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Representação Matricial e Composição de Transformações

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Olá e bem-vindo a palestra número 11 no curso Gráficos de informática. Estamos discutindo diferentes estágios do pipeline gráfico.
Por isso, na última palestra, fomos apresentados à ideia básica o que entendemos por transformação de modelagem e também introduzimos 4 transformações básicas usando as quais executamos qualquer tipo de transformação modeladora. Agora, hoje, vamos aprender sobre representação. Por isso, na palestra anterior que falamos sobre como representar as transformações, hoje vamos aprender sobre uma forma alternativa de representar essas transformações.
O que temos visto na palestra anterior como podemos representar a transformação. Se você pode se recolonizar, há 4 transformações básicas; tradução, rotação, escalação e tosse. Usando essas 4 transformações básicas, podemos realizar qualquer transformação geométrica em qualquer objeto, aplicando qualquer uma dessas 4 transformações ou aplicando essas transformações na sequência uma após outras múltiplas vezes e assim por diante.
E discutimos essas transformações em termos de equações. Para a tradução, discutimos a relação entre o ponto original e o ponto transformado que é ponto após a tradução como mostrado nestas duas equações. Para rodízio, similarmente, estabelecemos a relação entre o ponto original e o ponto transformado usando essas duas equações.
O mesmo foi o caso com escalonamento, novamente duas equações; uma cada uma para as duas coordenadas e a shear. Nessas equações começando com a tradução, utilizamos alguns parâmetros tx, ty ou a quantidade de traduções ao longo de x e y direção. Da mesma forma, o couro é o ângulo de rotação nessas equações de rotação, sx, sy são os fatores de escalação ao longo das direções x e y, respectivamente. E shx, tímidos são os fatores de cisalhaço ao longo das direções x e y, respectivamente.
Assim, como mostramos podemos realmente utilizar essas equações para representar as transformações. Agora, como já discutimos em palestras introdutórias, há pacotes gráficos, há bibliotecas gráficas que são desenvolvidas para realmente tornar a vida de um desenvolvedor mais fácil para que um desenvolvedor não precise sempre implementar os componentes individuais de um pipeline gráfico para desenvolver um produto. Para construir um pacote ou com o intuito de desenvolver funções de biblioteca, o que precisamos, precisamos de modularidade; precisamos de forma padrão de definição de entradas e saídas para cada função.
Infelizmente, a equação baseada em representações de transformações não suporta tal modularidade. Por isso, quando estamos tentando representar transformações usando equações, é difícil modular o pipeline geral em termos de entrada e saída padronizados e funções padronizadas, pois em estágios subsequentes do pipeline, veremos outras transformações e cada uma dessas transformações terá equações diferentes representadas em diferentes formas e formatos.
Por isso, então será muito difícil combinar esses diferentes estágios e implementar um pacote ou uma biblioteca, onde o usuário não se incomodará com o funcionamento interno do pacote. Para manter essa modularidade, representações baseadas em equação não são adequadas. Exigimos alguma representação alternativa e uma dessas representações alternativas, que suporte a nossa necessidade de um desenvolvimento de sistema modular baseado em modularizado é a representação matricial. Então, nós podemos realmente representar transformações na forma de matrizes. E, mais adiante, veremos que outras etapas do pipeline também podem ser implementadas por representar operações básicas na forma de matrizes.
Assim, haverá alguma sinergia entre estágios diferentes e será mais fácil implementar esses estágios na forma de pacotes predefinidos, funções ou bibliotecas.
Então, como essas matrizes parecem nos deixar levar, por exemplo, a transformação escalonada. Agora, se quisermos representar o escalonamento na forma de matrizes, o que faremos? Criaremos uma matriz nessa forma, uma matriz de 2 × 2 e os fatores de escalação serão posicionados ao longo da diagonal como mostrado aqui. Agora, como aplicar essa transformação então? Suponhamos que nos seja dado um ponto P (x, y) e nós queremos transformá-lo por escalonamento. Então, o que vamos fazer? Podemos representar este ponto como um vetor de coluna mostrado aqui e, em seguida, multiplicar essa matriz de transformação com o vetor da coluna. Este é o produto dot das matrizes para obter os novos pontos. Então, essencialmente, precisamos ter multiplicação matricial. E essa forma de representar as operações de transformação na verdade é o que torna mais fácil a implementação de forma modular.
