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Curvas e Surfaces

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Olá a todos, bem-vindos aos nossos cursos de certificação online NPTEL on Engineering Drawing e Computer Graphics. Estamos no módulo número 7, aprendendo sobre como construir modelos de superfície e mais longe estamos aprendendo um pouco sobre a Overview on Computer Graphics.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 00:31)

Por isso, na aula de hoje, vamos aprender sobre várias técnicas de construção de superfície. Em todas essas técnicas de construção de superfície, utilizamos principalmente os polinômios cúbicos como funções de base.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 00:49)

Por exemplo, temos um dado aponta algo como u 1, u 2, u 3 e assim por diante. E se você quiser, se você está interessado em construir uma curva primeiro, então vamos impor isso, ele satisfaz uma relação cúbica em que c0, c 1, c 2, c 3 são os coeficientes e u é um parâmetro que podemos estar em posição de dizer como, quais são as coordenadas x y z, coordenadas x y z diferentes nós vamos plug-lo. Então, essa uma vontade nós estaremos em uma posição para obter uma curva de parâmetro. Aqui cada um desses cs c0, c 1, c 2, c 3 representa basicamente as funções de peso dessa curva polinomial. Eles podem ser 1 1 1 1 tipo de coisa ou 1 0 1 0 tipos de coisa 1 0,5 0,1 esse tipo de coisa. Então, esses pesos nós mostramos cuidadosamente para que uma curva agradável realmente passe por esses pontos. Uma vez que construímos esses polinômios cúbicos, então, iremos interpolar aplicar a mesma técnica para construir as superfícies.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 02:13)

A primeira, em termos de superfícies bicúbicas Hermite, o que fazemos é construir uma curva entre os pontos. Esses pontos, se nos juntamos se estamos conseguindo uma curva especializada, por exemplo, o ponto p0, p 1 sabemos que são quaisquer coordenadas x y desse sistema.
Temos informações sobre esse ponto, temos informações sobre p 1 e similarmente, temos informações sobre a tangente a p0, que estamos representando a p0 prime. Da mesma forma, a tangente a p 1 que estamos chamando de p 1 prime. Se nós temos essas informações, uma curva na direção se pudermos interpolar com base nessas informações de tangente informação e ponto, uma curva suave se estamos passando por isso chamamos isso como curvas de Hermite.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 03:21)

Eles satisfazem uma relação particular, em que o seu P qualquer ponto p nessa curva, supostamente para satisfazer esta relação. Curva de Hermite, que estamos tentando localizar até mesmo na superfície. Então, você escolhe qualquer curva de Hermite, que está passando naquela superfície escolha aquele ponto, onde u v informações temos variação paramétrica.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 03:59)

Naquela superfície o ponto na direção de u v, supostamente para satisfazer esta relação. Com base nos pontos e nas informações tangentes o que temos.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 04:12)

E quando estamos construindo isso, tentamos minimizar certas questões como pesos e outras coisas.
Para essa finalidade, tentamos usar os valores da função, utilizamos os valores da função e também seus derivados tentam impor pontos diferentes para obter essa superfície e aquela matriz baseada em quão suave é o quão regularmente é condicionada ou mal-condicionada com base na qual iremos construir essas superfícies.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 04:50)

Há outras formas de construir superfícies também, essas são chamadas de Bezier curvas e superfícies Bezier.
Nisso, temos pontos de dados particulares como P 1, P 2, P 3, P 4. Nós não nos unimos a esses pontos de dados, o que fazemos é construir com base em certos, polígonos que se encaixam entre esses pontos de dados. E quando estamos encaixando esses polígonos, seja qual for a curva que passa por aquele cruzamento desses polígonos que é o que chamamos de curvas de Bezier.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 05:41)

Se eu estou representando em termos de variação paramétrica o P qualquer ponto P, nessa curva a curva paramétrica supunha ser expandida em termos de P i k i onde k 1 k 2 k 3 k 4s k 4s ter estas interpolações cúbicas.
Então, t é nossa variável paramétrica, como a nossa u, um polinomial cúbico, um cúbico, um cúbico, um cúbico em diferentes tipos de formatos vamos ajustar cuidadosamente. Então, que estaremos em condições de construir polígonos, através dos quais esta curva polinomial específica realmente passa.
Se vamos fazer isso, esse tipo de curvas o que chamamos de curvas de Bezier e essas são as curvas de representação mais populares.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 06:30)

E quando estamos desenhando tal tipo de curvas, exigimos apenas 4 pontos para construir aquela curva suave. Por exemplo, temos ponto P 1, P 2, P 3, P 4. Uma forma de representar esse aqui é talvez, eu estarei apenas indo construir como uma linha ou talvez, eu apenas construo algo como uma esplina.
A melhor representação é ir com essa representação do Bezier, através da qual minimizaremos esses pesos estaremos em condições de construir uma curva. A maioria dos editores gráficos, o software qualquer que nós vamos realmente desenhar as curvas e renderizar as coisas funciona nessas curvas de Bezier.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 07:30)

