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Olá, todos. Bem-vindo aos nossos cursos de certificação online NPTEL on Engineering Drawing e Computer Graphics. Estamos cobrindo o módulo 17 e aprendendo sobre visão geral da Computer Graphics
-II.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 00:25)

Na última aula, tentamos ter alguma ideia sobre esses modelos de superfície e sua construção especialmente o software CAD utiliza dois métodos básicos de criação de superfícies. A primeira começa com a construção de curvas a partir das quais as superfícies 3D então varridas ou mesadas ao longo de todo.
A segunda é a criação direta de superfície com manipulação dos polos de superfície e pontos de controle e uma vantagem computacional quando as pessoas começaram a usar esses computadores ou a tentar usar pacotes. O segundo método é mais poderoso porque você estará tendo pontos discretos isolados e você tenta construir superfícies usando um tipo diferente de curvas através da qual.
E, uma das coisas do que tentamos olhar nas últimas aulas como se fosse uma superfície de avião se todos os seus dados apontam deitado em um único avião, o caminho mais fácil é tentar construir linhas através desses pontos e traçar outras linhas paralelas a isso. Este é o caminho que se pode realmente construir uma superfície.

E, se estamos escrevendo em forma de parâmetro, assim, o pano de fundo do ou back end de seu software de computador realmente funciona dessa forma. Ele escolhe pontos discretos isolados tentam interpolá-lo e construir superfícies. E, uma forma paramétrica se você tiver ponto P 0, P 1 e P 2 qualquer ponto novo talvez P one possa construir em termos de seu ponto P 0.
P 1 diferencias com P 0, e P 2 diferencias com P 0. Por isso, como ponto de referência P 0 vamos tomar outro ponto é P 1, P 2. Então, podemos sempre construir uma superfície de avião que esteja passando por esses três pontos. Quatro pontos são informações adicionais, mas três pontos são bons o suficiente para passar um avião e o normal para a superfície não é necessário que todos esses três pontos estarão em avião x avião ou y, mas pode ser em aviões diferentes.
Assim, através deste x, y, z diferentes tipos de locais podemos passar um avião e a superfície normal quando se está a tentar construi-lo será dado em termos do seu P 1, P 0 pontos cruz produto com P 2, P 0points e suas normas.
Por isso, em nível de computador o que ele faz é quando você está clicando em um software como um pick this point, esse ponto, outro ponto ele leva esses pontos e seu software tente fazer essa interpolação entre esses pontos tente colocar uma superfície. Esta superfície pode ser superfície de avião ou pode ser uma superfície curvada.
A construção de superfície curvada é um pouco mais complicada e difícil em comparação com sua superfície de avião e quando vamos aprender sobre essas interpolações curvas de superfície conceitos adicionais como Bezier curvas, Coons surface e outras coisas vem. Se for superfície de avião é bem encaminhada para frente.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 04:00)