Então, nós representamos o escalonamento em termos de matriz de 2 × 2. Podemos fazer o mesmo com rotação; podemos ter uma matriz de 2 × 2 por representar a transformação de rotação, assim como a cisalhamento. Então, então, podemos ter 2 × 2 matrizes para as 3 operações; rotação, escalonamento e cisalhamento. Infelizmente, 2 × 2 matrizes não serviriam ao nosso propósito. Pois, não importa o quanto tentamos, não poderemos implementar ou representar a transformação de tradução utilizando uma matriz de 2 × 2 ao contrário das outras 3 transformações básicas que não é possível. Assim, para evitar esse problema, a fim de abordar essa questão, vamos para outro tipo de representação matricial, que é chamada de representação em um sistema de coordenadas homogêneas. Agora, o que essa representação homogênea baseada em matrículas se refere a?
Portanto, essencialmente é uma técnica de representação abstrata que significa que este sistema de coordenadas realmente não existe no sentido físico; é puramente matemático, puramente abstrato. Assim, pode haver fisicamente um ponto dimensional de 2 que transformamos para um sistema de coordenadas abstratas dimensionais de 3 chamado sistema de coordenadas homogêneas. Assim, cada ponto 2D representado por estas 2 coordenadas x e y podem ser representados com um vetor de 3 elementos como mostrado aqui, cada um desses elementos correspondem às coordenadas no sistema de coordenadas homogêneas. Por isso, estamos transformando um ponto 2D em um espaço 3D neste caso, o espaço 3D é o espaço de coordenadas homogêneas abstratas e cada ponto é representado com um vetor de 3 elemento.
Então, qual é a relação entre essas 2 representações? Então, temos um ponto 2D representado por suas 2 coordenadas x e y. E agora, nós a transformamos ou estamos apresentando o mesmo ponto em um espaço dimensional de 3 chamado de sistema de coordenadas homogêneas onde estamos representando o mesmo ponto com 3 valores de coordenadas xh, yh e h. Então, quais são as relações entre essas quantidades?
Agora, a coordenada original x é igual à coordenada x no sistema de coordenadas homogêneas dividido por h, que é o terceiro valor de coordenada e coordenada original y é igual à coordenada y no sistema de coordenadas homogêneas divididas por novamente o h, h é chamado de fator homogêneo e é importante notar que ele pode levar qualquer valor não zero, ele deve ser valor não zero.
Há mais algumas coisas que devemos notar aqui, uma vez que, estamos considerando h o fator homogêneo. Então, se h é 0, então consideramos que ponto para estar no infinito no sistema de coordenadas homogêneas, e não existe um conceito de origem desde 0 × 0 não é definido assim, geralmente não permitimos que o ponto de origem onde tudo é 0. Então, essas duas coisas que devemos lembrar enquanto lidamos com sistema de coordenadas homogêneas, primeira coisa é se h torna-se 0, então consideramos que ponto para estar no infinito e não existe um conceito de origem no sistema de coordenadas homogêneas.
Agora, vamos tentar entender como podemos converter essas matrizes de transformação geométrica em matrizes no sistema de coordenadas homogêneas. Então, mais cedo tivemos essa 2 por 2 matrizes representando as 3 transformações básicas fora de 4; rotação, escalonamento e cisalhamento. Como já mencionamos, portanto, as matrizes de 2 × 2 se transformarão em matrizes de 3 × 3 no sistema de coordenadas homogêneas. Na verdade, em geral se houver uma matriz de transformação de matriz N × N, ela é convertida em matrizes (N + 1) × (N + 1).
