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Benvenuti a lezione 38 e in questa lezione faremo un Tutorial su Sonic Crystals; così otteniamo una migliore comprensione. Quindi, alcuni numerici risolti ci saranno per argomento cristalli sonici. Allora, iniziamo con il primo problema per questa settimana particolare.
(Riferimento Slide Time: 00.43)

Quindi, qui ci vengono forniti dei cilindri di acciaio; così, qui il cilindro in acciaio. Così, questo dà la vista superiore del cristallo sonico. Quindi, altrimenti sono bombole e hanno una sezione trasversale triangolare equilaterale. Ecco, questa è la sezione trasversale di questi cilindri di acciaio, sono disposti in un formato reticolato 2D quadrato. Quindi, il che significa che questa distanza qui è di 10 centimetro e questa distanza qui è di 10 centimetro.
Quindi, la costante reticolare che è uguale alla distanza tra questi centri è la stessa sulla verticale e la direzione orizzontale e dobbiamo trovare quella che è la frazione di riempimento di questo e di cristallo sonico. Quindi, questa è una pura questione di geometria. Quindi, risolvi questo. Quindi, se prendiamo una unità di ripetenza primaria; così, possiamo trovare l'unità di ripetenza primaria di questa cella come questa particolare piazza qui. Quindi, sto prendendo questa. Quindi, qualsiasi cosa all'interno di questa piazza se ripetuta può creare l'intero cristallo. Quindi, questa è l'unità di ripetenza primaria che ho preso, altrimenti puoi anche prendere questa unità.
(Riferimento Slide Time: 01.47)

Quindi, o questo può essere preso o anche questa unità può essere presa, potete trovare una sorta di cellula Wigner-Seitz che vi darà questa quantità. Quindi, questo può essere preso o questo può essere preso. Per questo; ovviamente, la frazione di riempimento si può facilmente trovare, sarà la frazione di riempimento per il cristallo sonico è data dal volume di spazio occupato da questi scatter divisi dal volume di spazio occupato dal materiale complessivo. Quindi, se si può prendere una cellula primitiva; così, può essere questo o questo.
Quindi, in questo come può essere rappresentato? Può essere rappresentato come qualunque; quindi, qui non c'è un tale cambiamento nell'altra terza dimensione, solo in alto ne vede la modifica.
Così, possiamo ridurlo in zona; così, abbiamo area occupata da triangoli divisi per area occupata dalla piazza. Quindi, da questo quello che si ottiene è che questo sarà:

area di 1 area triangolo di 1 quadrati

E, sappiamo già cosa è il lato della piazza e il triangolo, il lato della piazza è di 10 centimetro e il lato del triangolo è di 5 centimetri.
Quindi, questo è di 10 centimetro quadrato tutti i lati sono uguali e questo è un triangolo equilaterale di 5 centimetri. Quindi, usando questo puoi scoprire qual è la frazione di riempimento. Quindi, molto facilmente si può trovare. Quindi, vi spiegherò quello più difficile. Quindi, se il suo bene se si sceglie l'unità ripetente come direttamente la cella di Wigner-Seitz. Quindi, è molto facile calcolare la frazione di riempimento, ma se prendessimo questa è la cella unitaria?
Così, ci possono essere molte celle di questo tipo, ma solo una cella di Wigner-Seitz. Quindi, vediamo se scegliete questo allora anche voi arriverete alla stessa conclusione. Quindi, quello che otterrete è che; così, questa è l'area occupata dalla porzione triangolare divisa per l'area della piazza.
(Riferimento Slide Time: 03.47)

Allora, qui l'area della piazza ci fa dire una è la costante reticolare che è la distanza tra i centri così, che diventa il lato della piazza. Così, diventa una piazza.

(Riferimento Slide Time: 03.57)

Ora, se si vede qual è l'area complessiva occupata dal triangolo. Ecco, qui avete questa, questa è la prima porzione, seconda porzione, terza e quarta. Unendo tutte queste porzioni insieme vi dà il triangolo completo, questo è un triangolo equilaterale che sta passando per il suo centroide. Così, questo diventa uguale all'area di 1 triangolo completo. Quindi, scegliendo o della cella unitaria vi darà gli stessi risultati, potete scegliere la cella di Wigner-Seitz oppure scegliere una cella unitaria diversa.
Quindi, qualsiasi unità ripetente che prendi e potrai quindi creare la tua soluzione. Quindi, scopriamo qual è la superficie di 1 triangolo equilaterali. Quindi, diciamo che r è la lunghezza d'urto della sezione trasversale dello scatter. Quindi, questa è una sezione trasversale dello scatter, diciamo che la lunghezza del bordo è r ed è così, triangolo equilaterali. Quindi, qui l'altezza del triangolo equilaterale è h. Quindi, questo è di 90 grado e questo è di 60 gradi.
Allora, che cosa diventa? Dalle relazioni trigonometriche quello che otteniamo è: h = r il peccato θ. Così, sarà r
√ 3 2 e la zona del triangolo sarà metà in altezza nella metà in qualunque sia l'altezza nella lunghezza della base e la base è r qui, h può essere rappresentata come r √ 3 2
. Quindi, usando questa espressione quello che si ottiene è di circa 3 4 r 2, questo diventa l'area della

sezione triangolare.

