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Técnicas De Otimização

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Gerencial de Economia Prof. Trupti Mishra S.J.M. Escola de Gestão Indígena Instituto de Tecnologia, Bombaim Lecture-10

Agora, a seguir vamos seguir para a técnica de otimização. Agora o que é técnica de otimização, se você sabe até agora já falamos. A relação entre variáveis econômicas, e nós entendemos que como descobrir a relação entre duas variáveis; que é através da inclinação ou através do método de cálculo. Em seguida, chegaremos à técnica de otimização, e técnica de otimização é o que. Nós otimizamos de tal maneira que, estamos alcançando o resultado do desejo ou a relação de desejo entre a variável econômica.

Assim, basicamente é uma técnica de tomada de decisão gerencial, maximizando ou minimizando a função, geralmente essa técnica de otimização é usada tanto para maximização ou para minimização da função, e é uma técnica de encontrar o valor de variável independente que maximiza ou minimiza o valor da variável dependente. Então, basicamente precisamos maximizar o valor da variável independente ou minimizar o valor da variável dependente a fim de, entender que como particularmente essas duas variáveis estão relacionadas. Por isso, geralmente quais são os casos em que essas técnicas de otimização estão sendo usadas; como às vezes alguma firma pode estar interessada em encontrar o nível de saída que maximiza sua receita total. Então, ele está basicamente encontrando o nível máximo de saída, que maximize sua receita total ou o nível de saída maximize sua receita total. Algumas firmas que enfrentam um preço constante podem querer encontrar o nível de produção que minimizaria o custo médio.

Portanto, pode ser um caso, em que a firma que enfrenta um preço constante, ou possa estar encontrando um nível de produção que minimizará o seu custo médio. E se você olhar a maior parte da firma eles estão sempre interessados em descobrir, qual deve ser o nível de produção que maximiza o seu lucro. Portanto, se você olhar para este é o objetivo básico, objetivo básico de qualquer firma, a fim de entender o nível de produção que maximiza o seu lucro. Assim, veremos como essa técnica de otimização ou quais são as regras do polegar, ou quais são as diferentes abordagens ou métodos diferentes para usar essa técnica de otimização a fim de, para resolver esse problema de decisão gerencial. Então, nós vamos assumir uma função aqui, basicamente o que maximizamos; ou maximizamos a receita total, ou minimizamos o custo, pois o objetivo básico é maximizar o lucro, e a maximização do lucro pode ocorrer; seja pela maximização da receita total ou pela minimização do custo total, pois o lucro é um só, é justamente a diferença entre a receita total e o custo total.

Agora, o que é receita total, receita total se souber, então receita total esta que é p Q, p é o preço e Q é a quantidade demandada. Suponhamos que tomemos que p seja igual a 500 menos 5 Q. Agora o que é receita total, a receita total é 500 menos 5 Q multiplicada por Q, de modo que chega a 500 Q menos 5 Q quadrado. Então, a receita total é p Q, se o valor de p for 500 e a receita total for 500, 5 Q multiplicado por Q, que chega a 500 Q 5 Q quadrado. Agora, qual é o papel da técnica de otimização aqui ou qual é o papel de, ou como podemos utilizar essa técnica de otimização por aqui, a fim de maximizar essa receita total. Então, aqui o problema de otimização é, maximização da receita total; a receita total é p Q. Agora, quando essa receita total é máxima, a receita total é máxima, quando a receita marginal é igual a 0.

Por isso, o problema de otimização aqui é maximizar a receita total, e quando a receita total é máxima, a receita total é máxima quando a receita marginal é igual a 0. Agora, vamos apurar a receita marginal. Então, a partir dessa função de receita total, se você pegar o primeiro derivativo de pedido, então nós obtemos a função de receita marginal. Por isso, primeiro pedido derivativo a função de receita total com relação a Q; que nos dará a função de receita marginal. Então, se você pegar isso, então esta é 500 Q menos 5 Q quadrado. Temos que tirar o del disso com respeito a q, para que chegue a 500 menos 10 Q. Agora, qual é a regra do polegar, a regra do polegar é quando a receita marginal é igual a 0, a receita total é máxima. Então, 500 menos 10 Q tem que ser 0, se a receita total tem que ser máxima. Agora, vamos ver qual é o valor de Q, quando estabelecemos receita marginal é igual a 0, e por que estamos estabelecendo receita marginal é igual a 0, porque o princípio econômico básico diz que, se a receita total for máxima, então a receita marginal é igual a 0.

