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    Palestra-02 Modelagem do Sistema DinâmicoNo vídeo anterior, vimos como a análise dinâmica é diferente da análise estática. Por isso, agora, vamos entender a Modelagem de um Sistema Dinâmico.Então, o que é modelagem no contexto de análise estrutural? Então, significa uma descrição simplificada de algo. Então, por exemplo, se nós temos uma estrutura real, um problema de vida real então, isso é tábua de mergulho. Suponhamos, nós temos que entender o comportamento dessa estrutura então, eu tenho que fazer uma análise disso. Então, qual é o primeiro passo para analisar esse tipo de sistema?Então, primeiro temos que fazer uma descrição simplificada dessa usando princípios mecânicos. Então, vamos fazer um modelo mecânico. Então, essa estrutura pode ser idealizada como um feixe de cantilever com alguma carga. Por isso, ao fazer esse modelo eu tenho que fazer algumas suposições com base em algum julgamento de engenharia. Aqui podemos ver que este tabuleiro está rigidamente clamado a este sistema de apoio. Então, eu posso supor que essa estrutura tem um suporte fixo neste final porque não pode girar ou traduzir em qualquer direção. Então, eu posso assumi-lo como um suporte fixo.imilarmente, podemos fazer algumas suposições em relação às propriedades materiais da estrutura. Assim, podemos utilizar propriedades isotrópicas homogêneas para o material e também devemos conhecer a força deste material. Então, vamos assumir algum valor para a força deste material. Devemos também decidir se estamos considerando a teoria de defasagem pequena ou grande enquanto faz essa análise. Então, podemos decidir que as defleções são muito pequenas. Então, eu posso considerá-lo como um pequeno problema de deflexão, podemos fazer uma análise linear para fazer isso.Também podemos supor que quando uma pessoa está pisando nele a carga agindo sobre essa estrutura pode ser tratada como uma carga concentrada. Na realidade, essa força não está concentrada porque um peso da pessoa será distribuído sobre a área de seus pés, mas com respeito à dimensão da estrutura essa dimensão é muito pequena. Então, nós podemos tratar isso como uma carga concentrada. Assim, podemos fazer algumas premissas com base em nosso juízo de engenharia podemos simplificar essa estrutura de uma forma que podemos manejar usando nossos princípios mecânicos.Então, uma vez configurado esse modelo mecânico podemos fazer um modelo matemático disso. Então, essa equação a equação da curva elástica, esta é uma representação dessa estrutura matematicamente. Então, agora, vamos conseguir resolver essa equação e obter a deflexão da estrutura e uma vez que a deflexão é encontrada podemos calcular as tensões, estirpes, forças de elementos etc. Então, nós podemos calcular todos esses parâmetros e podemos tomar decisões sobre esse sistema. Portanto, se as tensões são altas sabemos que essa espessura não é suficiente assim, podemos projetá-la melhor.Então, ao analisar qualquer tipo de estrutura seguimos esses procedimentos; primeiro entendemos que a estrutura real faz algumas suposições e cria modelo mecânico, então vamos representar isso matematicamente, resolver o modelo matemático, obter os valores dos parâmetros, com base nesses parâmetros e decidimos sobre a estrutura. Assim, mesmo na análise da estrutura dinâmica temos que fazer modelos simplificados, temos que descrever os elementos de um sistema dinâmico em termos simplificados e temos que desenvolver um modelo matemático do sistema, para que possamos resolvê-lo.d2y/dx2 = M/EI(Consulte O Slide Time: 04:25)Então, agora vejamos os elementos de um sistema dinâmico. Por elementos, quero apenas dizer que as propriedades influenciam a vibração da estrutura. Então, quais são as propriedades que afetam a vibração da estrutura? Sua massa, rigidez e amortecimento. Na discussão anterior, vimos que a massa vai ter um papel muito importante em sistemas dinâmicos porque está contribuindo para a força de inércia. Assim, haverá uma força