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Ciao e benvenuto alla lezione 30 della serie su Acoustic Materials and Metamaterials e oggi è l'ultima lezione della settimana 6 e la 3a lezione su Membrane Type Acoustic Metamaterials. Così, nell'ultima classe abbiamo studiato circa l'espressione per una densità di massa effettiva della cellula unitaria di tipo 1, dove abbiamo una membrana allungata all'interno di una guida d'onda e non vi è alcuna massa ad esso attaccata.
E quello che abbiamo trovato è che può bloccare i suoni a banda larga tra 0 fino alla sua frequenza naturale. Quindi, su una gamma di banda larga di frequenze basse può essere un perfetto materiale di barriera. Così, come potete vedere è vantaggioso su tutti i materiali di barriera tradizionali in quanto è in grado di spezzare la legge sulla frequenza di massa e darvi un controllo completo a basse frequenze.
Nella classe di oggi inizieremo la nostra discussione sul secondo tipo di cella unitaria che è quando abbiamo una membrana allungata con la massa ad essa attaccata, vedremo quale è la sua risposta di vibrazione e qual è l'espressione per la sua effettiva densità di massa.
(Riferimento Slide Time: 01.33)

Quindi, ecco solo una revisione, una revisione veloce di nuovo, quindi, come potete vedere qui. Quindi, hai 2 tipi di celle unitari: la prima è la membrana tipo AMM senza massa attaccata e l'altra è con la massa attaccata ed è questo che discuteremo oggi in questa particolare lezione.
(Riferimento Slide Time: 01.56)

Quindi, questo tipo di cella unitaria è stato proposto da Yang et al. 2008, si tratta della carta di riferimento a cui si può fare riferimento dove si propone questo tipo di cella unitaria. Quindi, quello che si guarda è lo stesso del precedente. Quindi, si ha una guida d'onda sub - ondulata con l'aria racchiusa all'interno e una membrana allungata all'interno di questa guida d'onda e c'è una qualche massa centrale attaccata alla membrana e qualche onda di piano è incidente e P1 e P2, la pressione uniforme a entrambe le estremità della cella unitaria ci viene data. Area a membrana, densità tutta e la lunghezza della cella unitaria queste dimensioni sono note a noi.

(Riferimento Slide Time: 02.36)

Quindi, la cella unitaria è effettivamente una membrana con una massa attaccata e al centro e si stringe all'interno di una guida d'onda e sottoposta ad un fronte d'onda d'aereo. Quindi, proprio come la precedente cella unitaria, questo può essere rappresentato anche da un modello di primavera di massa equivalente. Quindi, in questo caso quello che succede è che qui quando la vibrazione quando l'aria vibra, la membrana sarà l'elemento primaverile perché questo è l'unico elemento.
Così, ogni qualvolta si allunga, cerca di opporsi al suo spostamento trasversale e lì ed esercitano una forza di ripristino nella direzione opposta al suo spostamento che è dato dalla rigidità. Quindi, la rigidità è data semplicemente dalla tensione che agisce sulla membrana, noi tutta questa membrana allungata. Quindi, elemento primaverile è la membrana e, ma qui abbiamo 2 masse diverse. Prima di tutto come la membrana è vibrante, è la vibrazione della membrana che porta all'oscillazione delle particelle d'aria.
Quindi, in realtà il contrario quando un fronte d'onda piano è incidente poi le particelle d'aria che oscilleranno toccherà la membrana e la membrana poi vibrerà e l'intera cosa vibra dentro di voi all'unisono. Quindi, avrete la stessa funzione di spostamento per le particelle d'aria che oscillano avanti e indietro oltre che per la membrana. Così, insieme possono essere considerati come una sola massa M, ma poi questa massa aggiuntiva attaccata al centro che è una massa più piccola.
Ora, se la membrana ci lascia dire vibrante. Quindi, se abbiamo un se posso mostrarti visivamente, diciamo che questa è una membrana allungata e vibra così e hai qualche spessore

massa collegata. Quindi, anche quando questa massa è attaccata, la membrana potrebbe vibrare alla sua modalità originale, ma la massa può avere una modalità diversa. Quindi, questo può vibrare così mentre, a causa della massa il modello di vibrazione della porzione di massa potrebbe essere diverso.
Quindi, la membrana non vibra all'unisono con la massa. Quindi, la membrana ha un diverso schema di vibrazione e la massa del centro può avere un diverso schema di vibrazione. Così, questa massa centrale diventa la seconda massa. Quindi, se guardi qui in questa figura particolare. Ora lo stesso diagramma per la cella dell'unità precedente, lo sostituiamo con 2 masse diverse; la massa esterna è la massa dovuta alla membrana e all'aria e la più piccola è la massa della è la massa centrale attaccata alla membrana.
Quindi, queste 2 masse ci sono e sono unite da questo elemento primaverale. Quindi, ogni qualvolta che è il ripristino della forza che agisce su entrambi.
(Riferimento Slide Time: 05.27)