Então, qual é a nossa receita marginal, a receita marginal é de 500 menos 10 Q, que tem de ser igual a 0, portanto, esta é a nossa receita marginal. Agora, se você resolver isso então ele vem para Q é igual a 50. Então, o que é esse Q, quando o nível de produção é igual a 50 unidades, a receita total é maximizada. Há maximização da receita total quando Q é igual a 50. Agora vamos apurar quais são os valores da receita total. Então, nossa receita total is500 Q menos 5 Q quadrado. Então, se você está colocando o valor de Q como 50; que é 550 quadrado por 5 novamente 50 para a praça. Então, isso chega a 25000 menos 12500, então chega a 12500. Então, o valor da receita total é de 12500. Esta é a receita total máxima para a firma. E para conseguir isso, o Q tem que ser pelo menos 50 unidades a fim de maximizar a receita total.

Agora, como podemos verificar isso, que este é o valor máximo da receita total, quando o valor de Q é igual a 50, sabemos que a receita total é de 12500, mas como verificar se este 12500, é a receita total máxima para a firma, que está voltada para uma função de demanda; como p é igual a, se você se lembrar disso é 500 menos 5 Q, como verificar isso. Tomaremos dois valores diferentes de Q a fim de verificar isso. Tomaremos Q é igual a 51 e tomaremos Q é igual a 49. Então, se você pegar Q é igual a 51 e colocar o valor no T R; equação total da receita, que é 500 Q menos 5 Q quadrado, obtemos um valor de receita total que é 12495. Suponhamos que assumamos que Q é o nível de produção, se não for 50, se você produzir abaixo disso também ainda podemos maximizar a receita total. Então, vamos supor que Q é igual a 49, colocando o valor de Q como 49 na função de receita total; obtemos um valor que é de 12495. Então, nós temos 2 valores; um se 51 e o segundo é 49. Então, um está em um lado mais alto quando o nível de produção aumenta, se ele tem alguma alteração na receita total, e segundo quando o nível de produção diminui se ele tem alguma alteração na receita total, e aqui descobrimos que se o Q aumentando ou se o Q decresce, a receita total está diminuindo.

Se você olhar para a receita total está diminuindo, porque isso é se o que é a receita total quando Q é igual a 50. Assim, pode-se concluir que 50 é aquele nível de produção, em que a receita total é máxima qualquer nível de produção, seja mais de 50 ou menos de 50 está mostrando uma receita total decrescente. Então, podemos concluir que 50, quando o nível de produção é de 50, a receita total é sempre máxima; particularmente quando a função de demanda é essa, e quando a função de receita total é essa. Agora, assumiremos o caso da minimização de custos, pois o primeiro caso é a maximização de receita, através da maximização da receita a firma pode aumentar o lucro, e a segunda quando podemos minimizar o custo, novamente a diferença entre a receita e o custo é mais e isso leva a aumento do lucro, que está em linha com o objetivo básico de uma firma, que é a maximização do lucro.

Então, tomemos um caso da minimização de custos, em que a situação geralmente há minimização de custos, particularmente quando a firma está planejando a configuração de uma nova unidade de produção. Eles querem saber, qual é o custo médio mínimo através do qual eles podem configurar uma nova unidade de produção? Quando eles estão planejando expandir sua habilidade de produção, eles estão buscando o custo médio mínimo através do qual podem expandir a escala de produção, ou planejando elevar o preço do produto como ele é efeito a demanda. Então, são estes o caso, onde a técnica de otimização da produção é necessária, minimizando o custo médio. Então, aqui o que é o problema de otimização, o problema de otimização é a minimização de custos. Tomemos uma função de custo total, o que é função de custo total aqui. Suponhamos que este seja 400 mais 60 Q mais 4 quadrado Q. A minimização de custos não é com relação ao custo total, e sim com relação ao custo médio. Como encontrar custo médio a partir daqui, custo total dividido por Q nos dará o custo médio.
Então, o que é custo médio, este é 400 dividido por Q, mais 60 mais 4 Q, este é o nosso custo médio. Então, é preciso minimizar o custo, a fim de descobrir a diferença para ser mais entre a receita total ou o custo total. Então, no primeiro caso o que estamos fazendo, estamos tentando maximizar a receita total a fim de maximizar o lucro. Agora o que tentaremos fazer, tentaremos minimizar o custo, para que a diferença entre a receita e o custo seja maior o que leva a um lucro maior. Então, nesse caso a minimização não está relacionada ao custo total, em vez disso a minimização está relacionada ao custo médio. Agora o que é custo médio por aqui, custo médio é o custo total dividido pela unidade de saída; que é T C dividido por Q, que é 400 por Q mais 60 mais 4 q.