desequilibrada atuando na estrutura. Assim, isso levará à força de inércia que será igual a tempos de massa acelerada da estrutura. Por isso, temos que considerar a massa da estrutura na análise dinâmica.F=maEntão, o próximo é rigidez; você está familiarado com rigidez na análise estática. Rigidez é a força por deslocamento unitário. É a força restaurada desenvolvida em uma estrutura e ela é a força por deslocamento unitário. Então, a rigidez é a propriedade do elemento estrutural e que controla a relação de deslocamento de força em uma estrutura e também controla a distribuição de força. Assim, se dois elementos estruturais estão se deformando de forma semelhante, então o elemento stiffer terá força maior ele vai atrair força maior. Assim, a relação de distribuição de força e força de deslocamento de força são controladas pela rigidez da estrutura.A próxima propriedade é amortecimento. O amortecimento é uma descrição dos mecanismos de dissipação de energia em uma estrutura. Por isso, em um sistema vibratório alguma parte da energia é absorvida pelo sistema devido a muitos mecanismos so, o amortecimento descreve tudo isso.(Consulte o Tempo do slide: 06:22)Agora, vamos ver como vamos modelar a massa em um sistema dinâmico. Então, ele pode ser tratado como massa distribuída ou massa lenhada. Então, o que é massa distribuída? Por isso, toda estrutura a massa é a quantidade de material que tem, ela é distribuída ao longo da estrutura, certo. Cada parte deste feixe por exemplo, terá alguma massa. Então, a massa é distribuída ao longo da estrutura e este é o cenário real em caso de qualquer estrutura. Toda estrutura tem uma massa e que seria distribuída ao longo da estrutura. Por isso, nesta suposição, esse é o tratamento mais realista da massa. Então, aqui podemos tratar a massa como uma função da posição ao longo da estrutura. Então, nesse caso indica a posição ao longo da estrutura então, a massa é uma função de digamos s.Então, em sistema de massa lombada o que fazemos é assumimos massa como massas concentradas discretas em locais relevantes. Assim, em vez de tratá-la como uma função de posição, podemos tratá-la como quantidades discretas como massa 1, massa 2, massa 3 etc. Por isso, por exemplo, trata-se de um sistema onde a suposição de massa lombada é usada para modelar massa. Então, nisso; supõe-se que uma massa uma massa concentrada esta se movendo é uma massa concentrada está presa a uma mola massless. Então, essa mola dá rigidez e a massa é assumida para estar concentrada nessa posição específica e novamente outra massa é tratada como a massa concentrada nessa posição específica.Então, quando podemos usar esse tipo de assunção, é realista usar essa suposição? Bem, em alguns casos isso é realista. Por exemplo, o mesmo feixe se tivéssemos uma máquina demuito pesada mantida neste feixe; esta máquina está causando alguma força dinâmica a este feixe. Vamos supor que a condição e a massa dessa máquina de dizer adicional sejam muito superiores à massa do feixe. Então, isso tem massa muito alta em comparação com o feixe. Então, em tais situações podemos negligenciar a massa deste feixe com relação a essa carga adicional sobre a estrutura.Então, o que podemos fazer? Podemos tratar isso como um feixe de massa e podemos esfolar a massa do feixe também com a massa m. Então, podemos tratá-lo como uma única massa agindo aqui e um feixe de massa. Esta suposição é válida quando o efeito dinâmico devido à pequena massa m é insignificante em comparação com o efeito dinâmico devido à massa real, a massa de carga. Por isso, em tais condições podemos tratar isso como um feixe de massa e podemos caroar todas as massas em um só local. Então, isso é equivalente a um sistema como este.Então, sabemos que o feixe tem alguma rigidez flexural; assim, ele oferecerá alguma rigidez lateral. Então, podemos calcular que em análise estática aprendemos como resolver e descobrir a rigidez lateral neste local específico; assim, podemos fazer isso. Então, esse sistema inteiro pode ser representado assim. Então, podemos tratá-lo como uma massa M mais m sentado em uma mola com ela é a constante de primavera k, e que k pode ser calculado a partir da propriedade deste avião, ok. Então, a massa é modelada de duas maneiras diferentes distribuídas massa e massa lombada.