(Riferimento Slide Time: 05.29)

Quindi, la frazione di riempimento generale per il cristallo sonico è cosa? È l'area occupata dal triangolo diviso per superficie occupata dalla piazza all'interno dell'unità ripetente. Quindi, quando si fa questo, questa è l'espressione con cui si finisce; qui r essendo la lunghezza del bordo della sezione trasversale dello scatter.
(Riferimento Slide Time: 05.49)

Allora, questo è ciò che si è concluso e sappiamo che questo r ci viene dato è 5 e un è
10. Quindi, se torno alla domanda solo un'altra volta. Quindi, qui si tratta di 5 centimetri, la lunghezza laterali di un triangolo e per la piazza è di 10 centimetri. Così, quando metti quel valore qui in questa espressione è:

ff = √ 3 4
× (5 10) 2
= 0,11

Quindi, questo è quello che si ottiene; così, questo diventa la frazione di riempimento. Quindi, questo è il risultato finale.
(Riferimento Slide Time: 06.19)

Allora, questa era una domanda, ora parliamo di un'altra domanda qui. Così, qui questa è la domanda che ci viene data, qui questa figura mostra una porzione di reticolo reciproco. Così, in precedenza avevamo un reticolo diretto; così, era semplicemente quello che è la vista superiore di quella disposizione di cristallo sonico. Ora, abbiamo un reticolo reciproco e che ci viene dato e come hai detto solo una piccola porzione è data qui e lo stesso schema continua in tutta la direzione.
Quindi, è un reticolo quadrato di grandi dimensioni, devo trovare quello che è quello che è la zona della zona di Brillouin e qual è la zona dell'IBZ. Quindi, anche questa è una domanda molto facile e dritta. Quindi, se conosci il concetto di zona di Brillouin e IBZ, puoi scoprirla. Quindi, diciamo che questo è il reticolo reciproco che ci viene dato e le costanti reticolari in entrambe le direzioni sono date come 8 e 8.

(Riferimento Slide Time: 07.13)

Quindi, ecco perché si tratta di un reticolo quadrato. Così, potete trovare la zona di Brillouin solo il modo in cui ho spiegato un paio di lezioni prima. Quindi, si possono semplicemente disegnare dei bisettori perpendicolari; quindi, per questa cosa particolare questi sono i vicini. Ecco, questi sono quei 8 vicini che circondano questa unità, questo reticolo, questo particolare punto reticolare. Così, a questo punto abbiamo questi 8 vicini, per ogni vicino potete vedere quali saranno quei punti più vicini a questo punto rispetto al suo vicino. E, analogamente puoi continuare a disegnare e disegnare e finirà con una piazza.
Quindi, questo è stato lo stesso che già si è ripetuto nella lezione precedente così, disegniamo direttamente la zona di Brillouin per il reticolo quadrato. Così, questo esce per essere la zona di Brillouin. Così, qui come potete vedere, scopriamo qual è la lunghezza. Quindi, questo è il 8 e il 8. Quindi, quale sarà la lunghezza di questa piazza particolare? Allora, qui hai il modo in cui hai disegnato è questo è il prossimo vicino, similmente questo è il prossimo vicino, questo è il prossimo vicino e questo è il prossimo vicino. E, questa linea è una sorta di bisettismo queste linee che aderiscono al centro.
Quindi, questa lunghezza dovrebbe essere uguale a questa lunghezza. Quindi, queste due lunghezze sono uguali e ora sappiamo che questa lunghezza totale è di 8 centimetri a destra; quindi, questa è la metà di questa lunghezza. Quindi, questo sarà di 4 centimetri e questa cosa da questo al centro qui, questa lunghezza sarà di 4 centimetri e nello stesso modo in cui questa linea è disegnata anche come bissare queste due linee. Quindi, se questa lunghezza totale qui anche la lunghezza totale è di 8 centimetro; quindi, questo sarà di 4 centimetro e questa lunghezza qui sarà di 4 centimetri.

