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Fondamentali di Crystals

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Benvenuti a lezione numero 35 della serie su Acoustic Materials and Metamaterials. È l'ultima lezione di questa settimana e avevamo iniziato la nostra discussione nell'ultima classe sul cristallo sonico. Così, è stata una lezione sull'Introduzione ai cristalli sonori. Così, in questa classe continueremo con la nostra discussione su alcuni dei Fundamentals relativi a Crystals. Così, abbiamo già studiato qualche terminologia come in quello che si intende per cristallo, cosa si intende per un reticolo o un reticolo di cristallo, poi quali sono i due diversi tipi di sistemazioni possibili etcetera.
Così, in questa classe partiremo con una discussione su ciò che si intende per uno spazio reale e uno spazio Reciproco e poi seguito da quello che ci sarà legato ad uno spazio reale, abbiamo un reticolo reale o un reticolo diretto e legato allo spazio reciproco, abbiamo un reticolo reciproco.
(Riferimento Slide Time: 01.23)

E poi concluderemo la nostra discussione con quello che si intende con una zona di Brillouin e una zona di Irriducibile Brillouin e questi due concetti sono molto importanti perché da oggi in avanti studieremo dei cristalli sonori, quindi tutta la risposta studiata per i cristalli sonori sarà studiata solo nella Zona Irriducibile Brillouin.
Ecco quindi la zona entro la quale saranno studiate le caratteristiche di risposta di tutti questi cristalli. Allora, che cosa si intende per uno spazio reale? Quindi, prima di tutto un reticolo diretto. Che cosa è un reticolo diretto? Si tratta di un reticolo; la struttura reticolare fisica o il reticolo di cristallo fisico di cui si sta discutendo. Fino ad ora quello che è il reticolo diretto o quello che possiamo vedere nel vero nello spazio reale che la struttura di cristallo o il reticolo di cristallo è il reticolo diretto.
(Riferimento Slide Time: 02.13)

Quindi, il reticolo diretto è studiato nello spazio reale. Allora, che cosa si intende per uno spazio reale? Ora sappiamo che sappiamo che uno spazio tipico è costituito dalle tre dimensioni spaziali oltre che da una dimensione temporale. Quindi, uno spazio reale è costituito da tre dimensioni spaziali ortogonali. Quindi, se stai prendendo indipendentemente da che tipo di sistema stai studiando, quindi diciamo che scegli il sistema di coordinate cartesiano.
Quindi, in quel caso avrete tre dimensioni speciali indipendenti. Sarà l'asse X, l'asse Y e l'asse Z, sono tutti di tre. Sono reciprocamente perpendicolari l'uno all'altro e reciprocamente indipendenti l'uno dall'altro. Allo stesso modo diciamo che si sceglie un sistema di coordinate sferiche.
In tal caso, qualsiasi punto può essere rappresentato; la posizione di qualsiasi punto può essere rappresentata da tre coordinate indipendenti che siano le; (R, θ, φ). Così, qui R è semplicemente la distanza radiale dall'origine e θ è l'angolo che la riflessione, è l'angolo che la riflessione del punto fa con l'asse X, e φ è l'angolo che il vettore radiale del punto fa con il piano XY. Così, abbiamo studiato quello che è un sistema Spherico o quello che è un sistema di coordinate cartesiane.
Quindi, qualunque sia il sistema che seguiamo noi per qualsiasi oggetto, la posizione può essere perfettamente descritta dalle tre coordinate spaziali e da una quarta dimensione che è il tempo. Così, abbiamo il tempo di coordinazione dello spazio e questo costituisce un vero e proprio spazio.
(Riferimento Slide Time: 04.03)

Quindi, tutte le cose che abbiamo studiato per il nostro reticolo di cristallo come quello che è la forma di cristallo, quali sono le dimensioni della forma e la dimensione del cristallo, quali sono le varie direzioni di periodicità, le varie costanti reticolari anche le proprietà come il modulo sfuso e la densità, tutto questo è stato studiato in uno spazio reale.