A outra maneira de construir superfícies, ela localmente se parece com superfícies de avião são chamadas de superfícies governadas.
Por exemplo, vamos levar eu tenho alguma curva em 3-espaço dimensional similarmente eu tenho outra curva.
Essas curvas podem ser paralelas, podem não ser paralelas; elas podem ser offset umas com as outras também. Nesse caso, a coisa mais fácil do que se pode fazer é juntar-se a cada ponto, talvez escolha esses pontos para se juntar a ela por uma linha.
Similarmente, escolha outro ponto para aderir a ele por linha; similarmente, escolha outro ponto para aderir a ele por linha e assim por diante. Se nós vamos construir tal tipo de objeto que é o que chamamos de superfície governada. Essas curvas podem ser arbitrárias também. Por exemplo, podemos ter uma é uma linha reta outra é uma curva. E, decidimos dividir essa linha reta inteira em n número de partes iguais. Da mesma forma, a outra curva também vamos dividi-la em n igual número de partes.
Em seguida, junte-se a cada uma dessas coisas, isso representa uma maneira simplista de olhar para uma superfície governada e quando você está fazendo essa regra superfícies essas são sempre linhas retas a regra o que nós temos. Então, uma superfície governada é gerada unindo duas curvas de espaço ou trilhos é mais como treina os trilhos o que você tem com uma decisão de linha reta ou gerador.
Se duas curvas são denotadas por F de u, uma variação paramétrica e G de u; você pode pensar neste parâmetro u como uma função de tempo também. Com o tempo em que a localização desse ponto se desloca de um local para outro local ao longo da curva ou talvez você esteja definindo algo como ele tem que ir ao longo da superfície particular como uma superfície curva, talvez ela possa estar rolando em uma esfera, ela pode estar rolando em um elipsoide e assim por diante.
Então, essa variação paramétrica é u e sobre a variação paramétrica, estamos definindo algo como uma curva ela vai ao longo de que a direção especializada e outra curva é G de u. Então a equação paramétrica na extremidade posterior daquele computador o que ele faz é você construir qualquer ponto em entre isso como algumas funções de mistura como 1 menos nu multiplicado por G de u mais nu tempos F de u é baseado em quanta distância você iria realmente olhar para algo como a distância entre F de u e G de u se estamos representando uma fração em termos de nu 50% neste lado permanecendo 50% nesse lado ou 40% nesse lado 60% nesse lado 60
Esse tipo de pesagem nos aplicaremos para realmente mapear essas duas curvas junando uma linha e tentar construir uma superfície governada. Então, todo o objetivo naquele back end vai dessa forma. Você escolhe linhas, você tenta construir tranquilamente uma superfície passando por essas curvas. Por exemplo, em nossa tela de computador agora mesmo podemos estar tendo uma curva dessa forma específica, e talvez haja mais uma linha nessa borda. Consideremos que esta é a borda.

Algo assim agora eu quero realmente colocar a superfície nisso a nível de 2 dimensões, então como é que o computador é uma das formas mais fáceis? Ele escolhe esses pontos de dados no nível do pixel, tente interpolar como eu realmente posso aderir a este ponto de dados que o ponto de dados. Então, linha por linha ela a constrói e a enche por meio de um tipo particular de cores.
A mesma coisa acontece quando se vai criar um automóvel ou talvez uma caneta ou qualquer tipo de superfície. Para nós, no nível visual, nos sentimos como a curva ou a superfície tem que passar dessa forma. Mas, como você vai ensiná-lo a essa máquina a curva tem que passar dessa forma ou a ferramenta bit quando você está maquinando tem que ir ao longo desse tipo de superfície?
Então, deveria haver uma relação geométrica que temos de ensiná-la a essas máquinas ou a esse computador e todo o objetivo de qualquer modelo de superfície é a melhor aproximação o que se pode obter em termos de construção de uma superfície.
Então, com base nas curvas o que temos em 3-espaço dimensional nós estávamos em condições de construir uma superfície unindo por essas linhas e esse tipo de superfícies o que chamamos de superfícies governadas.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 09:30)

Assim, com base em quantos pontos de dados gostaríamos de construir pode-se ter uma interpolação linear criando ou movendo-se ao longo de direções especializadas uma das maneiras mais fáceis é dividir esta linha em um número igual de partes em ambos os lados e mostrar uma determinada direção de seta e tentar loft ao longo dessa superfícies. Se estamos fazendo isso chamamos isso como superfícies lotadas.

