 2 m ômega n. Por isso, conhecendo ômega n e a massa podemos calcular o coeficiente de amortecimento crítico. Sabemos que a relação de amortecimento zeta é igual ao coeficiente de amortecimento dividido pelo coeficiente de amortecimento crítico.Então, o coeficiente de amortecimento será igual a coeficiente de amortecimento crítico de zeta. Então, você calculou o zeta já e você pode multiplicá-lo com o coeficiente de amortecimento crítico obtemos o coeficiente de amortecimento.(Consulte o Tempo de Slping: 33:58)Então, no próximo problema temos uma máquina pesando 250 libras e é montada em um sistema de suporte composto por quatro molas e quatro amortecedores. A deflexão vertical do sistema de suporte sob o peso da máquina é medida como 0,8 polegadas. Os amortecedores são projetados para reduzir a amplitude de vibração vertical a um oitavo da amplitude inicial após dois ciclos completos de vibração livre. Encontre as seguintes propriedades do sistema; a frequência natural ondulada, a proporção de amortecimento e a frequência natural represada. Comentário sobre o efeito do amortecimento sobre a frequência natural.Então, é dado o peso do sistema e também é dada a deflexão do sistema de apoio sob o peso. Então, se você sabe o peso e a deflexão podemos encontrar a rigidez do sistema de apoio. Então, o peso é a força atuando sobre essa mola. Então, ele está ficando defasado por causa dessa força então, a rigidez é a força por deflexão. Então, o peso é de 250 libras, portanto, isso seria de 250 pela deflexão dada como 0,8. Então, podemos calcular a rigidez do sistema. peso é dado. Assim, podemos calcular a massa do sistema.Então, massas lidas por aceleração gravitacional. Por isso, agora, sabemos a massa e a rigidez. Assim, podemos calcular a frequência natural do sistema que é igual a raiz quadrada de k por m.A próxima coisa que temos que descobrir é a proporção de amortecimento e é dada a amplitudes de dois ciclos, certo; é dado que os amortecedores são projetados para reduzir a amplitude de vibração vertical a um oitavo da amplitude inicial. Podemos calcular a proporção de amortecimento usando decremento logarítmico.(Consulte o Tempo de deslizamento: 36:38)Então, como assumimos no exemplo anterior inicialmente podemos supor que o amortecimento é pequeno. Então, podemos equacionar o decremento logarítmico a 2 j pi zeta isso é semelhante ao que fizemos no problema anterior e sabemos que a amplitude se torna um oitavo após 2 ciclos. Por isso, no primeiro ciclo é u naught após 2 ciclos é u naught by 8. Então, logaritmo de 8 é igual a 2 e j é igual a 2 porque esta amplitude é depois de 2 ciclos e pi zeta que dá o valor de zeta é igual a 0,165; isso significa 16,5. Então, isso é altíssimo amortecimento.≈ 2j π ξEntão, uma vez que esse amortecimento é muito alto não podemos fazer essa suposição como o amortecimento é pequeno. Por isso, agora, vamos recalcular o valor de zeta usando a expressão exata para decremento logarítmico que é 2 j pi zeta dividido por raiz quadrada de 1 menos quadrado de zeta. Então, a partir disso podemos avaliar o valor de zeta resolvendo essa equação.=(Consulte o Tempo do slide: 38:13)Então, obtemos zeta é igual a 0,163, se você resolver a equação anterior obteremos o valor de zeta. Agora, temos que calcular a frequência natural do sistema represado. Então, isso seria igual a ômega n que é a frequência natural multiplicada por raiz quadrada de 1 menos quadrado de zeta. Então, nós podemos substituir o valor de zeta aqui e obter o valor de omega D.Então, como omega n é diferente de omega D? Então, o zeta não é um valor muito pequeno aqui. Então, esse termo é menor que 1. Por isso, omega D será menos que ômega n. Então, o amortecimento diminui a frequência natural. Então, por causa do amortecimento a frequência do sistema diminui.