(Consulte o tempo de deslizamento: 10:19)Então, agora vamos ver qual é um grau de liberdade porque nosso curso é sobre grau único de estruturas de liberdade. Então, agora, vamos ver o que é um grau de liberdade. O grau de liberdade é o número de deslocamentos independentes necessários para definir as posições de todas as massas em um sistema em relação à sua posição original.Então, vamos entender esta afirmação um pouco em detalhes. Suponhamos, eu tenho um sistema como este uma mola conectado a uma massa e este será agido por alguma carga vibratória digamos em x direção. Então, isso é livre para vibrar nesse sentido. Então, a qualquer instante do tempo, se eu quiser descrever o sistema tudo o que eu preciso saber é a posição dessa massa nesse sentido porque isso não pode mover-se nessa direção. Então, se eu souber o deslocamento dessa massa em uma direção, eu posso calcular as propriedades restantes da estrutura. Então, trata-se de um único grau de estrutura de liberdade.similarmente, aqui temos duas massas e ambas as massas podem se mover nessa direção horizontal. Então, essa massa pode se mover de forma independente e isso também pode se mover de forma independente. Então, precisamos de dois deslocamentos independentes ou duas coordenadas para definir esse sistema. Então, a qualquer instante do tempo para saber a configuração deslocada dessa estrutura precisamos de duas coordenadas, x 1 e x 2. Então, trata-se de um sistema de dois graus de liberdade. Por isso, neste caso temos apenas uma massa, mas esta é livre para se mover em duas direções. Então, isso pode mover-se nessa direção alguma rigidez é apegada a ela e isso também pode se mover na direção x 2; assim, essa massa em qualquer ponto pode se mover em todo este plano.Então, para descrever o sistema completamente em qualquer instante precisamos conhecer as duas coordenadas. Por isso, apesar de a massa ser apenas uma precisamos de duas coordenadas para descrever o sistema. Então, esse também é um dois grau de estrutura de liberdade. Então, agora, vamos ver esse pêndulo simples. Nós temos uma sequência e temos uma massa presa a ela. Então, qual é o grau de liberdade dessa estrutura? Quantos grau de liberdades ela tem? Se yestamos supondo que a cadeia não é extensível podemos dizer que é um único grau de estrutura de liberdade porque para descrever a posição dessa massa em qualquer instante só precisamos conhecer essa teta de ângulo. Então, se a theta não é nós sabemos onde está a massa. Então, esse é um único grau de liberdade sistema.Então, agora, e se a cadeia for extensível; isso significa, isso pode girar, mas também a massa pode mover-se ao longo do eixo das cordas direito. Então, isso significa, além da theta que precisamos considerar também r que é a posição de massa dessa origem. Assim, a sequência é extensível estatorna-se um sistema de liberdade de dois graus. Este é um quadro de dois andares. Então, podemos supor que as massas antigas no chão são lombadas no chão e se o piso é rígido, este quadro se moverá apenas nessa direção horizontal. Por isso, neste caso tudo o que precisamos saber é o movimento dessa massa ao longo desta direção e o movimento da segunda missa nesse sentido. Assim, trata-se novamente de um sistema de liberdade de dois graus.