(Riferimento Slide Time: 04.25)

Ma possiamo anche studiare la propagazione di Wave in uno spazio reale. Così, all'inizio di questo corso nella lezione 1, vi ho detto che qualsiasi propagazione di onda specifica specificamente una propagazione d'onda Acoustic può essere descritta come una variazione periodica nello spazio e nel tempo.
Quindi, se è somma lasciarci dire se si tratta di un'onda in piedi, allora che diventa una variazione periodica nel tempo, ma nello spazio rimane costante. Nello stesso modo in cui abbiamo, ma le onde acustiche tipiche che stanno viaggiando onde si propagano e trasferiscono l'energia sonora dalla sorgente al ricevitore. Quindi, sono le onde viaggianti e la tipica onda viaggiante è poi un disturbo che può essere dimostrato come variazione periodica nello spazio e nel tempo.
Quindi, la propagazione delle onde può essere rappresentata nello spazio reale come questo. Quindi, si ha la variazione della pressione acustica sullo spazio e un parametro importante che si ottiene è lunghezza d'onda che è la distanza rispetto allo spazio o la distanza spaziale su cui l'onda sta ripetendo il suo schema. Quindi, quando lo si rappresenta e si vede qual è come l'onda si sta variando su questo, su uno qualsiasi della dimensione spaziale. Quindi, quando si hanno tre dimensioni spaziali che ci permettono di dire X Y e Z e si crea e si crea un'onda 3D, poi avrà una lunghezza d'onda associata alla direzione X, una lunghezza d'onda associata alla direzione Y e una lunghezza d'onda associata alla direzione Z.
Così, attraverso tutte queste dimensioni spaziali individuali si ottiene un parametro specifico che viene chiamato come Wavelength. Analogamente l'onda può essere rappresentata nel tempo di dimensione.

Quindi, è come una variazione periodica nel tempo. Quindi, se vedete in questa figura qui e qui il parametro che otteniamo è un periodo di tempo. Così, qui l'onda sta ripetendo il suo schema in questo periodo di tempo. Quindi, questa è quella lunghezza nell'asse del tempo o la distanza lungo la dimensione temporale su cui si ripete il modello d'onda. Proprio allo stesso modo la distanza su cui il modello d'onda si ripete nella dimensione spaziale, otteniamo una lunghezza d'onda e attraverso una dimensione temporale, otteniamo un periodo di tempo.
Ecco, ecco come l'onda è nel vero spazio, ma abbiamo anche studiato che il solo sapere la conoscenza di come si varia nello spazio e nel tempo non è sufficiente. Infatti, quali componenti di frequenza lo compongono e in che modo la grandezza o la potenza variano in frequenza o ciò che si definisce in generale come lo spettro di frequenza di potenza è ancora più importante perché la maggior parte delle applicazioni di controllo del rumore, significa che usano l'orecchio umano e l'orecchio umano è altamente di frequenza selettiva. Pertanto, una conoscenza della componente di frequenza diventa molto importante. Pertanto, se vi è disponibile un segnale sonoro, quindi diciamo in qualsiasi applicazione di controllo del rumore si acquisisce qualche segnale sonoro e che il segnale sonoro sarà il segnale sonoro nello spazio reale.
Quindi, sarà un segnale sonoro che varia nello spazio e nel tempo, la dimensione spaziale e il tempo, ma si converte quel segnale sonoro in un nuovo dominio che è il dominio di frequenza e di onda. Quindi, si fa una trasformata di Fourier. Quindi, se volete studiare la propagazione dell'onda in più dettagli, allora basta acquisire un segnale non è sufficiente. A volte bisogna studiarlo in un quadro diverso utilizzando la trasformata di Fourier, in modo da ottenere informazioni più dettagliate su quali sono i singoli componenti di frequenza e quali sono i vari numeri d'onda o i vettori di propagazione delle onde. Così, questo crea la necessità di utilizzare uno spazio reciproco.

(Riferimento Slide Time: 08.25)

Quindi, all'interno dei cristalli anche noi diciamo che stiamo studiando la propagazione delle onde nel cristallo, poi possiamo studiare la propagazione delle onde nel normale spazio reale che è la dimensione spaziale nel tempo, ma possiamo anche creare uno spazio reciproco. Quindi, quello che abbiamo è che abbiamo un cristallo che può essere rappresentato in un nuovo quadro del tutto e che nuovo quadro vi mostrerà il rapporto di come l'onda si propaga sulle diverse frequenze e sui diversi numeri d'onda.
Quindi, lo spazio reciproco può essere pensato come è equivalente a fare una trasformata di Fourier dello spazio reale. Quindi, per ottenere un'analisi più dettagliata della propagazione delle onde, possiamo studiarla facendo una trasformata di Fourier dello spazio reale. Quindi, si tratta di un quadro che viene utilizzato per studiare la propagazione delle onde ed è costruito utilizzando il reciproco delle dimensioni originali dello spazio reale.
Così, come suggerisce un nome, è uno spazio reciproco che significa che qualunque fosse lo spazio reale, usiamo reciproco delle dimensioni. Così, ricambiamo le quantità per ottenere una nuova sorta di quadro in cui studiamo la propagazione delle onde e questo nuovo quadro vi darà informazioni più dettagliate sui componenti di frequenza dell'onda.