Se você está olhando isso em 3 dimensões. Por exemplo, este são os primeiros dados estes são os 4 pontos de dados, nós temos. Em seguida, primeiro, construiremos uma curva de Bezier nisso. Da mesma forma, estaremos tendo outros pontos de dados como um talvez, dois no fundo três e quatro em seguida novamente estaremos em condições de passar outra curva de Bezier. Da mesma forma, outra curva de Bezier, outra curva de Bezier similarmente nas outras direções temos 4 pontos de dados. Então, passe uma superfície uma curva de Bezier dessa forma.
Então, que nós estaremos em condições de construir, uma superfície livre sobre esse objeto. Ao apenas conhecer 16 pontos de dados estaremos em condições de construir uma superfície muito lisa.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 08:32)

Olhemos com atenção, os dados apontam o que temos são 1, 2, 3, 4. Da mesma forma, 1 talvez, 2, 3, 4, um inferior 5 e assim por diante. Estes são os pontos de dados o que temos.
Agora, uma tem que construir uma superfície, porque esses pontos de dados estão espalhados. Qual é a melhor maneira que alguém pode realmente ter essa superfície? Para esse propósito o que nós exigimos é, se temos mínimos de 16 pontos usando esses princípios de curvas Bezier, pode-se construir esta uma superfície lisa. Assim como ocorre com as superfícies, a curva em si não existe, até que computamos combinando estes 4 pontos ponderados por alguns coeficientes. Então, o que é essa curva não existe o que temos esses pontos de dados discretos, a partir daí estamos tentando construí-la.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 09:32)

A outra forma de representação, esses pontos de dados tentam construir superfícies chamadas de B-splines, que também é chamada como técnica de splines de base. Por ser um curso de desenho não estamos indo muitos detalhes para a formulação matemática dessas curvas, mas apenas para ter uma ideia geral sobre que tipo de curvas são boas para que tipo de aplicações, é a coisa que vamos aprender sobre isso.
Em técnicas de spline base, vamos utilizar polígonos em vez de quaisquer polinômios cúbicos. Então, em vez de usar quaisquer polinômios cúbicos, se vamos ter esses polígonos, chamamos isso de splines de base.
O termo B-spline foi cunhado por Isaac Jacob Schoenberg e é uma representação curta de dizer spline base. Uma função spline de ordem n é uma função polinomial piecewise de grau n menos 1 em um índice variável x. Os lugares onde as peças se encontram são conhecidas como nós.
A propriedade chave das funções spline é que eles e seus derivados podem ser contínuos dependendo da multiplicidade de nós, o quão complicados esses nós podemos estar tendo curvas lisas. E não utilizamos nada como polinômios cúbicos, como o que utilizamos para curvas de Bezier, mas aqui usamos polígonos. Ao ajustar cuidadosamente esses polígonos, estaremos em condições de construir superfície.
Por exemplo, temos esses pontos de dados. O polígono mais fácil o que eu realmente posso consertar é algo como uma cauda, uma cauda retangular eu posso colocar talvez um rhombus que eu possa realmente construir ou talvez um triângulo que eu possa realmente construir. Então, variando esses tipos de objetos eu estarei em condições de construir uma superfície. Então, com base no controle desses polígonos, pode ser hexagon, dodecahedrons e assim por coisas, estaremos em condições de construir uma superfície agradável.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 12:03)

B-splines of order n, funções base para funções spline para a mesma ordem definida sobre os mesmos nós, significando que toda a função spline possível pode ser construída a partir de uma combinação linear de B-splines. A vantagem é que você pode realmente adicioná-lo como uma função linear, essa é a vantagem o que obteremos com esta splines B, e há apenas uma combinação única para cada função spline. Quando você estiver usando isso, não haverá nenhuma multiplicidade envolvida naquela construção de superfície, você estará tendo aquela representação única.
Por exemplo, como os cascos de navio, você quer construir e assim por diante, geralmente, essas superfícies B-spline são bastante populares. Se você abrir qualquer software CAD pode ser de obras sólidas, AutoCAD estas opções você terá ou Open GL. Estes são tipos de software onde você terá esses tipos de opções, tipo se você gostaria de realmente interpolá-lo como através de B-splines ou Bezier curvas ou funções de base Hermite e assim por diante.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 13:23)