Agora, qual é a regra de minimização, a regra de minimização é, o derivativo deve ser igual a 0, se você lembrar no caso anterior para maximizar o T R, a regra era que a receita marginal tem que ser igual a 0. Por isso, neste caso de minimização de casos nós sempre tiramos uma regra de polegar para isso, que esse derivado de primeira ordem com relação ao custo médio ele tem que ser igual a 0. Então, precisamos apurar, a derivada do custo médio com relação a Q, e que deve ser igual a 0. Agora vamos descobrir qual é a derivada do custo médio com relação a q. Então, isso chega a menos 400 por Q square mais 4 que é igual a 0. Então, este é novamente 400 quadrado Q, que é igual a menos 4; que leva à praça Q, se você simplificar novamente, então o quadrado Q é igual a menos 400 por menos 4, que é igual a 100. Então, se o quadrado Q é igual a 100, então precisamos descobrir o nível de saída aqui.

Então, se o quadrado Q é igual a 100, então Q é igual a 10. Assim, quando a unidade de saída ou quando o nível de saída é 10, este é o nível ideal de saída onde o custo é mínimo. Assim, nesse nível de produção, a firma minimiza o custo, e se lá se orientar a princípio é com base na minimização do custo, a firma deve seguir um nível de produção que é igual a 10 unidades, a fim de minimizar o custo. Então, o que verificamos por aqui, técnica de otimização é usada, seja para maximizar a receita ou para minimizar o custo. Então, nós pegamos um problema de otimização que maximiza a receita total e lá a regra do polegar foi para, maximizando a receita total quando a receita marginal é igual a 0.

E levamos a segunda técnica de segunda otimização que foi a minimização do custo, e aqui a otimização do problema é minimizar o custo médio da produção, a fim de maximizar o lucro. E aqui a regra do polegar para minimizar o custo, foi para minimizar o nível de saída, e para isso é primeira ordem derivada de custo médio com relação a Q tem que ser 0. Depois disso conseguimos o nível de produção, e dizemos que esse é o nível de produção, o que a firma deve seguir a fim de minimizar o custo. Se você olhar para toda a empresa de negócios, eles têm um objetivo comum. O objetivo comum para toda empresa de negócios é maximizar o lucro. Então, se você olhar indiretamente nos últimos dois casos, último problema de otimização também estamos tentando fazer. Por isso, estamos tentando em um caso, estamos tentando maximizar a receita, para que o lucro possa ser mais, pois sua diferença entre a receita total e o custo total seria mais, e o segundo caso minimizamos o custo.

Então, que novamente a diferença entre a receita total e o custo total pode ser mais o que maximizará o lucro. Agora, vamos levar um problema onde vamos maximizar o lucro, em vez de maximizar a receita total ou minimizar o custo. Vejamos como podemos fazer isso assumindo uma função de lucro. E a necessidade básica para isso é se você olhar para o objetivo ou o objetivo da firma é sempre para maximizar o lucro. Então, agora, assumir uma função de lucro e o que é função de lucro; que é pi é igual a receita total menos custo total. Há duas condições para maximizar o lucro; um é o necessário ou a condição de primeira ordem, que diz que a receita marginal deve ser igual ao custo marginal. Esta é a primeira condição para a maximização do lucro, e segunda condição para a maximização do lucro, é a condição suficiente ou a condição de segunda ordem que diz que; a derivada de segunda ordem que é a praça del quadrado T R e del Q deve ser menor que a praça del quadrado T C e del Q.