Agora, se representamos uma matriz de transformação, uma matriz de transformação de 2D usando uma matriz de 3 × 3, então seremos capazes de representar a tradução também assim nosso problema anterior será resolvido, mais cedo fomos incapazes de representar a tradução usando uma matriz de 2 × 2, embora você seja capaz de representar as outras 3 transformações básicas. Agora, com representação homogênea, seremos capazes de evitar isso, poderemos representar toda a transformação básica de 4 utilizando 3 × 3 matrizes.
Outra coisa que devemos ter em mente é que, quando estamos falando de transformações geométricas, nós sempre consideramos h a 1. Então, o valor h será sempre de 1. No entanto, há outras transformações que encontraremos em nossas palestras subsequentes, onde h não é igual a 1.
Agora, vejamos como as transformações básicas são representadas utilizando matrizes de coordenadas homogêneas. Assim, tradução podemos representar usando essas matrizes, rotação podemos representar usando essas matrizes onde o phi é o ângulo de rotação, o escalonamento pode ser representado usando essas matrizes e, finalmente, o shear pode ser representado usando essas matrizes. Agora, em caso de escalação, sx, sy representa os fatores de escalação ao longo de x e direção y, em caso de seara shx e tímido representam os fatores de direção ao longo x e y direção respectivamente.
Então, aqui você pode ver que conseguimos para o presente todas as transformações, todas as transformações básicas na forma de matrizes, embora tenhamos que usar 3 × 3 matrizes para representar 2 transformações dimensionais.
Uma vez que, estamos usando sistema de coordenadas homogêneo, então, nossa representação de ponto também muda. Então, mais cedo tivemos essa representação para cada ponto, agora estaremos representando cada ponto usando um vetor de coluna de 3 elementos e as demais operações permanecem as mesmas com modificação menor. Por isso, primeiro aplicamos a multiplicação matricial como antes para obter o novo ponto que é P '= S.P. Mas, depois disso, o que precisamos fazer é dividir o que tenhamos em P', os valores x e y por h para obter o valor original, esta é a regra geral para repassar os pontos reais.
Mas, em caso de transformação geométrica como já mencionamos, h é sempre 1. Então, realmente não importa. Mas, outras transformações vão ver em palestras subsequentes onde importa muito. Até agora o que temos discutido é o que são as transformações básicas, e como podemos representar essas transformações, e também como podemos utilizar aqueles para transformar um ponto que é realizando uma multiplicação matricial.
Agora, vamos tentar entender o processo de composição da Transformação. Quando exigimos composição? Se temos que realizar transformações que envolvem mais de uma transformação básica, então precisamos combiná-las em conjunto. Agora, a questão é como combinar e em qual sequência?
Por isso, quando estamos realizando múltiplas transformações geométricas para construir cena de coordenadas mundiais, precisamos abordar as questões de como executamos essas múltiplas transformações juntas e qual deve ser a sequência de transformações a serem seguidas.
Vamos tentar entender isso em termos de exemplo. Aqui nesta figura, olhe para a figura de topo aqui. Vemos um objeto denotado pelos vértices ABCD com sua dimensão é dada. Agora, a figura de baixo mostra uma cena coordenada pelo mundo em que o mesmo objeto é colocado aqui que é usado para definir uma chaminé deixe-nos assumir a casa. Agora, aqui você pode ver que o vértice original A se transformou em A ', B foi transformado em B', C se transformou em C' e D se transformou em D'. E também, a dimensão mudou.