Ora, la risposta delle vibrazioni di questo particolare, quindi, ogni qualvolta si ha una membrana con qualche massa attaccata su di esso poi la risposta di vibrazione di quella membrana è data da questa particolare espressione qui, se si può vedere. Quindi, la derivazione di questa espressione è ovviamente, non qualcosa nell'ambito di questo corso, si può fare che come un si può provare a casa se si vuole, ma non fa parte del corso.
E avevamo già discusso di quella che è la risposta delle vibrazioni con una semplice membrana allungata e quello che abbiamo trovato è che in quel caso la vibrazione dipende da alcune caratteristiche esterne come la pressione esterna applicata; la pressione esterna sulla membrana. La tensione esterna della membrana o la quantità di stretching che si sta facendo sulla membrana e le proprietà interne della membrana che è la densità e lo spessore della membrana.
In questo caso abbiamo la risposta delle vibrazioni non dipenderà solo dalle proprietà di membrana, ma anche dalle proprietà di massa. Così, in questa particolare equazione qui potete vedere, questa è la risposta delle vibrazioni. Allora, quali sono le quantità su cui dipende? Qui W è lo spostamento trasversale, ρ è la densità di membrana, questo è lo spessore della membrana, T è la tensione a membrana, P1 e P2 queste sono le pressioni esterne applicate sulla parte anteriore e la parte posteriore della membrana e questa cosa particolare è la forza di reazione del punto.
Così, qui la massa è considerata un continuum di molte masse di questo tipo.
Quindi, la massa può essere di qualsiasi forma, quindi, diciamo che può essere una forma circolare, a forma irregolare o si può avere una membrana. Quindi, questa è una membrana con qualche massa qui o si può avere una membrana con qualche massa come questa o si può avere una membrana con masse in diverse località qualche massa qui, qualche massa qui, e così via. Quindi, tutta questa massa totale può essere considerata come una somma di queste masse di punti. Così, questo Qi (t) è la forza di reazione del punto tra la membrana e la massa.
Quindi, se si considera qualsiasi piccola area elementare come questa allora si dovrà alla sua densità perché quella massa ne è rimasta certa, la massa ha il, a causa della massa o dei suoi kg. Così, a causa della sua densità, eserciterà qualche forza di reazione sulla membrana dove si attacca.
Si eserciterà una normale forza di reazione che è data da Qi (t) e questa è la funzione delta di Dirac per tutti i quali per le x e le località y queste sono le posizioni x e y per queste masse di punti. Ecco quindi che questi sono i punti di collocazione che è l'interfaccia tra membrana e massa.

(Riferimento Slide Time: 08.23)

Quindi, nel complesso quello che si ottiene è che questa risposta dipende da alcuni parametri esterni come la pressione esterna applicata che è questa, la tensione esterna applicata che è questa e alcuni parametri interni che sono la densità di membrana, lo spessore e la densità di massa attaccata, ora questa particolare reazione di punto. Ecco, questa è la forza di reazione dovuta a ogni massa punica all'interno della massa totale. Quindi, abbiamo considerato questa massa totale come una collezione o un continuum di molte masse di punti.
Così, ogni massa puntista eserciterà una certa forza di reazione e che dipenderà da quella che è la sua densità perché la reazione normale dipende dalla massa. Quindi, dipenderà dalla densità di massa e questo valore dipenderà da come viene distribuita la massa; quindi, quali sono i valori xi e yi. Quindi, dipenderà dalla posizione della massa rispetto alla membrana. Ecco, questi sono i vari parametri su cui dipenderà questa risposta di vibrazione.
Così, quando risolviamo per la cellula unitaria ciò che vedremo è che le frequenze all'interno delle quali agisce come bloccando il suono o come riflettano il suono, dipende sia dalla proprietà della membrana che dalla proprietà di massa.