Por isso, essencialmente significa, a inclinação da função de receita marginal tem que ser menor do que a inclinação da função de custo marginal. Por isso, para a maximização do lucro, há duas condições; uma é necessária e a condição de primeira ordem; que é receita marginal igual a custo marginal. Segunda é a condição suficiente ou a condição de segunda ordem onde se diz que; a segunda ordem derivada da função de receita total deve ser menor do que a segunda ordem derivada da função custo total, ou em outra palavra a inclinação da receita marginal deve ser menor do que a inclinação do custo marginal. Então, vamos ter uma função de lucro a fim de entender, que como o lucro é maximizado, e como a condição de primeira ordem e segunda ordem é cumprida quando o lucro é maximizado.

Então, nós vamos assumir uma função que é receita total, que é igual a 600 Q menos 3 Q quadrado. Então, o que é receita marginal, a receita marginal é de primeira ordem derivada disso. Então, isso chega a 600 menos 6 Q. Depois, assumiremos uma função de custo total, a função custo total é de 1000 mais 100 Q mais 2 Q quadrado, o que é função custo marginal. A primeira encomenda derivada da função custo total. Então, que chega a 100 mais 4 Q. Agora, qual é a primeira ordem ou a condição necessária? A receita marginal deve ser igual a custo marginal. Esta é a condição de primeira ordem ou condição de necessidade qual é a nossa receita marginal que é 600 menos 6 Q é igual a, qual é o nosso custo marginal, 100 mais 4 q. Então, se você simplificar isso é 6 Q menos 4 Q é menos 600 mais 100. Sendo assim, menos 10 Q é igual a menos 500 e Q é igual a 50. Então, o resultado da condição de primeira ordem é, descobrimos o nível de saída; que é Q é igual a 50. Agora qual é a segunda condição de ordem, segunda condição de ordem é essa. A segunda ordem derivada da função de receita total tem que ser menor do que a segunda encomenda derivada da função custo total.

Agora, vamos ver se, particularmente nesta forma funcional se estamos cumprindo a segunda condição de ordem ou não. Sendo assim, segunda condição de ordem é del quadrado T R, del Q quadrado igual a del M R com relação a q. Então, este é menos 6 del quadrado T C del Q. Então, este é del M C com relação a del Q que é igual a 4 Então, se você olhar, isso é menor do que este, e se a soma de ambos é também inferior a 0. Então, esta é a praça del quadrado T R del Q menos del quadrado T C, praça del Q há também menos de 0. Então, nós sabemos que, a segunda condição de ordem se cumpre. Por isso, sabemos que, o lucro é máximo quando as condições necessárias se cumpriam; que é Q é igual a 50. Novamente podemos fazer uma verificação aleatória da forma como fizemos para o outro problema de otimização; que você leve qualquer nível de saída que seja superior a 50 ou menos de 50. Para se compreender, se este é o nível de produção, que realmente maximiza o lucro ou não.

Então, tomando Q é igual a 50, obtemos a receita total que é igual a 22.500 colocando o valor de Q, obtemos o custo total que é igual a 11.000. Então, neste caso, o lucro é de 11500. Suponhamos, você pegar um valor Q é igual a 51 e Q é igual a 49. No primeiro caso, o lucro é igual a 11.495 e segundo caso o lucro é igual a novamente 11.495. Então, podemos concluir aqui que, uma vez que a condição de primeira ordem é cumprida, o lucro é máximo quando Q é igual a 50, pois quando aumentamos o nível de produção de 50 para 51, o lucro é menor; e quando diminuímos o nível de produção de 50 para 49 ainda o lucro é menor. Então, podemos dizer que, Q é aquele nível de produção que maximiza o lucro. Por isso, até agora estamos tomando o problema de otimização, e estamos maximizando a receita ou o lucro ou minimizando o custo sem as restrições. Então, próxima aula, introduziremos as restrições, e então veremos como utilizar essa técnica de otimização, a fim de resolver para a maximização do lucro ou para a minimização de custos.