Por isso, a dimensão anterior realmente se reduziu ao longo da direção x, embora a dimensão ao longo da direção y tenha permanecido a mesma. Então, duas coisas aconteceram aqui como você pode notar nessa figura, primeiro de toda a sua dimensão mudou e em segundo lugar sua posição mudou. Então, mais cedo estava tendo um vértice como origem, agora ele é colocado em um ponto diferente. Assim, são necessárias duas transformações; uma é escalar e a outra é a tradução, escalando para reduzir o tamanho, tradução para reposicioná-lo no cenário de coordenadas mundiais. Isso muito podemos entender a partir da figura, mas como realmente aplicar essas transformações que é a pergunta que queremos responder para que tenhamos os novos vértices. O que sabemos? Sabemos que para obter os novos vértices precisamos multiplicar os vértices atuais com uma matriz de transformação. Mas, aqui não é uma matriz de transformação básica, é uma composição de duas matrizes de transformação básica, e precisamos executar que, como fazer isso, como combinar as duas matrizes?
Deixe-nos ir passo a passo. Primeiro passo, é preciso determinar as matrizes básicas que significa determinar a quantidade de tradução e determinar os fatores de escalação. Observe que o objeto é reduzido pela metade enquanto a altura é a mesma que significa ao longo da direção x ela caiu pela metade mas ao longo de y direção permaneceu a mesma. Assim, a matriz de escalas seria sx deve ser a metade e sy será 1 como mostrado nesta matriz de transformação para escalar.
Agora tradução, a segunda transformação básica que nós exigimos. Agora, aqui o vértice D foi a origem como você pode ver aqui, para onde foi transferido? Para D'. Agora, qual é a posição de vértice do ponto transformado que é (5, 5). Então, a origem ficou reposicionada para (5, 5) que é essencialmente 5 unidade deslocamento ao longo das direções horizontais e verticais. Então, então tx igual a 5 e ty igual a 5, portanto, se usarmos esses valores na matriz de transformação para tradução, então obteremos essa matriz nesse caso atual. Então, mais cedo obtivemos a matriz de escalas agora, obtivemos a matriz de tradução mas nossa pergunta continua sendo como combiná-los?
Essa é a segunda etapa de composição das matrizes ou obter a matriz composta. O que precisamos fazer é multiplicar as matrizes básicas em sequência e esse sequenciamento é muito importante, seguimos o direito à sequência de esquerda que é uma regra que seguimos para formar a sequência. Agora, o que esta regra nos diz?
Primeira transformação aplicada sobre o objeto é a direita mais na sequência, próxima transformação são listas à esquerda dessa transformação anterior e assim por diante, até chegarmos à última transformação. Então, se aplicarmos a primeira transformação digamos T1 no objeto então ele deve ser colocado no direitomais. Agora, suponhamos que exigimos outra transformação que é de 2, então T2 virá pelo lado esquerdo de T1, se houver mais uma transformação precisa ser aplicada diz T3 então ela vem esquerda de T2 e assim por diante até chegarmos à transformação final dizer Tn.
Este é o direito à regra de esquerda; primeira transformação aplicada sobre o objeto está no lado mais à direita seguido por outras transformações em sequência até o ponto mais à esquerda onde colocamos a última transformação aplicada sobre o objeto.
Assim, no nosso caso, podemos formá-lo desta forma, a primeira transformação a ser aplicada é o escalonamento seguido de tradução. Então, direito de esquerda significa primeiro S, e em seu lado esquerdo será T para que esses dois tenham multiplicação como mostrado por estas 2 matrizes e o resultado será esta matriz. Então, esta é a nossa matriz composta para aquela transformação particular. Uma vez que obtemos a matriz composta depois de multiplicarmos as matrizes atuais com a matriz composta, obteremos os novos pontos.
Por isso, no nosso caso, esta etapa nos levará aos pontos como mostrado aqui, A 'pode ser derivada multiplicando esta matriz composta com o vértice correspondente em sistema de coordenadas homogêneas para obter este vértice final em sistema de coordenadas homogêneas e que é verdadeiro para B', C' e D'.
Agora, a última etapa do curso, é transformar desde a representação homogênea até a representação real que fazemos dividindo os valores x e y pelo fator homogêneo h. Agora h no nosso caso, é o caso em que estamos preocupados com a transformação geométrica, são 1. Assim, nossos pontos de transformação final ou vértices devem ser obtidos desta forma, A 'obteremos dividindo os valores x e y pelos fatores homogêneos, e similarmente para B', C ' e D'.