No caso de superfícies governadas, não é necessário que você tenha um número igual de pontos em ambos os lados, mas geralmente, para superfícies de lofador, você divide-o em um número igual de pontos em ambos os lados dessa curva como e unido por linhas retas. Assim, a superfície de lofter é uma forma especializada da sua superfície governada.
A outra maneira de olhar para essas superfícies de lofador, por exemplo, temos uma curva em particular é uma curva fechada de um lado. Temos outro tipo de curva fechada também. Agora, há uma linha em curva de espinha que chamamos de que é esta. Agora, se eu realmente mover essa curva ao longo dessa curva de espinha, seja qual for a superfície que ela fizer isso é o que chamamos de superfície lotada também.
Então, essa curva é uma curva paramétrica como está se movendo desse ponto a esse ponto, a forma dessa curva pode estar variando que é a razão pela qual estamos chamando-a como curva paramétrica talvez inicialmente no ponto A pode estar em formato circular; no ponto B pode ser elipse tipo elíptico de forma; no ponto C pode estar tendo algo como um tipo de estrela forma e assim por diante.
Então, estamos movimentando esse tipo de curva paramétrica ao longo de uma curva de espinha então também estaremos em condições de obter um tipo particular de superfície. Esse tipo de superfícies o que chamamos de superfícies lotadas. Por exemplo, se eu estou tendo um círculo em torno de um determinado eixo se eu estiver me movendo talvez eu possa estar indo buscar uma mastigação.
A outra maneira de olhar para as superfícies é superfícies giradas.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 11:55)

Por exemplo, se eu tiver alguma curva arbitrária e sobre um eixo se eu for girá-lo em 360 graus, talvez eu possa estar indo para obter uma determinada forma. Então, uma superfície girada é gerada espaço vá sobre um eixo de rotação. Então, esse é o eixo, essa é a curva.

Quando vamos aprender sobre esse pacote de software algumas coisas como definir uma curva de definição de eixo é importante para construir esse tipo de superfícies giradas.
E, especialmente temos alguma variação paramétrica r de z em termos de u em termos de cos funções sin funções se eu for girar como um círculo ao longo de uma determinada direção z-direção, obteremos o objeto que chamamos de superfícies giradas. Esta sempre é superfície axismmétrica e pode ser gerada rodando uma forma de fio simples.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 13:16)

Usualmente, definimos rotação positiva, algo como em sentido anti-horário tentaremos girar os objetos. Outras superfícies são chamadas de superfícies de cilindro tabulado; nesse caso, temos uma curva em particular. Se eu estou arrastando que ao longo da direção particular ele forma uma superfície, esse tipo de coisas o que chamamos de superfícies tabuladas e principalmente, um software como o SolidWorks que vamos aprenda isso em próximas turmas, há um comando denominado extrude ou extrusão. Usando esse comando uma vez que você desenha uma curva você pode realmente varrê-lo na direção lateral para fazer o objeto.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 14:16)

Agora, onde utilizamos tais tipos de superfícies? Há melhor maneira de representar essas superfícies?
Em muitas aplicações, se estamos olhando como visões de computador como sobre construir esses modelos 3 dimensionais e assim por diante, ou imagens médicas.
Talvez você possa estar tendo uma coisa de imagem médica e gostaria de construir fotos de 3 dimensionais a partir de diferentes visões, não é possível por um ser humano visualizar que imagens médicas complicadas para construir algo como 3D.
Por isso, temos que ensiná-lo ao computador ou talvez utilizar pelo menos um software que possa ler esta diferentes visões tentar mapear que construa a superfície e o back end o que acontece é você impor certas funções matemáticas que passam por esses pontos de dados porque temos pontos de dados isolados em termos de pixels como cores vermelho, azul, verde ou talvez branco e preto, cinza grayscale tipo de imagens e etc. Então, temos contraste de cores a partir daí vamos tentar impor certas funções passam curvas por meio disso para criar algo como um objeto por exemplo, como o MRI escanear como o software constrói aquela imagens 3D. Por isso, para a geração de imagens médicas a geração de dados de superfície está disponível apenas na forma de um conjunto de pontos de dados e o que nós todos o tempo interessado está construindo aquela imagem 3D.
E, especialmente a maioria desses trabalhos de software sobre princípios básicos como talvez ir com processadores de construção de superfície bicúbica Hermite ou superfícies de Beziers superfícies ou B-spline superfícies algo como, Coons superfícies que são superfícies populares ou Gordon-mudanças bruscas bruscas associadas a superfícies, algo como arredondamento de superfícies como superfícies de filé, algo como picar esses materiais denominados superfícies offset. Por isso, agora vamos aprender que teremos alguma ideia sobre esse procedimento de construção de superfície passo a passo.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 16:47)