Gerencial de Economia Prof. Trupti Mishra S.J.M. Escola de Gestão Indígena Instituto de Tecnologia, Bombaim Lecture -11

Assim, continuaremos nossa discussão sobre a relação entre diferentes variáveis econômicas, dada uma quantificação ou através de diferentes métodos gráficos ou a equação matemática. Por isso, se você se lembra na última aula, iniciamos a discussão sobre a derivada de várias funções, como resolver as diversas funções. Em seguida, introduzimos a técnica de otimização, onde fizemos dois tipo de otimização; um é a maximização da receita ou maximização do lucro, e segundo uma é a minimização do custo. Então, sempre que estamos fazendo essa técnica de otimização, ou é uma maximização ou é um problema de minimização, não considerávamos o caso de um restringe, e apenas otimizamos a maximização de uma função de lucro ou apenas otimizamos a minimização de uma função de custo.

Então, hoje eu vou discutir a técnica de otimização com um restrito, seja na forma da renda ou na forma do custo, quando se trata de custo, e aí se chega à receita, seja sua maximização ou seja uma minimização do custo.

Assim, em caso de otimização restrita, esta é uma técnica usada para atingir um alvo sob situação ou condição restrita, é chamada de otimização restrita. Então, pode ser que a motivação para otimização seja continua igual. Ele está alcançando um alvo, seja para maximizar o lucro ou para minimizar o custo, e mas aqui a diferença é que há um restringe junto com a função objetiva, e como fazer essa otimização restrita? Geralmente discutimos dois tipos de tecnologia, falaremos sobre a técnica de substituição, e mais adiante tomaremos o método de multiplicadores Lagrangianos.

Assim, tomando a técnica de substituição, ela pode ser aplicada ao problema da maximização do lucro ou pode ser para a minimização de custos. Para uma maximização de lucro, uma da variável expressa em termo das demais variáveis, e resolver a equação de restrição para a obtenção do valor de uma variável. Suponhamos, há duas variáveis x e y, portanto, a melhor maneira de solucioná-lo através da técnica de substituição, é representar uma variável com a outra variável, e então você resolve para essa variável, e finalmente você substitui o valor de uma variável, em termo do que você resolveu para a outra variável. E aqui o valor é obtido é substituído na função objetiva, que é maximizada, ou resolvem para a obtenção do valor das outras variáveis. Assim, qualquer que seja o valor obtido pelo substitutivo, ele será novamente substituído novamente na função objetiva, que é maximizada e solucionada para a obtenção do valor para a outra variável.

Assim, veremos como utilizamos essa técnica de substituição em caso de um problema de otimização de lucros, e em caso de minimização de custos. E como isso é diferente para a minimização de custos; pode ser o método novamente permanece igual. A equação restrita é expressa em termo de qualquer um destes dois bens das variáveis, sendo que a equação é obtida a partir da etapa um, é substituída na função objetiva. Então, se é uma função de custo, seja uma função de lucro, a regra básica para essa técnica de substituição, é que expressamos uma variável em termo das outras variáveis. Obtemos o valor de uma variável e, finalmente, novamente substitui-se novamente à função objetiva. Então, vamos apenas dar um exemplo, como geralmente fazemos a otimização restrita, juntamente com o restrito com a função objetiva, se a função objetiva é uma maximização de lucro ou se a função objetiva é a minimização de custos?

Assim, levaremos primeiro um caso de maximização do lucro; e em caso de maximização do lucro, maximizaremos o lucro. Por isso, aqui o lucro é igual a 100 x menos 2 x quadrado menos x y mais 180 y menos 4 y quadrado. Essa é a função de lucro, e o lucro, aqui o problema de otimização é a maximização do lucro. Já que estamos dizendo que esse é o caso de uma otimização restrita, há também uma restrição anexada a isso, e a restrição é na forma de x mais y é igual a 30. Então, agora qual é o problema de otimização? O problema de otimização é, maximização da função de lucro, com relação à restrição, ou seja, x mais y que é igual a 30. Agora, como faremos isso, o primeiro passo é, expressaremos x em termo de y ou podemos expressar y em termo de x. E depois da obtenção do valor de x ou y, novamente substituiremos este valor de x e y na função de lucro. Então, agora vamos ver, vamos substituir o valor de x e y, antes que ele se converta em outro termo, ou pode ser o problema de maximização do lucro.