Então, o que nós fizemos? Nós identificamos pela primeira vez as transformações básicas. Isso foi seguido formando a sequência no direito à maneira de esquerda que é colocamos a transformação que deve ser aplicada sobre o objeto em primeiro como a transformação mais à direita, depois a próxima transformação a ser aplicada sobre o objeto como a transformação deixada para a transformação anterior e assim, em.
Em seguida, multiplicamos essas matrizes de transformação básica para obter a matriz de transformação composta. Em seguida, multiplicamos os pontos com essa matriz de transformação composta para obter os pontos de transformação em sistema de coordenadas homogêneas. Por fim, dividimos os valores x e y dessa representação homogênea coordenada pelo fator homogêneo para conseguir de volta o ponto transformado original.
Devemos lembrar aqui que a multiplicação matricial não é comuttativa. Então, a formação da sequência é muito importante. Então, mais cedo nós fizemos tradução multiplicada por escalar seguindo o direito à regra de esquerda. Agora, se o fizemos da outra maneira que é o escalonamento seguido de tradução, ele levará a uma matriz diferente enquanto isso nos deu M, e já que a multiplicação matricial não é comutativa, portanto não podemos dizer M=M 'tão real Mbasta M'. Portanto, se não criarmos a sequência adequadamente, então nosso resultado será errado, podemos não obter as matrizes de transformação adequadas.
Então, como decidir qual sequência seguir. Então, mais cedo nós simplesmente dissemos que primeiro aplicaremos o escalonamento e depois seguiremos a tradução, com base no que nós fizemos essa decisão. Tentemos entender o exemplo novamente onde fizemos a decisão de que o escalonamento deve ser seguido pela tradução. Então, o que estava lá no Quando discutimos escalonamento, mencionamos uma coisa que é durante o escalonamento da posição das alterações de objeto. Agora, se traduzimos rápido e em seguida escala, então a posição do vértice pode ter mudado porque o escalonamento pode levar à mudança de posição. No entanto, se escalarmos rápido e depois traduzir, então de qualquer forma vamos reposicioná-lo no lugar certo onde a gente quer. Então, não há possibilidade de nova mudança de posição. Assim, claramente neste caso, aplicamos primeiro o escalonamento e as alterações associadas que acontecem é multa que é seguida pela tradução. Se fizermos isso nessa sequência, então não teremos nenhum problema para que tenha sido a lógica por trás de ir para esta sequência.
E em geral, seguimos essa lógica em que se exigimos múltiplas transformações básicas para serem aplicadas, por isso mantemos a tradução no final, a última transformação porque o escalonamento e a cisalhamento provavelmente mudamos a posição então com a tradução tentamos compensar com isso tipicamente seguimos esta regra do polegar. Exemplo que indicou que esta seria a sequência?
Agora, uma coisa deve ser notada aqui, quando aplicamos o escalonamento, na verdade aplicamos com respeito à origem. Então, origem é o ponto fixo no exemplo. No entanto, isso não é necessariamente verdade. Podemos ter qualquer ponto fixo localizado em qualquer coordenada em um sistema de coordenadas. Então, nesses casos, o que fazemos? Aplicamos a abordagem que vimos anteriormente no exemplo, mas com ligeira modificação. Então, a nossa abordagem quando estamos considerando ponto fixo que não é a origem é um pouco diferente, vamos ver como é diferente.