(Consulte o Tempo do slide: 14:03)O nome graus de liberdade não deve se confundir com a indeterminação cinemática. Por isso, em análise estática você teria analisado esses tipos de quadros. Então, você sabe que temos duas rotações de junção – theta 1 e theta 2 e uma tradução. Assim, referimos também essas quantidades; essas rotações e tradução como graus de liberdade também, mas neste curso quando dizemos graus de liberdade o que significa o número de deslocamento independente que as massas na estrutura está tendo. Então, você não deve se confundir com a indeterminação cinemática e os graus de liberdade correspondentes à massa.Então, em análise dinâmica podemos tratar o sistema como este. Então, podemos encontrar uma rigidez equivalente k e podemos esfolar todas as massas do quadro aqui. Então, nós podemos tratá-lo como vibrando nesse sentido. Por isso, neste caso só precisamos do deslocamento dessa massa nessa direção horizontal. Então, esse sistema tem apenas um grau de liberdade. Então, tivemos indeterminação cinemática é igual a 3, mas para análise dinâmica precisamos de apenas 1 grau de liberdade.Agora, como fazer essa análise dinâmica? Para isso precisamos de uma rigidez equivalente a este quadro na direção lateral, certo. Então, nós temos que calcular a rigidez lateral deste quadro. Então, você sabe que para este quadro você tem indeterminação cinemática é 3, a matriz de rigidez será de 3 até 3. Assim, você terá coeficientes de rigidez correspondentes a estes três graus de liberdade. Por isso, na análise dinâmica precisamos apenas da rigidez na direção horizontal que é, essa rigidez equivalente e esse grau de liberdade.Então, temos que calcular essa rigidez lateral equivalente. Então, como você faz isso? Na análise estática você pode ter aprendido uma técnica chamada condensação estática. Então, isso é para eliminar os graus indesejados de liberdade de uma estrutura em que é atribuído massa zero. Assim, se temos mais graus de liberdade correspondentes à rigidez que é a indeterminação cinemática, podemos eliminar aqueles graus adicionais de liberdade onde nenhuma massa é atribuída usando esta técnica denominada condensação estática. Discutiremos isso em detalhes quando fizermos problemas de exemplo, mas agora apenas temos que entender que usando algumas técnicas de estatismo podemos calcular a rigidez lateral equivalente para este quadro e podemos usar isso em análise dinâmica.Então, acabamos de aprender a modelar a massa em análise dinâmica, aprendemos sobre graus de liberdade.(Consulte o Tempo do slide: 17:09)Agora, vamos rever como a rigidez é modelada. Isso é semelhante à modelagem da rigidez na análise estática. Então, nós não vamos entrar em muitos detalhes. Por isso, a rigidez define a forçadeslocamento de relação em uma estrutura. Assim, ele pode ser modelado como rigidez linear ou não-linear. Por isso, em caso de rigidez linear supomos que a lei de Hook ’ é válida a força é proporcional ao deslocamento produzido. Então, a rigidez é definida como a constante de proporcionalidade. Assim, a força restaurada que atua na estrutura terá função do deslocamento dado porque a rigidez é constante. Assim, restaurar a força será igual à rigidez multiplicada pelo deslocamento dado.fs (x)fs = k xEntão, se temos uma massa presa a uma mola e se estamos movendo essa massa um pouco em x direção, digamos que se você mova-la por x a mola aplicará uma força restaurada nesta massa assim e essa força é igual a k multiplicada por x, onde x é o deslocamento dado. Então, esta é a força restaurada devido ao efeito desta primavera. Portanto, no caso não linear Hook ’ s law não é válido e esta força restaurada, não é apenas apenas uma função de x também é uma função de x dot, pois esta força restaurada estará dependendo da taxa de carregamento também. Então, essa força restaurada será uma função de deslocamento e a velocidade deste corpo.Então, no nosso curso estaremos lidando com o material linear assim, nosso modelo de rigidez será linear. Assim, estaremos lidando com sistemas em que fs é igual a k x.