(Riferimento Slide Time: 09.53)

Così, ora sappiamo che lo spazio reale comprende tre dimensioni spaziali ortogonali X, Y, Z e l'asse del tempo. Quindi, se si deve pensare ad uno spazio reciproco, quindi per uno spazio reciproco avrete bisogno di qualche roveto della dimensione spaziale e di qualche reciproco della dimensione temporale a qualcosa. Quindi, le dimensioni per lo spazio reciproco, qui le dimensioni di uno spazio reciproco possono essere tre dimensioni ortogonali dove l'unità è proporzionale al 1 dalla dimensione spaziale, 1 dalla dimensione spaziale, allo stesso modo.
Quindi, questi e possono comprendere di una dimensione la cui unità è la proporzionale direttamente al reciproco del tempo. Quindi, stiamo utilizzando il reciproco delle quantità che vengono utilizzate nello spazio reale per ottenere un nuovo quadro. Ora, conosciamo due parametri importanti che hanno avuto lunghezza d'onda e periodo di tempo nello spazio reale. Quindi, se ricambiamo la lunghezza d'onda che è di 1 λ e poi aggiungete 2π.

Quindi, 2π λ come si sa è un numero molto importante che è il numero d'onda o il vettore di propagazione. Allo stesso modo si può fare 2π T che ti dà la frequenza angolare che è di nuovo ω, un parametro molto importante per un'onda. Quindi, una scelta ottimale potrebbe essere che creiamo uno spazio reciproco usando ω e k come le dimensioni. Quindi, quello che si ottiene qui è quello. Quindi, il tipico spazio reciproco viene creato utilizzando le tre dimensioni del numero d'onda ortogonale.

Quindi, con ogni tanto ci si lascia dire di avere l'asse x y e z, quindi corrispondente ad ogni direzione abbiamo un vettore di propagazione delle singole onde. Così, lì abbiamo un vettore di propagazione d'onda lungo la direzione x, un vettore di propagazione d'onda lungo la direzione y, e un vettore di propagazione d'onda lungo la direzione z. Quindi, hai kx, ky e kz. Questi sono i tre componenti indipendenti del vettore totale k.
Quindi, questi sono kx, ky e kz; kx, ky e kz. Ecco, questi sono i tre singoli vettori d'onda o numeri d'onda e rappresentano le tre dimensioni dell'onda ortogonale. Quindi, queste sono tre prime tre dimensioni sono kx, ky e kz e la quarta dimensione è poi 2π T che

è la dimensione della frequenza angolare Così, quando questa forma di quadro viene utilizzata dove si dispone di uno spazio k, dove si dispone di uno spazio reciproco che comprende lo spazio ω − k. Quindi, si ha invece di avere la collocazione spaziale e il tempo, ora si sta usando quella che è la frequenza e il numero d'onda e si sta rappresentando le varie onde in termini di queste coordinate, allora che diventa uno spazio reciproco chiamato anche ω − k space o semplicemente lo spazio k.
Quindi, ora sapete perché usiamo lo spazio reciproco, è per ottenere un'analisi più dettagliata dei componenti di frequenza e della propagazione dell'onda. Quindi, lo stesso reticolo che abbiamo studiato in diretta; nello spazio reale può poi essere convertito in uno spazio reciproco.
(Riferimento Slide Time: 13.49)