Suponhamos que haja um ponto fixo F e nós queremos escalar com relação a este ponto fixo. Ora, isso não é origem, isto está situado em qualquer local arbitrário. Agora, para determinar a sequência de transformação, assumimos uma sequência de etapas. Então, se o escalonamento foi com respeito à origem então não exigimos mais nada que simplesmente escalamos, mas se não for com respeito à origem, se é com respeito a algum outro ponto fixo que não é a origem então Qual é essa sequência? Então, primeiro traduzimos o ponto fixo para a origem que significa, fazemos a quantidade de tradução como tal Tx é -x e Ty é -y; que é a primeira transformação. Em seguida, realizamos escalas com respeito à origem, isso é importante. Então, nossa matriz de escalas é definida com respeito à origem. Então, nós primeiro trouxemos ou de forma conceitual trouxe o ponto fixo para a origem então executamos o escalonamento e então o ponto fixo é traduzido de volta para o seu lugar original, agora Tx torna-se x e ty torna-se y, tradução reversa.
Então, como formar a sequência? Seguirá o mesmo direito à regra de esquerda, primeira tradução é a transformação mais à direita que está trazendo o ponto fixo para a origem, isto é seguido por escalonamento para que seja a segunda transformação que é seguida por tradução reversa que está trazendo o ponto para o ponto original novamente que é a transformação mais à esquerda. Por isso, nossa matriz composta será uma multiplicação dessas matrizes; T, S e T, vamos chamá-las de T1 e T2. Multiplicamos-nos para obter as matrizes compostas que representam o escalonamento com relação a qualquer ponto diferente de origem.
E da mesma forma podemos de fato realizar outras transformações básicas com relação a qualquer ponto fixo diferente de origem. Este é um exemplo, que mostra o procedimento que acabamos de mencionar que agora é supor que este objeto original foi definido não com um vértice na origem, mas aqui onde temos novos vértices e o novo ponto com relação ao qual o escalonamento ocorre é no T que é (5, 5), e o mesmo objeto é colocado aqui após escalar e tradução. Por isso, neste caso, a tradução não é necessária porque já estava naquele ponto e apenas o escalonamento aconteceu.
Então, se aplicarmos a abordagem anterior que delineamos. Então, aqui estamos realizando o escalonamento com relação a esses pontos fixos D, e a matriz de transformação, a matriz de transformação composta pode ser encontrada multiplicando essas 3 matrizes. Por isso, primeiro traduzimos esta origem de ponto fixo para que Tx seja -5, Ty terá -5. Em seguida, realizamos escalonamento com relação à origem ao longo do eixo x que é sx será 1/2, sy será 1. E então traduzimos de volta este ponto para a posição original que é Tx= 5, Ty=5 que é a matriz composta. Por isso, uma vez que obtemos essa matriz composta para escalar aplicamos nos pontos para obter os pontos transformados.
E como eu disse, podemos seguir uma abordagem similar com relação a rotação e cisalhamento por primeiro transformar o ponto fixo com relação a qual rotação são shearing tiveram que ser executadas até a origem então realizando a operação correspondente e, em seguida, traduzindo-a de volta para o local original. Por isso, para rodízio, primeiro teremos uma tradução. Isso é seguido por rotação com relação à origem. Isso é seguido por isso será seguido traduzindo-se de volta para o local de ponto fixo original.
Para obter uma mesma abordagem, tradução para a origem seguida de shearing com relação à origem seguida de translação de volta para o local de ponto fixo original. Então, este é o formulário de matriz composta para realizar qualquer uma operação básica com relação a um ponto fixo que não é origem.
Por isso, para recapitular, se estamos realizando a operação básica com relação à origem, então não exigimos fazer mais nada, simplesmente aplicamos a matriz de transformação básica. No entanto, se estamos realizando a operação com relação a um ponto que não é a origem, então realizamos uma transformação composta que envolve 3 transformações básicas; primeira é tradução traduzir o ponto fixo para a origem, segundo uma é a transformação real que é escalonamento, rotação ou tosse e a terceira está traduzindo de volta o ponto fixo para o seu lugar original.
E nós a realizamos neste direito de esquerda para que este seja o mais certo, então esta será uma à esquerda desta, a segunda transformação e a terceira será à esquerda desta segunda transformação. Por isso, se colocarmos a sequência, primeiro venha 1, isso será seguido por 2, isso será seguido por 3.