Antes de mais nada, temos que definir algo chamado curvas. Curvas são sempre representação de parâmetro única. Você pode estar tendo x como uma função de x de u; y pode ser uma variação paramétrica y como função de u; z pode ser uma função de u. Se for algo como uma espiral você tem r theta phi tipo de coordenadas que podem ser conectadas por um único parâmetro.
Da mesma forma, você tem qualquer ponto x, y, z onde você tem informações talvez uma possa passar uma curva através dessa e aquela variação paramétrica o que estamos dizendo referindo-se a u. Por exemplo, se for um círculo cos u sin u define seu círculo. Este u pode ser a coordenada angular theta em um caso de instância em particular e porque ele é uma coisa de círculo 2 dimensional. Então, não haverá nenhuma variação de z. E, agora, eu gostaria de construir algo como uma curva que tive de unir esses pontos de dados; isso significa, eu preciso de algo como de um ponto a outros pontos se eu estiver movimentando como essa tangente se parece. Antes de mais nada, este é o primeiro ponto de dados. A não ser que eu conheça as informações tangentes não sei onde exatamente o terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo pontos estão presentes.
Por isso, todo o tempo que eu preciso de informações sobre a tangente, o ponto informava as informações tangente para que eu possa varrer na próxima direção para representar algo como uma curva que pode ser encaixada de forma suave como um círculo. Então, nós exigimos que a informação P e também nós exigimos as informações tangentes, se temos nós teremos condições de traçar uma curva suave.
É mais como em folhas de desenho mais cedo temos que tentar desenhar curvas lisas de freehand. Isso porque o nosso visual diz que a partir deste ponto você vai nessa direção, mas para o computador, você tem que ensinar a construir uma tangente, ir para o próximo ponto por integração talvez possa ser uma integração de Euler, vá juntar essas coisas e construir uma curva.

Se for uma superfície estaremos tendo dois parâmetros u e v; talvez em duas direções teremos essa variação paramétrica u, v e qualquer ponto de dados sobre essa superfície representada por dois parâmetros u, v; y também é como função de u, v; z também como função de u, v. E, exigimos derivativos parciais descrevendo tangente naqueles pontos como como falamos sobre um ponto da curva e uma tangente para que eu possa construir um círculo.
Se eu gostaria de construir um primeiro ponto de superfície, o segundo ponto, talvez terceiro ponto em quarto ponto estes são os pontos que temos. Uma maneira é você sempre pode se conectar por linhas, mas você quer uma descrição melhor naturalmente você requer informações adicionais na curva tem que ir a direção para baixo dessa forma, a curva tem que ir para direção ascendente, a curva tem que ir para direção ascendente e direção descendente.
Então você estará em condições de se juntar a isso por essa via. Então, esse tipo de princípio você tem que ensiná-lo a computador; isso significa, você exige os derivados parciais daquela superfície que estamos descrevendo P de u comma v.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 20:51)

Você pode pensar neste u, v como o novo sistema de coordenadas sobre o qual você vai desenhar uma superfície P onde del P por del u e del P por del v você precisa saber ou você tem que avaliar naquele pontos.
Então, você pode estar tendo 4 pontos de dados, mas essas tangentes você vai mapear ou construir interpolato extra, extra 30 pontos a mais em entre esses 4 pontos. Qual é a melhor forma de representar isso, esse é o objetivo todo desta construção de superfície.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 21:28)