E così via, con la stessa logica questa lunghezza uscirà anche per essere di 4 centimetri e questa lunghezza superiore uscirà anche per essere di 4 centimetri. Quindi, quello che si ottiene qui è che; così, questa è la zona di Brillouin e questo è l'IBZ. Quindi, disegnerò qui prima la zona di Brillouin.
Così, la zona di Brillouin che si ottiene è come un punto reticolare e un volume di spazio che lo circonda, per creare un tipo di zona quadrato e la lunghezza qui è di 4 centimetro, 4 centimetro e 4 centimetro e questo è anche di 4 centimetro e 4 centimetro.
Così, questo diventa un quadrato di lato = 4 + 4 che è uguale a 8 cm. Quindi, è lo stesso lato del valore della costante del reticolo. Quindi, in tal caso quale sarà la zona di questa zona di Brillouin? Sarà semplicemente l'area di questa piazza che sarà di 8 × 8 cm2 che sarà. Così, qui ho scritto centimetro, ma poi mi rendo conto che nessuna unità ci è stata fornita; quindi, non mettiamo le unità.
Così, ho rimosso le unità da ogni luogo. Quindi, sono solo alcune unità; potrebbero essere contatori, potrebbero essere centimetri; quindi, una stessa scelta di unità è stata data così, questo è quello che otteniamo.
Così, diventa:

superficie BZ = 8 × 8 = 64 unità

E, ora, scopriamo qual è la zona dell'IBZ o la zona di Brillouin Irriducibile.
(Riferimento Slide Time: 11.15)

Quindi, quello che vediamo qui è che, questa era la piazza e la zona di questa è di 64 unità è la superficie totale della piazza. Ora, per ridurlo ulteriormente e rimuovere tutta la simmetria è stato disegnato un IBZ e se potete vedere qui, se disegnate queste righe come queste, ecco come ho disegnato le linee. Quindi ovviamente si tratta di 1 IBZ e questa porzione è simmetrica a questa porzione sopra. Quindi, questo è il secondo e questa porzione è simmetrica a questa, questa è simmetrica a questa, questo è simmetrico a questo, questo e questo.
Così, otteniamo 8 porzioni di area simmetrica dell'IBZ realizzeranno 1 full Brillouin zone. Quindi, se ripetiamo questa IBZ 8 volte l'intera zona di Brillouin può essere creata. Pertanto, l'area dell'IBZ sarà cosa? Sarà:

superficie IBZ = 1 8
× area di BZ = 1 8
× 64 = 8 unità

Quindi, è stata una domanda semplice e semplice fornita di sapere come creare la zona di Brillouin e la zona di Brillouin irriducibile. Quindi, lasciatemi direttamente andare alla soluzione.
(Riferimento Slide Time: 12.55)

Ecco, questa è la soluzione: la zona per la zona di Brillouin è di 64 unità e la zona per la zona di Brillouin irriducibile è di 8 unità. Così, in questo particolare tutorial sto solo risolvendo le porzioni di cristallo sonoro fino alle lacune della banda. E, poi nella classe successiva studieremo alcuni, alcuni degli altri concetti legati al cristallo sonico e risolvero una sola domanda di design. Quindi, per questa particolare classe risolveremo solo fino al teorema di Bloch.

(Riferimento Slide Time: 13.25)

Quindi, la terza domanda qui è data per il teorema di Bloch. Quindi, diciamo che questa è la domanda qui. Così, ancora abbiamo qualche reticolo di cristallo sonico, ora questo è in realtà un reticolo diretto, questo non è un reticolo reciproco e ho a che fare; quindi, questo è il tipo di disposizione. Ecco allora questi sono i vari scatter e questo è il mezzo fluido ed è così che si organizzano gli scatter sonori o alcuni metalli, le barre di metallo sono disposte.
Quindi, quello che devo trovare è che quello che è il periodo dell'onda Bloch, che viene generato o il periodo dell'onda acustica complessiva. L'onda di Bloch è semplicemente un'onda acustica governata dal teorema di Bloch. E, ora abbiamo anche scoperto che non l'onda non è governata solo dal teorema di Bloch, ma è anche governata dal fatto se B e ρ diventano negativi a determinate frequenze. Quindi, l'onda complessiva può essere chiamata come una sovrapposizione del teorema di Bloch.
E, l'onda governata da un'onda governata dal teorema di Bloch e dall'onda governata dal teorema di risonanza locale che vi darà l'onda completa. Ma, se si prende in considerazione solo l'onda Bloch o l'onda che è tipicamente governata dal teorema di Bloch, allora quello che devo trovare è: qual è il periodo dell'onda acustica che viene generato quando un fronte onda piano è incidente lungo l'asse X asse Y e l'asse XY? Così, ci vengono date tre diverse direzioni, queste tre direzioni lungo queste tre direzioni.
Quindi, quando l'onda è incidente lungo X quale sarà il periodo dell'onda? Se si tratta di incidente lungo Y quale sarà il periodo e così via.