Para um melhor entendimento vamos passar por mais um exemplo, o que ilustrará mais a ideia. Agora, vamos supor que exigimos mais do que uma transformação, portanto, aplicaremos o mesmo processo que já delineamos.
Considere este objeto, quais são as transformações necessárias para colocar esse objeto como uma chaminé em proporção aqui, como você pode ver que precisamos girar este objeto aqui. Então, mais cedo a superfície agora se torna aqui então ela é uma rotação em sentido anti-horário positivo rotação em 90 grau, e o tamanho também reduz pela metade ao longo da direção x. Assim, sx deveria ser 1/2, mas todas essas operações básicas ocorreram com respeito a este ponto fixo. Então, então como conseguir a matriz composta?
Então, nós primeiro traduzimos o ponto fixo para a origem para que seja T (-5, -5), então nós escalamos para fazê-lo 1/2 então então S metade 1, ao longo do eixo y não há alteração então, vamos mantê-lo 1. Então, então nós conseguimos objetos como este, então a gente gira para conseguir essa final. Então, gire por 90 grau mas essas 2 operações nós realizamos com relação à origem após traduzir o ponto fixo para a origem. Então, agora temos que traduzi-lo de volta para outra tradução (5, 5). Por isso, o Então, vai parecer algo assim. Assim, se substituirmos esta notação por matrizes reais então obteremos estas quatro matrizes e quando multiplicarmos teremos a matriz composta que vai se parecer com isso. Então, essa é a nossa maneira de obter uma matriz composta quando estamos tentando realizar múltiplas operações básicas com relação a um ponto que não é a origem. se matrículas juntas quando multiplicadas nos darão a matriz composta.
E depois de obter a matriz composta seguiremos os mesmos passos que é multiplicaremos os pontos de superfície dizem estes pontos suponhamos ou qualquer outro ponto da superfície com a matriz composta para obter o ponto transformado, e isso nos leva ao final desta discussão. Por isso, antes de terminarmos, vamos tentar recapitear o que aprendemos hoje.
Primeiro, discutimos sobre uma representação alternativa para transformações básicas que são os sistemas de coordenadas homogêneas onde representamos um ponto 2D usando um sistema de coordenadas 3D. E como já vimos, torna a vida mais fácil para a construção de pacotes gráficos modulares ou bibliotecas. Por isso, usando essa forma homogênea, podemos representar todas as 4 transformações básicas usando 3 por 3 matrizes.
Então o que aprendemos é formar uma matriz composta seguindo o direito de esquerda de regra tão primeira matriz que aplicamos nos objetos deve ser a mais correta, próxima matria que aplicamos deve ser a esquerda para a direita mais matriz e assim por diante até a última transformação. E multiplicamos todas essas matrizes juntas para obter as matrizes compostas. Uma vez que conseguimos a matriz composta, multiplicamos-a com os pontos para obter os pontos transformados em sistema de coordenadas homogêneas.
Por fim, dividimos esses valores x e y no sistema homogêneo pelo fator homogêneo para repassar os pontos originais. Também aprendemos sobre como realizar as transformações básicas com relação a qualquer ponto que não seja origem. As notações anteriores eram feitas para serem realizadas com respeito à origem então quando nos é dado um ponto fixo e devemos realizar a transformação básica com relação a esse ponto fixo, que não é a origem, então seguimos uma abordagem de matriz composta por lá primeiro traduzimos o ponto fixo para a origem, executamos as transformações básicas necessárias com relação à origem e traduzimos o ponto de volta para o seu local original.
Seguindo o mesmo direito à regra de esquerda, obtemos a matriz composta para representar a transformação básica com relação a qualquer ponto arbitrário. Até o momento, o que quer que tenhamos discutido está relacionado a transformações de 2D. Na próxima palestra, vamos aprender sobre transformações no 3D.