Algumas das informações essenciais o que se deve saber é sobre tangente e normalidade, e qual é o alcance que estas informações de u e v uma vai estar tendo. Por exemplo, seu espaço pode ser de 1 metro para estendê-lo a algo como 500 metros. Mas, quando você está ensinando para o computador os módulos quando você vai se desenvolver ou talvez o programa de fundo você sempre normalize esse 500 para algo como 0 1 tipo de sistema de coordenadas.
Você constrói qualquer ponto de dados ele é mais parecido com um mapeamento de 1 500 para 0 1 tipo de sistema. Quando você faz isso você está encolhendo o mesmo submódulo ou função você está todo o tempo chamando estes são meus x limites, y limites. Então, encaixe uma curva em entre isso ou encaixe uma superfície em entre 0, 1 e novamente recale-a até 1 500. É assim que funciona.
Se for um encaixe de curva ou utilizaremos as relações algébricas em termos de relações lineares ou talvez estaremos utilizando funções polinomiais. Por exemplo, uma curva x de u, y de u, z de u, z de u, z o ponto nós temos variação paramétrica, se eu vou fixar um polinomial em u então a curva P é a curva em forma paramétrica pode ser escrita como c k multiplicada por u k, é mais como a somatória k é igual a 0 n significa c 1 u 1 mais c 2 u 2 mais c 3 u 3 mais e assim em quantos pontos de dados você tem tanto.
Com base em suas tangentes você tenta derivar uma relação o que pode ser o peso que tem para usar para c 1, c 2, c 3 e assim por diante; se deve ser 0,5 vezes de u 1, seja 0,1 vezes disso ou outras coisas. O melhor exemplo é quando estamos decompondo uma função em termos de cosseno sinusoidal de coisa usando série de Fourier, escrevemos sempre um 0, um 1, um 2, um 3 e assim por diante; b 0, b 1, b 2, b 3 e assim por diante assim as coisas.

E, tentamos impor certo tipo de condição o que deve ser esse fator um 0, um 1, um 2 e assim por b 0, b 1, b 2 com base no discreto aponta o que temos informações geralmente essa série de Fourier como o cosseno sine nós usamos para o tipo periódica de funções, mas esses pontos de dados podem não seguir funções periódica.
Nesse caso, a melhor maneira de aproximar essa curva é por expansões polinomiais.
E, nós minimizamos maximizar certo tipo de pesos para que nós cuidadosamente ajustemos que tudo faz por computador por programas e, finalmente, ele constrói uma curva suave junto com esses pontos de dados.
(Consulte O Tempo De Deslizamento: 24:57)

Da mesma forma, se vamos construir superfícies esta expansão polinomial não só faremos apenas em uma dimensão como x, mas poderíamos estar indo fazê-lo em x, y direções nossas u, v variações paramétricas.
Portanto, se estamos olhando para isso cuidadosamente a superfície polinomial P como função de u, v representada em termos de seu x, y, z aponta em todo este espaço qualquer que seja aqueles pontos discretos que temos podem ser expandidos em termos de dupla somatória.
Somatória em i, somatória em k é mais como se você estiver escrevendo um programa para i é igual a 1 ou para i é igual a 0 para m menos 1 pontos de dados; para j é igual a 0 para n menos 1 pontos de dados, avalie alguma função c de i comma k multiplicada por seu u paramétrico u de i multiplicado por v de k que é a maneira como expandimos isso e tentamos fixar c i informacoes. E, com base em i, k tipo de informação quantos pontos de dados eu gostaria de ter, eu estarei em condições de construir uma superfície.

(Consulte O Tempo De Deslizamento: 26:15)

Por isso, alguns dos conceitos importantes para essas construções de superfície são pontos unidos para segmentos e patches ou você se junta a um ponto a outro ponto ou por patches que faremos. Os dados mínimos apontam o que temos aqueles que iremos usá-los como parâmetros de controle para torná-lo para cima e para baixo tipo de coisas e exigimos algo sobre tangentes, seu smoothies também.
Com base nessa informação vamos misturar as funções para descrever as interpolações e primeiro, sempre construiremos curvas e depois iremos com superfícies. Assim, qualquer software o que utilizamos sempre envolve tal tipo de passo por interpolações de etapas.
Por isso, na próxima aula, vamos detalhar em detalhes sobre esses diferentes tipos de superfícies como Hermite, Bezier e outras superfícies.
Muito obrigado.