(Riferimento Slide Time: 15.01)

Quindi, risolvi qui. Così, qui questo mostra una tipica onda Bloch dove la sua una prima modalità Bloch wave dove abbiamo la maxima che si verifica al centro dello scatter e i minimi che si verificano al centro della spaziatura tra gli scatter. Ora, per risolvere questo useremo una proprietà dell'onda Bloch che dice che tutte le modalità Bloch; così, la proprietà dell'onda Bloch afferma che le modalità Bloch create o generate in un cristallo periodico, diciamo qui in questo caso questo diventa un cristallo sonoro, avrà la stessa periodicità spaziale.
Quindi, l'onda ripeterà è ripetere il suo schema dopo la stessa distanza spaziale dello schema in cui la struttura si ripete. Quindi, la distanza dopo la quale; quindi, la stessa distanza dopo la quale la struttura ripete il suo schema, nella stessa distanza l'onda ripeterà anche il suo schema.

(Riferimento Slide Time: 16.43)

Quindi, la periodicità dell'onda e la periodicità della struttura saranno le stesse. Quindi, con questa proprietà ora risolvi qual è il periodo per le tre direzioni. Quindi, parte (a) devo trovare è quello che è il periodo in cui l'onda è incidente lungo l'asse X, poi il periodo spaziale dell'incidente onda Bloch lungo X asse. Così, quando l'onda incidente è.
(Riferimento Slide Time: 17.11)

Quindi, mi faccia riscrivere questa frase qui. Così, qui il periodo spaziale dell'onda Bloch quando l'onda incidente, l'onda che è incidente sul cristallo è lungo l'asse X. Questo periodo sarà uguale a quello che è la periodicità del cristallo lungo l'asse X, il fronte onda piano è incidente qui come sappiamo e un fronte onda piano creerà onde di piano armoniche all'interno del cristallo. E, la direzione di propagazione sarà la stessa fornita che questo cristallo non crea piegamenti.
Quindi, in quel caso qualunque sia la periodicità del cristallo lungo X asse vi darà la periodicità dell'onda quando l'incidenza avviene lungo l'asse X. E, qual è la periodicità del cristallo lungo l'asse X? Quindi, se vedete qui la periodicità qual è la distanza dopo la quale questa particolare disposizione ripete lo schema? Allora, qual è la distanza qui? Questo sarà il 4/2, questo stesso sarà così, è un raggio; quindi, il diametro è di 4.
Quindi, questa sarà questa distanza di 4/2, questo sarà il 4/2 e questo sarà il 5, questo è ciò che ci viene dato. Quindi, la periodicità totale o la lunghezza dopo la quale il pattern si ripete sarà: 4 2
+ 5 + 4 2
= 9 unità

Ecco, questa è questa lunghezza che abbiamo dovuto trovare che abbiamo trovato. Quindi, questo è il così, questo è uguale all'asse λ a X. Ora, analogamente possiamo risolvere per le altre due direzioni.
(Riferimento Slide Time: 19.07)

Quindi, non spiegherò di più; così, direttamente scriverò la soluzione. Quindi, periodicità spaziale; ora scopriamo qual è la lunghezza dopo la quale il modello si ripete nella direzione verticale che questo ti viene direttamente a 10 unità. Quindi, queste 10 unità ci daranno la lunghezza d'onda lungo l'asse Y, ora la terza è lungo l'asse XY.
(Riferimento Slide Time: 20.01)

Quindi, ancora cosa; quindi quello che posso scrivere qui è che questo asse XY è in realtà di 45 gradi a questo asse orizzontale qui; così, questo è l'asse XY. Quindi, sarà uguale a quello che è il periodo o la periodicità del cristallo in questa particolare direzione e come lo risolviamo?
Quindi, qui mi faccia prendere questo caso particolare qui. Ecco, ecco come è la disposizione e questa distanza qui è di 9 e questa distanza è di 10; quindi, scriverò solo 10 qui.
Quindi, questo è come un, questo è il tipo di distanze tra i due, nelle due direzioni e questo è il e questo sarà lo schema. Ecco, questa è la distanza che dobbiamo trovare, questa è la periodicità in XY. Quindi, questa è la lunghezza dopo la quale lo schema si ripeterà lungo questa direzione. Quindi, si troverà molto facilmente utilizzando il teorema di Pitagora. Così, questo sarà:

lunghezza della diagonale = √ 9

2 + 102 = 13,45 unità

Quindi, si ottiene la lunghezza dopo la quale l'onda si ripete. Così, questo diventerà la lunghezza d'onda lungo l'asse XY a patto che l'incidenza avvenga esclusivamente lungo l'asse XY.

(Riferimento Slide Time: 22.13)

Così, questo per sintetizzare i risultati: il periodo spaziale dell'onda Bloch nel cristallo sonico lungo l'asse X è questa 9 unità, Y asse è 10 unità e XY è di 13,45 unità.
Quindi, con questo vorrei terminare questa particolare lezione e vedervi per la prossima lezione.
Grazie.