(Consulte o Tempo de Slide: 19:06)Agora, vamos entender o que é amortecimento. Por isso, antes de definirmos o amortecimento vamos olhar para a vibração de um pequeno cantilever. Então, nisso o cantilever está vibrando e como você pode ver com o tempo a amplitude de vibração se reduz e, finalmente, a cantilever está chegando para descansar. Por isso, a propriedade pela qual a vibração em um sistema está diminuindo em amplitude é conhecida como amortecimento. Sendo assim, o amortecimento é referido como os mecanismos de dissipação de energia presentes em uma estrutura.Então, quais são as fontes de amortecimento? Qualquer mecanismo que esteja contribuindo para a dissipação de energia no sistema é uma fonte de amortecimento. Por isso, quando uma estrutura é repetidamente straining por causa dessa tenda alguma energia é absorvida. Então, isso causa o amortecimento e então haverá atrito nas articulações; assim, por causa do atrito alguma energia é perdida, isso também é uma fonte de amortecimento. Por isso, quando ressaltamos uma estrutura por causa da cepa às vezes alguma temperatura é desenvolvida então, isso precisa de energia. Então, isso também é uma causa de dissipação de energia.Em alguns sistemas quando se produz energia sonora vibratória é produzido assim, isso é uma causa de amortecimento. E, em estruturas de concreto por causa de straining repetidas haverá abertura e fechamento de rachaduras que irão dissipar alguma quantidade de energia e em algumas estruturas haverá dispositivos de amortecimento adicionais instalados para absorver alguma energia durante a vibração. Assim, todos esses mecanismos irão contribuir para a dissipação de energia na estrutura.Então, enquanto a modelagem de amortecimento é muito complexa modelar cada um desses mecanismos exatamente em detalhes. Então, o que fazemos é considerarmos um amortecimento equivalente. Assim, na medida em que a dissipação de energia devido ao modelo é equivalente à energia dissipada na estrutura real; ou seja, a dissipação de energia no modelo é equivalente à soma das dissipações de energia devido a todas essas diferentes fontes.Então, na maior parte do tempo utilizamos um modelo muito simples chamado amortecimento viscoso. Por isso, em amortecimento viscoso supomos que a força de amortecimento agindo sobre uma estrutura em um ciclo é igual a um coeficiente de amortecimento multiplicado pela velocidade nesse ciclo. Assim, podemos representar este sistema de amortecimento viscoso como este e se você mover essa massa em x-direção por uma quantidade x, restaurar a força é aplicada pelo amortecimento sobre esta massa e a força é igual a c x ponto.fD = cxE, o valor deste coeficiente de amortecimento é escolhido, de modo que a energia dissipada por este mecanismo de amortecimento é equivalente à soma da energia dissipada por todos esses mecanismos. Então, vamos aprender sobre amortecimento em detalhes neste curso. Por isso, neste momento apenas temos que entender que estamos usando um amortecimento equivalente e que o amortecimento viscoso é uma função de velocidade.(Consulte o Tempo do slide: 22:53)Então, o grau único de liberdade sistema pode ser representado como esta massa – massa pode ser lenhada como uma única massa concentrada única e haverá uma mola massless que está representando a rigidez no sistema e o amortecimento. O mecanismo de dissipação de energia pode ser representado usando um sistema de amortecimento viscoso com o coeficiente de amortecimento é igual a c e haverá uma força um tempo dinâmico variando força agindo sobre o sistema.Então, um único grau de liberdade sistema é representado assim. No nosso curso vamos estar aprendendo sobre um grau único de sistemas de liberdade. Assim, estaremos entendendo esses tipos de sistema, descobriremos como ele está se comportando com vários tipos de carregamento dinâmico e muitas estruturas de vida real podem ser simplificadas em um único grau de sistema de liberdade. Por exemplo, um reservatório de água pode ser tratado como um único grau de liberdade sistema para uma análise muito simples. Assim, você pode tratar que a massa no tanque é podemos deslanchá-lo como uma massa concentrada e as colunas podem ser modeladas como uma mola também podemos supor alguma quantidade de amortecimento no sistema.Então, muitas estruturas de vida real podem ser simplificadas como um único grau de liberdade sistema.