Quindi, studiamo il reticolo diretto che conosciamo è il reticolo rappresentato nello spazio reale.
Ora ogni reticolo può essere pensato come qualche ripetizione di un blocco di edificio primario.
Quindi, tu e quello stesso blocco edilizi quando viene ripetuto utilizzando alcune operazioni simmetriche come se fosse tradotto o sia ruotato o si rifletta su qualche asse, può creare l'intero cristallo, in modo che l'unità primitiva diventi la cellula di unità primitiva o semplicemente il blocco di costruzione primitivo del sistema cristallo.
Ora, se sappiamo; se sappiamo come avviene la propagazione dell'onda in questa particolare cellula primitiva e sappiamo che questo perché un reticolo è in realtà una disposizione periodica, si tratta di una disposizione periodica ordinata molto forte. Quindi, se possiamo scoprire qual è la zona minima o il minimo, la principale, la più piccola unità ripetente che a ripetere sta creando l'intero cristallo, poi in poi possiamo studiare.
Così, invece di studiare la propagazione d'onda su tutto il dominio del cristallo, possiamo solo studiare la propagazione d'onda su questa unità ripetente e possiamo riflettere o possiamo semplicemente tradurre o riflettere i risultati sopra l'altro su di noi possiamo continuare a rifletterlo, in modo da ottenere i risultati su tutto il cristallo in modo da ridurre il tempo di calcolo in modo da calcolare.
Quindi, a volte si usa MATLAB o a volte si utilizzano alcuni metodi di elementi finiti per calcolare o molti altri strumenti numerici per calcolare come l'onda dovrebbe propagarsi all'interno di cristalli diversi. Quindi, è possibile ridurre il tempo di calcolo se si riduce la zona computazionale. Così, invece di studiare per l'intero cristallo, si può solo studiare all'interno di una piccola unità ripetente e poi si sa che il risultato che stiamo ottenendo per questa unità ripetente sarà simmetrico perché il cristallo è simmetrico, l'unità ripetente può essere simmetrica, molte unità così simmetriche possono essere disposte per ottenere l'intero cristallo.
Quindi, il risultato sarà lo stesso per il cristallo. Quindi, qualunque risultato si arrivi all'interno di un'unità primaria, può essere poi utilizzato per creare la soluzione per l'intero cristallo. Quindi, per ridurre il tempo di calcolo a volte solo la propagazione delle onde è studiata all'interno della cella dell'unità primaria.

(Riferimento Slide Time: 16.19)

Allora, qual è la definizione? La definizione formale di questa cellula unitaria primitiva, è la cella di volume minima che corrisponde ad un unico punto reticolare di una struttura che può essere utilizzata per creare l'intero cristallo utilizzando alcune operazioni simmetriche come la traduzione, la rotazione e la riflessione.
Quindi, è il volume minimo della cella con un solo punto reticolato che può agire come unità ripetente per creare l'intero cristallo e un altro modo di definirlo può essere il locus di punti in uno spazio più vicino a quel punto reticolare.
Allora, supponiamo di avere un cristallo, scegliamo un punto e vogliamo e vogliamo creare una cellula unitaria primitiva attorno a quella puntata di un reticolo, poi sarà il locus di tutti i punti più vicini a quel particolare punto reticolare che a qualsiasi altro punto reticolo e dal momento che questo tipo di cellula particolare che creiamo è chiamato come cellula Wigner-Seitz. Così, prende il nome dagli scienziati che lo hanno scoperto e ha proposto questa idea di Wigner e Seitz.
Quindi, la cellula unitaria primitiva a volte viene chiamata anche come cella di Wigner-Seitz.

(Riferimento Slide Time: 17.29)