Então, suponha que x mais y seja igual a 30. Então, isso pode ser escrito como x é igual a 30 menos y. Por isso, neste caso x, estamos representando em termo de y, ou y pode ser 30 menos x. Assim, substituindo o valor de x e y na equação do lucro o que podemos obter; pi é igual a 100, ele tem cem x, portanto x estamos representando em termo de y. Então, este é 30 menos y, mais 2, 30 menos y quadrado, pois era 2x quadrado, menos 30 menos y, pois era x y, mais 180 y menos 4y quadrado. Então, se você olhar para a função de lucro agora, todos os termos em termo de y, não há x por aqui no caso da função de lucro.
Agora de novo, se você vai simplificar isso, então isso chega a 1200 mais 170 y menos 5 y quadrado. Então, o que nós fizemos, o primeiro passo é esse, onde representamos x em termo de y. Agora substitua o valor de x na forma de y na equação do lucro, que dá a equação do lucro, que é igual a 1200 mais 170 y menos 5y quadrado. Agora, para descobrir o valor de y o que temos que fazer. Temos que tirar o derivativo de pi com relação a y, e que precisamos definir igual a 0. Então, se você está levando isso, então isso vem como derivativo de primeira ordem, pois para qualquer regra de minimização de maximização a fim de obter o valor, sempre o derivativo de primeira ordem tem que ser igual a 0.

Por isso, dell pi por dell y é igual a 0, que é como 1200 mais 170 y menos 5 y quadrado, que é igual a 0. Agora resolvendo isso, isso vai dar 170 menos 10 y que é igual a 0, ou pode ser menos 10 y é igual a menos 170, e y é igual a 17. Agora, qual é o nosso x, x é igual a 30 menos y. Então, isso é igual a 30 menos 17, que é igual a 13. Assim, obtemos um valor y que é igual a 17. Obtemos um valor de x que é igual a 13. Agora, colocando o valor de y e x em nossa equação de lucro, obtemos lucro que é igual a 2800. Por isso, aqui como maximizamos o lucro com relação a um custo restrito, e com respeito a um valor de x e y. O primeiro passo é sempre representar uma variável em termo da outra variável. Então, neste caso o que fizemos, representamos x em termo de y.

E depois de representar o valor de uma variável em termo das outras variáveis; em seguida, colocamos o valor na função objetiva. Então, se você se lembra no slide anterior o que eu tenho mostrando que, nós representamos a função de lucro apenas em termo de variável y. Depois, depois de obter a função de lucro, pegamos o derivativo de primeira ordem igual a 0, a fim de obter o valor de y, e através disso conseguimos o valor de y que é igual a 17, e a partir daí conseguimos o valor de x, que é igual a 13. Ao colocar com um valor de x e y na função de lucro original, obtemos um lucro que é igual a 2800. Então, por técnica de substituição seguindo os dois passos conseguimos o lucro, conseguimos o valor de x, e conseguimos o valor de y. Agora, veremos através de técnica de substituição, como podemos fazer um problema de minimização de custos.

Então, aqui o que é o problema de otimização, o problema de otimização é para a minimização do custo total. Agora, o que é custo total, vamos levar custo total é igual a 2 x quadrado menos x y mais 3y quadrado. Agora, a firma aqui o que é o constreinado. A firma tem que obter uma 36 unidades de x e y como a ordem de combinar, agora qual é a combinação ideal. Combinação ideal é para, qual deve ser o que deve ser o custo mínimo para produzir esta unidade de 36 de x e y. Então, neste caso, qual deve ser o restrito? O constreinado é novamente, se você olhar para x mais y é igual a 36. Por isso, problema de otimização é minimizar o custo total com relação a, ou pode estar sujeito a, x mais y é igual a 36.
Agora, seguindo a técnica de substituição, qual é o primeiro passo. A primeira etapa temos que representar uma variável em termo da outra variável. Então, x é igual a 36 menos y, pois se você lembrar da técnica de substituição de primeira etapa está sempre representando uma variável em termo da outra variável. Então, aqui x é igual a 36 menos y. Agora, colocando o valor de x na equação de custo 2 x quadrado. Então, este é 2 36 menos y quadrado, x e y. Então, este é 36 menos y, y mais 3 y quadrado. Então, esta é 3 y quadrado. Então, se você voltar a simplificar isso, isso chega a 2592 menos 180 y mais 6 y quadrado. Então, depois de colocar o valor de x na função de custo em termo de y, obtemos uma função de custo total que é igual a 2592 180 y mais 6 y quadrado. Agora, para conseguir o valor de y; e a fim de obter a combinação ideal ou o custo ideal, o que temos que fazer? Temos que tomar a primeira ordem derivada da função custo total, com relação a y e temos que defini-la igual a 0, a fim de obter o valor de y.