(Consulte o Tempo do slide: 24:23)Agora, veremos o que é uma equação de movimento, ok. Por isso, mais cedo discutimos que para fazer um modelo temos que fazer primeiro um modelo mecânico e depois fazer um modelo matemático. Equação de movimento é um modelo matemático de um sistema dinâmico. Então, é uma equação diferencial governativa e podemos resolver essa equação e obter as respostas do sistema dinâmico como deslocamento, estresses, cepas etc. Então, se você tem um único grau de liberdade sistema como este; então, este é um modelo mecânico. Então, nós identificamos os elementos de um sistema dinâmico, massa, rigidez e amortecimento e sabemos que o sistema está interagindo assim. O elemento cada um está interagindo de uma forma descrita por este diagrama.Então, agora precisamos formar alguma equação que seja uma função de todos esses parâmetros, todos esses elementos. Então, agora, vamos analisar como um movimento de equação é formulado.(Consulte o Tempo do slide: 25:31)Então, primeiro vamos fazer uso de Newton ’ s slei econmica para encontrar equação de movimento de um sistema. Por isso, a segunda lei de Newton ’ diz que a força desequilibrada sobre um corpo é igual à massa do corpo multiplicada pela aceleração que ganha. Então, esse é o nosso único grau de liberdade sistema. Por isso, agora, vamos isolar este corpo que é a massa e nos deixar desenhar o diagrama de corpo livre da massa. Então, se o sistema está ficando vibrado nesse sentido porque temos uma força dinâmica nesse sentido x.Então, quando uma força está agindo nessa direção essa massa vai se mover na direção direita, força é nesse sentido. Assim, ele tentará puxar essa massa para a direção x para o lado direito. Então, o que acontece quando uma força está tentando puxar isso para a direção certa o que vai acontecer é essa rigidez e o amortecimento vai exercer alguma força restaurante no corpo para torná-lo em equilíbrio. Assim, a mola exercerão uma força restaurada é igual à rigidez vezes o deslocamento e o amortecimento exercerão outra força chamada de força de amortecimento e que é igual ao coeficiente de amortecimento multiplicado pela velocidade desta partícula de massa. Então, essas são as forças atuando atualmente nesse corpo.Então, agora calcularemos a força total agindo sobre aquele corpo que é igual à força desequilibrada. Então, a força desequilibrada sobre este corpo será igual para que tomemos esta direção como direção positiva. Então, vai ser F t e isto é na direção oposta então, é menos força de amortecimento negativa a gente precisa adicionar esta. Então, isso também está na direção contrária, então, será menos k x. Então, esta é a força desequilibrada agindo sobre elae o que diz a lei de Newton ’? Ela diz que a força desequilibrada é igual a aceleração de tempos de massa. Assim, podemos equacionar isso à massa, à massa do nosso corpo e à aceleração do corpo naquele instante específico. Então, é mx double dot.Então, agora, basta reorganizar esta equação nós vamos obter m x double dot mais kx plus cx dot é igual a F de t e esta equação é conhecida como equação de movimento deste único grau de estrutura de liberdade. E, esta equação representa todas as propriedades de um sistema dinâmico é assim, este termo fala sobre a força de inércia desenvolvida e esta é a força de amortecimento e esta é a força de mola contribuiu com a rigidez do sistema. Então, isso é conhecido como a equação do movimento.Então, podemos resolver isso para diferentes valores de força e calcular o valor de x que é o deslocamento em qualquer instante, então podemos calcular velocidade podemos calcular aceleração e forças de elementos estresses estria tudo o que podemos calcular. E, essa equação de movimento pode ser formulada de muitas maneiras.(Consulte o Tempo do slide: 28:54)Vamos discutir mais um método que é o princípio D ’ Alembert ’ s. Já discutimos o princípio D ’ Alembert ’ s na introdução. Então, o que é D ’ Alembert ’ s princípio dizer? Diz que se você considerar uma força de inércia que é igual a massa e aceleração no sentido oposto do movimento do corpo, podemos tratar isso como um equilíbrio. Nós