Così, questo mostra questo diagramma qui mostra quali sono le diverse unità primitive. Allora, diciamo che avete una disposizione cubica, poi avete un reticolo cubico, poi un reticolo cubico potrebbe essere prima suddiviso nel suo reticolo di Bravais. Così, il reticolo cubico vi darà una struttura cubica.
Quindi, questa è la cella unitaria del reticolo cubico e all'interno di questa cella unitaria anche noi possiamo romperlo per ottenere quella che è l'unità ripetente che contiene solo in un punto reticolato. Allora, diciamo che abbiamo scelto questo come punto reticolo, poi dobbiamo scoprire il volume di spazio o l'intero locus di punti più vicini a questo punto reticolare che a qualsiasi altro punto. Quindi, se vedete l'aereo qui, questo è gioco, questo è a metà strada in questa direzione particolare.
Quindi, qui eventuali punti all'interno di questa zona, saranno più vicini a questo particolare atomo che all'altro atomo adiacente sulla parte superiore. Allo stesso modo se vedete lo spazio questo uno questo spazio qui, è anche a metà strada. Questo piano è a metà strada in questo sito; lunghezza laterale. Quindi, ogni tanto tutti i punti che si trovano all'interno di questo particolare tra questo punto, il punto reticolare e l'aereo.
Quindi, tutti questi punti qui che sono all'interno del punto reticolare e dell'aereo, saranno più vicini a questo punto reticolare rispetto a questo punto reticolare adiacente e allo stesso modo si può continuare a costruire tali piani e finalmente si trova un volume di spazio che è un cubo stesso e attraversa, passa a metà tra tutte queste linee. Quindi, è a metà strada. Quindi, le linee queste sono le linee di raccordo dei punti reticolari adiacenti. Così, a metà strada tra di che hai gli aerei e all'interno di poter ottenere un cubo.
Così, questo ci mostra l'unità di ripetizione primitiva per una struttura cubica. Nello stesso modo in cui si può ottenere qualche cella Wigner-Seitz o una cella ripetitiva primitiva o quella primitiva quella che la chiamiamo come cellula di unità primitiva, questo viene fuori per essere questo. Quindi, sempre quello che si fa è scegliere un particolare punto reticolare e vedere quale potrebbe essere il volume di spazio che contiene i punti più vicini a questo e non a qualsiasi altro punto reticolare e poi si crea un volume di spazio che diventa l'unità di ripetizione primaria che su ripetizione può creare l'intera struttura reticolare. Proprio come abbiamo la cellula unitaria primitiva, abbiamo anche un altro parametro che viene chiamato come vettore reticolato primitivo.
(Riferimento Slide Time: 20.19)

Ecco, questi sono quei vettori indipendenti che definiscono tutte le direzioni di periodicità in una cella unitaria. Quindi, diciamo e il punto ai siti adiacenti nel reticolo, quindi diciamo che ne abbiamo alcuni. Quindi, è meglio mostrarlo nelle due dimensioni per una visualizzazione migliore. Quindi, diciamo che abbiamo sistema reticolato 2D quadrato.
Quindi, questi due; questi due vettori diventeranno i vettori reticolari primitivi perché si vede che c'è una periodicità lungo la direzione orizzontale e una periodicità lungo la direzione verticale. Così, possiamo scegliere un punto come punto reticolo o il punto reticolare primitivo e poi, abbiamo i vettori che si uniscono al centro di questa origine a questo al centro del prossimo punto reticolare adiacente.

Quindi, questa è la lunghezza che la lunghezza sarà uguale alla distanza tra i centri di due punti reticolari adiacenti o coppie reticolari. Ecco, questo è quello che si ottiene e corrispondono alle singole direzioni in cui la variazione periodica avviene nello stesso modo in cui si può per un reticolo esagonale. Si ottengono questi come i vettori reticolari primitivi e si può dire che qualsiasi altra ripetizione.
Quindi, c'è una ripetizione che avviene in questa direzione, c'è una ripetizione che avviene in questa direzione e c'è anche una ripetizione in questa direzione questa, ma questa può essere rappresentata come una combinazione delle prime due direzioni. Quindi, questo non è indipendente. Quindi, qui abbiamo solo due direzioni indipendenti. Ecco, questi sono i vettori reticolari che è semplicemente la direzione su cui sta accadendo la variazione periodica e sono indipendenti.
(Riferimento Slide Time: 21.59)

Quindi, questa è una sorta di sistema di coordinate per un reticolo diretto. Ora, veniamo al reticolo reciproco e studiamo gli stessi termini nel reticolo reciproco. Allora, che cosa è un reticolo reciproco? Si tratta semplicemente del reticolo che è costruito nello spazio reciproco e come si costruiscono un reticolo reciproco.
Quindi, diciamo che abbiamo a1, a2 e a3 come i vettori reticolari primitivi di un reticolo diretto. Così, nel caso precedente avevamo un sistema 2D. Così, avevamo solo due vettori reticolari, ma se abbiamo un sistema reticolato 3D, allora avremo tre vettori di reticolo di questo tipo a1, a2 e a3 e se facciamo queste operazioni di trasformazione, allora otterremo i vettori reticolari primitivi per il reticolo reciproco e poi in base a ciò si può creare il reticolo reciproco.