Então, agora temos que tirar um derivado, o primeiro derivativo de ordem de 2592 menos 180 y mais 6 y quadrado, e isso tem que ser igual a 0. Então, se você fizer isso, então nós obtemos o valor 180 mais 12 y; que é igual a 0, o que você simplifica ainda mais, então é menos 12 y é igual a menos 180, e y é igual a 15. E se for y é igual a 15; em seguida, x é igual a 36 menos y, que é igual a 21. Então, y é igual a 15, x é igual a 21. Agora essa é a combinação ideal, a firma deve produzir 15 unidade de y e 21 unidade de x, e esta é a combinação ideal para a firma. Agora, qual é a próxima melhor tarefa para nós? A próxima melhor tarefa para nós é, se produzindo essa combinação, a firma está incorrendo o custo mínimo de produção, ou qual deve ser o custo mínimo para produzir essa combinação. Então, para isso o que precisamos fazer, precisamos colocar o valor de y, precisamos colocar o valor de x na equação de custos, e precisamos descobrir o custo mínimo. Então, qual foi a nossa equação de custo?

A equação de custo é de 2 x quadrado menos x y mais 3 y quadrado. Então, colocar o valor de x é igual a 21, e y é igual a 15, isso chega a 882 menos 315 mais 675, o que é igual a 1242. Então, esse é o custo mínimo o que a firma incura, a fim de produzir 15 unidade de y e 21 unidade de x, então qual é o problema de otimização aqui. O problema de otimização aqui é para, minimizar o custo com um restringe, que a qualquer custo a firma tem que produzir 36 unidade de ambos os bens; que é x e y. Então, esta é a combinação ideal para a firma, e este é o custo mínimo para produzir a combinação ideal da firma. A seguir, veremos o segundo método para para essa otimização restrita, e que é o método multiplicador Lagrangiano.

Por isso, além da técnica de substituição, a técnica mais popular ou pode ser a técnica mais comumente usada para fazer uma otimização restrita é sempre um método multiplicador Lagrangiano. Então, o que é método multiplicador Lagrangiano, é novamente um de tipo de método para resolver a otimização restrita, e envolve a combinação tanto da função objetiva como da equação condicionada, e de solução utilizando os métodos de derivativos parciais. Basicamente, é preciso o derivativo parcial com relação a ambas as variáveis, e então ele fica com o valor de x e y, e ao obter o valor de x e y, ele maximiza o lucro ou minimiza o custo. Então, vamos ver como funciona para o método Lagrangiano.

Tomemos um caso de maximização de lucro. Suponhamos, a equação do lucro é, cem x menos 2 x quadrado menos x y, mais 180 y menos 4 y quadrado, novamente sujeito a x mais y é igual a 30.The mesma equação de lucro o que nós levamos para a técnica de substituição, e o mesmo restringimos o que levamos para y usando o método da técnica de substituição. Então, x mais y é 30; que é restringida, e lucro é o que nós assumimos para o método de substituição. Agora, como é diferente do outro método. Em caso de outro método estamos substituindo o valor de x e x para y ou y para x, aqui não faremos isso; em vez disso usaremos um método de derivativos parciais, para resolver este problema de maximização do lucro. Neste caso o que fazemos, então x mais y é igual a 30. Então, vamos encontrar outra variável aqui; que é x mais y menos 30 é igual a 0, e a lambda x mais y menos 30. Agora, reenquadraremos a função objetiva usando o, adicionando um multiplicador Lagrangiano por aqui. E o que é o multiplicador Lagrangiano aqui; que é lambda x mais y menos 30, este é o outro termo o que estamos a chegar aqui.

Então, qual é a nossa nova função de lucro? Nova função de lucro é de 100 x menos 2 x quadrado, menos x y mais 180 y, menos 4 y quadrado. Esta é a nossa função de lucro original, juntamente com a que adicionamos um multiplicador Lagrangiano; que é lambda x mais y menos 30. Então, se você olhar, agora o restrito também nós adicionamos na função objetiva. Então, esta é a nossa função Lagrangiana. A função lagrangiana vem