O outro tipo de representação é por Gordon superfícies. Assim, esses tipos de superfície de Gordon são chamados de modelagem de superfície freeform, isso significa, você tem pontos de dados você pode realmente arrastar-gota, de modo que a superfície é naturalmente ajustada naquele software CAD.
Assim, você estará tendo uma rede de curvas G 1, G 2. Por exemplo, como se eu estivesse dizendo algo assim é uma curva, você tem outra curva, você tem outra curva e você tem pontos de dados isolados aqui e ali.
Agora, usando o seu software CAD, você pode simplesmente escolher um dos pontos de dados para mover seu mouse aqui e ali. Então, aquelas variações de superfície você começa a ver e você cuidadosamente puxa a sua superfície em todos esses pontos, bem mapeados para obter um tipo suave de superfície. Esse tipo de superfícies o que chamamos de Gordon superfícies. Satisfaz certo tipo de relações como a sua curva G 1, a G 2 curvas e a intersecção destas G 1, G 2 curvas supostamente para satisfazer uma determinada função de mistura.
Por exemplo, como você tem uma variação drástica nessas superfícies, como você está fazendo um cilindro de motor de automóvel onde mufflers estarão lá, a mudança repentina nessas estruturas de gasodutos estará lá. Então o caminho mais fácil do que você pode realmente construir é esse Gordon superfícies. Aqui tal tipo de objeto é mostrado, uma coisa como uma superfície agradável cilíndrica vem de repente, há um nódulo acontece lá uma espécie de dente também ali.
Então, você gostaria de realmente encaixar uma curva agradável, através disso ou talvez você esteja trabalhando no campo biomédico seus fêmures ou estruturas ósseas. Estes não são apenas descritos por curvas muito lisas, pode haver variação súbita acontece nesses ossos, você quer realmente reconstruir tal tipo de objetos. Então a melhor maneira de olhar para isso é usando essas superfícies de Gordon. Não é necessário que o tipo de articulação óssea do quadril possa ser circular, ele pode estar tendo alguma curva especializada.
Assim, quando você estiver realmente tirando fotos através de câmeras, você estará tendo pontos de dados isolados agora você quer reconstruá-los e transferir esse dado inteiro para o seu objeto de impressão 3D. Então o que você faz é, você usa aquelas informações da informação do pixel para construir essas superfícies Gordon e ensiná-las ao computador ou a esse elemento da máquina imprimem-no desta forma. Para esse efeito, esses tipos de superfícies Gordon serão usados.
Especialmente, para dutos de motor a jato e outras coisas onde certa abrupção acontece, você usa este Gordon superfícies.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 16:14)

O outro tipo de superfícies é o Coons superfícies. Especialmente, o B-splines as splines de base são populares quando os limites estão abertos, você tem pontos de dados discretos, mas esses pontos de dados discretos não estão formando nenhum limite. Em algum lugar dentro desse objeto você tem ele então você usa splines B, mas se esses dados apontam em um tipo particular de limite. Nós empregamos essas superfícies de Coons e esta superfícies de Coons são melhores aproximações.
Por isso, Coons é um famoso pioneiro no campo da computação gráfica. Foi professor do MIT, e ele passou muito tempo em termos de construção dessas ferramentas de design para engenheiros. Então, algo como aqui, em uma abstração temos essa curva ou os pontos de dados sobre essa curva em particular e aqueles que formam limites. Qual é a melhor maneira de construir esses pontos de dados?
Uma superfície dentro daquela que não temos qualquer informação, o que temos é apenas a informação de limite que temos. Qual é a melhor maneira que eu realmente posso construir essa superfície? Procura visual muito agradável, mas construção significa que requer pouco conjunto de habilidades matemáticas. Então, qualquer software CAD de fato emprega essa programação de fundo, para construir tais tipos de superfícies.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 18:06)

Um patch de Coons, é um tipo de parametrização manifeste usado em gráficos de computador para unir tranquilamente outras superfícies juntas, e em aplicações de mecânica computacional, particularmente em métodos de elementos finitos e métodos de elementos de limite, você gostaria de realmente mesar os problemas de domínios em elementos e assim por diante. Essas superfícies de Coons são bastante populares.
Então, existem certos processos matemáticos para resolver equações diferenciais para entender os campos, que chamamos de métodos de elementos finitos. Você tem condições limite em uma dessas coisas particulares e talvez uma superfície que você gostaria de realmente representar uma superfície lisa, então você emprega esta superfície de Coons. Mesmo a meshing pode estar localmente zoando nessa imagem, esta superfícies de Coons sempre são úteis.
E mais adiante, nessas superfícies de Coons, as pessoas tentam usar uma mistura, tentar fumar essas superfícies e mesmo que você esteja zoando que a variação de pixels não deve realmente variar, esse tipo de técnicas o que as pessoas usam, para isso usam o tipo bilinear e o tipo bicúbico também.
Então, aqui o que estamos vendo é, basicamente o duto do motor. Os aviões, os motores a jato o que você tem nas asas, você terá algo como motores a jato que agarre o ar coloque um combustível, queimá-lo para que o escape saia e que possa suprir o impulso desse motor. Por isso, esses dutos sempre têm algum tipo de forma especializada, se você estiver olhando para isso eles gentilmente se viram e torcidas nessa direcionamento, para esse tipo de construção de superfície essas superfícies de Coons são bastante populares.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 20:07)