(Riferimento Slide Time: 22.53)

E questa azione è ovviamente che succede in entrambi i modi. Allora, che cosa si intende per questo è che per ogni reticolo diretto ci sarà un reticolo reciproco che sarà unico così e viceversa. Allo stesso modo esattamente come lasciarci dire l'esempio di trasformata di Fourier che ridarò. Quindi, diciamo che hai avuto un vero segnale in x e t per x, y, z e t.
Quindi, era una funzione di p come funzione di x, y, z e t hai fatto una trasformata di Fourier e hai ricevuto segnale nello spazio reciproco. Quindi, hai ottenuto un po' di p come funzione di ω e k, fai di nuovo una trasformata di Fourier. Quindi, quello che otterrete è che otterrete nuovamente il segnale effettivo che sarà p come funzione di x, y, z e t.
Quindi, quello che si fa è che se si fa questa operazione due volte, si ottiene il segnale reale. Allo stesso modo diciamo che si crea un reticolo reciproco di un reticolo reciproco, poi si otterrà il reticolo diretto. Quindi, se la stessa trasformazione è di nuovo fatta ai reciproci vettori reticolari, si ottengono i vettori del reticolo diretto.

(Riferimento Slide Time: 24:05)

Così, si è trovato in questi studi di cristalli è che un semplice cubetto genera un semplice reticolo di reciprocità cubica, il viso - centrato genera corpo centrato, il viso centrato e esagonale genera un altro reticolo esagonale come il reticolo reciproco.

Quindi, la forma per la cubica esagonale e semplice rimane la stessa. Le dimensioni ovviamente cambieranno quali saranno governate da queste equazioni di trasformazione, ma la forma sarà la stessa.
(Riferimento Slide Time: 24:35)

Ora, l'ultimo concetto in questa particolare lezione è la zona di Brillouin. Così, proprio come avevamo una cella unitaria primitiva o una cella di Wigner-Seitz per un reticolo diretto, quindi ora abbiamo un reticolo reciproco. Se scopri qual è la cella Wigner-Seitz per questo reticolo reciproco che sarà la tua zona di Brillouin.
Quindi, prima hai un cristallo, lo converti nel suo reticolo reciproco e poi scopri qual è l'unità di ripetenza minima con un solo punto reticolato. Quindi, questo ti darà la zona di Brillouin. Quindi, quello che possiamo fare è che diciamo di voler studiare la propagazione d'onda in un cristallo. Possiamo ridurre il cristallo nella sua zona di Brillouin solo per ridurre il tempo di calcolo e possiamo studiare la propagazione delle onde solo all'interno della zona di Brillouin e in base alle conoscenze che otteniamo che possono essere trasferite per creare il in per ottenere la conoscenza di ciò che avviene in tutto il cristallo.
Così, solo studiando una piccola zona possiamo ottenere la conoscenza di ciò che sta accadendo in tutto il cristallo. Tuttavia se vedete queste zone Brillouin qui, sono anche loro la simmetria.
Quindi, la zona di Brillouin se stessa può essere ridotta ulteriormente e più in basso, in modo da ottenere la più piccola zona che possiamo studiare e ricreare il risultato per l'intero cristallo.
(Riferimento Slide Time: 25:57)

Quindi, questo dà il concetto di zona di Irriducibile Brillouin. Quindi, la zona di Brillouin che stiamo ottenendo può anche essere simmetrica nella natura. Così, possiamo tagliare le zone nelle varie porzioni di simmetria e ottenere la più piccola unità che su ripetizione creerà la zona di Brillouin e questa zona di Brillouin su ripetizione creerà l'intero cristallo.

Così, IBZ è un concetto molto importante perché da oggi in poi quando studieremo la risposta dei cristalli sonori, vedremo sempre la risposta in quella dell'asse sarà l'IBZ o la zona di Brillouin Irriducibile perché il modo in cui la propagazione dell'onda sarà studiata solo nella Zona Irriducibile Brillouin del cristallo sonico e che può darvi l'idea di quello che accadrà in tutto il cristallo Brillouin. Quindi, questo solo per ridurre il tempo di calcolo e risparmiare; risparmiare tempo di calcolo e la complessità dei risultati.
(Riferimento Slide Time: 26:55)

Quindi, diciamo se questo è un cristallo particolare, questa sarà la piccolissima zona che è simmetrica e che su ripetizione sta creando la zona di Brillouin; così questo è l'IBZ. Così, continueremo questa discussione sulla zona di Brillouin irriducibile, poi continueremo a discutere di lacune di banda nella prossima lezione.
Quindi, grazie per l'ascolto.