Então, diferente disso, quando você tem essas curvas. As bordas não queremos realmente ter coisas muito afiadas, fazendo com que essas pontas afiadas sempre sejam pouco difíceis também. A gente quer arredondar, tal tipo de coisa se vamos fazer chamamos filé daquelas superfícies. Por exemplo, temos um prato, uma placa retangular e novamente queremos nos juntar por outro, temos esses cantos afiados que não queremos que cantos afiados, o que fazemos é tentar remover essa superfície torná-la algo como liso.
Por exemplo, aqui essa porção retangular nós temos cantos lisos. Por causa dos cantos afiados, tentamos evitá-lo porque isso pode afetar nossa produtividade ou dano ou talvez formas de arranhões sejam difíceis de manter aquela coisa em particular. Então, nós sempre arredamos com isso, tal tipo de coisas o que chamamos de superfícies de filé. Uma superfície de filé é um canto arredondado, conectando as bordas de duas outras superfícies.
O caminho mais fácil é, você escolhe um raio de curvatura, um centro de lá você desenha uma batida para se juntar como uma tangente a essas curvas e remover o material restante e extruir essa informação para que, você obtenha uma superfície de filé.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 21:34)

Aqui temos outro tipo de representação, você tem essa placa retangular você tenta construir essa superfície lisa e tenta adicionar a essas porções, é isso que chamamos de superfície de filé.
Da mesma forma, vamos olhar para isso, talvez você tenha pára-brisas de carro automotivo tem que estar bem alinhado com o objeto. Não deve ser variação acentuada, para esse fim também usamos superfícies de filete. Sempre que você for usar essas superfícies de filé, a maneira popular de usar são superfícies B-spline uma pode realmente usá-la. Eles serão bem mapeados de um ponto para outros pontos.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 22:19)

Da mesma forma, em um software CAD, utilizamos outras variedades de superfícies, denominadas superfícies offset. Você tem uma superfície com relação a essa uma superfície com um deslocamento, tipo similar de superfície que gostaríamos de construí-lo. Por exemplo, eu tenho um cilindro, deixe, por exemplo, eu ter um cilindro. Gostaria de ter mais um cilindro concêntrico em torno de que se eu for construir tal tipo de coisa que é o que chamamos de superfícies offset.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 23:02)

Aqui, temos algum tipo de folha de amianto, o telhado uma coisa paralela que gostaríamos de construir, que é o que chamamos de superfícies offset aqui também. Uma maneira da maneira mais fácil de olhar para isso é, esta é a curva ou superfície o que temos pela primeira construção de um ponto naquele normal a essa direção, desenhe um círculo com um raio em particular, onde quer que essa superfície seja um ponto tangencial escolha. Algo como, nós temos um ponto aqui com uma distância de deslocamento como raio traçar um círculo.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 23:36)

Agora, vamos traçar uma tangente lá para que isso significar, nós temos esse ponto. Então, agora, junte-se a esses pontos construa uma superfície de deslocamento Essa é a maneira mais fácil que um pode realmente construir qualquer deslocamento, se quisermos realmente melhorar a qualidade dessa curva, utilizamos curvas especializadas.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 24:05)

Há uma outra terminologia também utilizamos quando estamos construindo esses objetos 3D usando software, que chamamos de chamfer.
Um chamfer está basicamente removendo material em um avião, nós não arredamos com ele, mas nós diremos para fora chop ou removemos esse material como um avião, um corte. Por exemplo, se estamos olhando para a visão planar,

consideremos que este é o objeto o que temos em 2 dimensões, queremos realmente remover esse corte de material, remover o material extra restante se fizermos isso chamamos aquele como chamfer.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 24:45)

Agora, nós queremos rodar isso fora então chamamos de filé. Por exemplo, aqui deixe-nos olhar para o ponto de vista da arquitetura, perto de Taj Mahal, há um portão de entrada a grande torre, se você estiver olhando para essas colunas estas não são arredondado tipo de torres de coluna. Estes são algo como um prato, próximo prato preso com outro prato que tipo de cortes acentuados se a temos sobre a que chamamos de chamfering.
Chamfering sempre é um belo corte que nós vamos ter, por causa do ponto de vista arquitetônico você pode estar indo ter esse tipo de coisa. Você quer enfiar algum tipo de fotos em superfícies de chamfer para que você precise de superfície plana em vez de uma superfície curvada, aí você vai com esse chamfering.
Por isso, na próxima aula, vamos aprender sobre obras sólidas e praticar alguns exemplos de como usar essa ferramenta.
Muito obrigado.