(Riferimento Slide Time: 09.42)

Quindi, iniziamo con la derivazione per una densità di massa efficace per la cella di unità di tipo 2. Quindi, in questo caso diciamo, ora vediamo di prendere questo modello di primavera di massa equivalente per la cella unitaria. Quindi, lasciare che X (t) sia spostamento per la massa più grande M e x (t) essere lo spostamento per questa massa più piccola m. Se prendiamo l'origine qui, quindi, è qui che inizia X. Così, X o lo spostamento inizia da qui questo è il punto in cui questo inizia.
Quindi, questo è a 0 e se d è la lunghezza totale della cella unitaria allora questo punto è a d / 2 alla sua posizione di equilibrio e questo punto è a d. Quindi, a posizione di equilibrio questo è a 0 e la massa m è a d / 2. Quindi, ora diciamo che questo sistema è ormai sottoposto. Così, abbiamo avuto questa cella unitaria e all'improvviso qualche eccitazione esterna ci viene data. Così, qualche eccitazione armonica esterna viene data e improvvisamente le masse cominciano a oscizzare a causa dell'eccitazione.
Poi possiamo vedere possiamo scrivere l'eccitazione come funzione armonica:

Fe
jωt

Così, dove questa è l'ampiezza di forza. Ora dalla legge di Newton ancora la forza è il tasso di cambio di slancio. Quindi, la funzione di forza sarà la velocità di cambiamento nella funzione di slancio. Così, sarà: dP (t) dt; questa è la forza e la funzione di slancio

rispettivamente.

Il 'f' è la funzione di forza e analogamente la funzione di spostamento per le 2 masse può essere data da soluzioni ancora armoniche perché ci assumiamo che sia processo acustico, tutte le fluttuazioni sono molto piccole, quindi, può supporre, possiamo dire di poter prendere una soluzione armonica. Quindi,

X (t) = si
−jωt x (t) = d 2
+ ue
−jωt

Perché stiamo prendendo l'origine qui a 0 e all'equilibrio questa massa è sempre a d / 2.
Quindi, stiamo misurando lo spostamento da d / 2 ciò che è il suo spostamento. Quindi, d / 2 plus qualunque sia la sua funzione di spostamento. Così, questo diventa x (t) e X (t). Così, ora, che abbiamo questa soluzione armonica che è poi l'accelerazione delle masse sotto questa particolare forza che agisce su di esso sarà:

d 2X dt 2 = −ω 2Ue
−jωt

d 2x dt 2 = −ω 2ue
−jωt

Quindi, il doppio lo deriva rispetto al tempo, questa è l'espressione con cui si finisce.
(Riferimento Slide Time: 12.37)

Quindi, ora si applica la seconda legge di moto di Newton a questo particolare sistema che significa che la forza netta che agisce sarà uguale alla massa in accelerazione. Quindi, abbiamo la forza netta che agisce è uguale a quelle che sono le 2 masse? M; così, M e la sua rispettiva accelerazione.
Così, abbiamo già trovato l'espressione per l'accelerazione della massa M e l'accelerazione della massa m. Quindi, moltiplichiamo questo. Così, avremo massa in accelerazione più il piccolo m nella sua accelerazione.
Quindi, questa è la particolare espressione che si sta ottenendo. Quindi, eliminiamo questo fattore comune qui, la variazione sinusoidale e basta confrontare le loro ampiezze. Quindi, ipotizzando che tutto stia cominciando dal tempo t = 0; non c'è differenza di fase poi basta tagliare questo costante e basta confrontare le loro ampiezze. Quindi,

F = −Mω 2u − mω 2u

Quindi, questa è la nostra 1a equazione.
Ora, vediamo quali sono le forze che agiscono sulla Messa M. Così, in questo momento traiamo questa espressione considerando entrambe le masse. Ora disegniamo un diagramma corporeo equivalente di solo la Messa M. Così, basta osservare questa massa più grande M. Così, se si disegna il diagramma del corpo equivalente e si sostituisce questa porzione si otterrà massa M che si muove con qualche spostamento X (t); ok.
E stiamo solo osservando questa e non la massa più piccola. Quindi, se si elimina questa cosa significa che se si elimina questo allora ci sarà una forza che agisce a causa di questa primavera e la forza che agisce a causa di quest' altra primavera che è data da f1 e f2.
Così, questo diventa il diagramma corporeo equivalente di M. Quindi, ora, ci stiamo solo concentrando sulla massa M poi in quel caso se si applica la legge di Newton a questo particolare sistema rimuovendo le altre parti ciò che si ottiene è la forza netta si agisce sull'esterno della massa M ed è questo che esercita la forza e poi massa M e piccola massa m entrambe iniziano a vibrare.
Così, qui la forza che agisce sarà qualunque sia la massa in accelerazione e poi la forza totale è questa è la forza totale che agisce in questa direzione F, e f1 e f2 questi si comportano in questo si agisce nella direzione opposta f1 e nella stessa direzione di f2.
Quindi, questo è F, la forza netta che agisce sarà:

F − f1 + f2

Così si porta questa quantità qui. Così, questo diventa l'espressione netta. Così, questo diventa l'espressione qui mentre si considera il tempo di punta iniziale t = 0, la sinusoidale dove la variazione è annullata e questa è l'espressione che otteniamo, dove f1 e f2 sono le due forze primaverili che agiscono sulla Messa M.
Quindi, da questo che otteniamo è che abbiamo già avuto un'espressione quando abbiamo considerato l'intero sistema insieme e poi abbiamo ottenuto qualche espressione per la forza quando abbiamo considerato solo la massa M e rimosso il sistema e lo abbiamo sostituito con le forze di primavera equivalenti. Ecco, queste sono le due espressioni. Se si confronta i due quello che si ottiene è questa cosa dovrebbe essere uguale a questa cosa.
(Riferimento Slide Time: 16.32)

Così, dal 1 e 2 questo diventa ciò che otteniamo qui, questa espressione diventa questa. Ora, consideriamo cosa sono queste forze primaverile che agiscono sulla Messa M. Così, f1 come potete vedere sarà k volte quello che è la deformazione della primavera. Quindi, irrigidimento moltiplicato per in δx o la deformazione. E quale sarà la deformazione? La deformazione netta sarà X - x vi darà la deformazione netta in questa primavera.
Quindi, ora solo considerando l'ampiezza e la scrittura ci prendiamo:

k (U − u)

e poi lo abbiamo fatto, entrambe le molle hanno la stessa rigidità. Quindi, la forza sarà kx; katia x o le deformazioni. Quindi, la deformazione qui è: f2 = −k (U − u)

Ora se si considera qui f2, questo è x e questo spostamento è x. Così, qui in questo caso è x − X.
Così, diventa così diventa: −k (U − u). Quindi, voi come vedete qui da questa simmetria perché entrambi hanno la stessa rigidità, ma la direzione in cui la forza è rappresentata è opposta l'una all'altra. Quindi, la magnitudo esce per essere uguale e opposta. Quindi, se la magnitudo esce per essere la stessa e le forze sono uguali e di fronte alla natura.
Perché abbiamo la stessa rigidità e il sistema è simmetrico sia sulle estremità. Quindi, ora, che abbiamo questi 2 e abbiamo questa espressione qui. Quindi, f1 − f2 sarà cosa? Sarà:

f1 − f2 = 2f1; dal f2 = −f1

Quindi, quello che otteniamo qui è:

2k (U − u) = −mω 2u Quindi, se lo si spezza ulteriormente questo è quello che si ottiene: 2kU = 2ku − mω 2u

Così, si ottiene una relazione tra l'ampiezza di spostamento della massa più piccola e l'ampiezza di spostamento della massa più grande che è questa espressione qui; 2 k da questa espressione. Quindi, questo è quello che abbiamo ottenuto.

(Riferimento Slide Time: 18.56)

Ora, scopriamo le funzioni di velocità. Quindi, abbiamo X, lo differenziamo una volta rispetto al tempo. Così, questa diventa la prima funzione di velocità per la massa più grande e per la seconda massa questa è la funzione di velocità che possiamo rappresentare come qualche ampiezza in e
−jωt e qualche ampiezza di velocità in più e
−jωt.

E qui le rispettive ampiezze di velocità per le 2 masse saranno come potete vedere è:

V = −jωU, e v = −jωu

E sappiamo già qual è il così, se si dividono le 2 espressioni qui quello che si ottiene è V sarà U.
Quindi,

v = u U V

Quindi, la velocità le ampiezze di velocità delle 2 masse sono nello stesso rapporto dell'ampiezza di spostamento delle 2 masse e sappiamo già qual è il rapporto qui; questo è il rapporto. Così, possiamo sostituire questa u U da questa espressione. Ecco, ecco come le 2 velocità sono correlate tra loro. Così, abbiamo ottenuto una relazione tra l'ampiezza di velocità delle 2 masse e l'ampiezza di spostamento delle 2 masse.

(Riferimento Slide Time: 20.20)

Ora, tornando nuovamente alla primississima equazione che è stata la forza è uguale alla massa in accelerazione, quando è stata applicata su entrambe le masse. Questa era l'espressione che avevamo, la primississima espressione. Poi in termini di velocità possiamo scriverlo come se prendiamo:

F = −jω (−jωUM − jωum)
E questo sarà V e questa espressione diventa v. Così,:
F = −jω (MV + mv)

Quindi, questo è stato il caso F è uguale al tasso di cambio di slancio. Quindi, se supporre:
P (t) lo slancio stesso è una funzione armonica, quindi, se si fa: dP (t) dt ciò che si ottiene è:

dP (t) dt = −jωP (t)

Quindi, l'ampiezza di forza è:

F = −jωP

Quindi, questa è l'espressione che hai e sai che:
F = −jωP

E,

F = −jω (MV + mv)

Quindi, quello che si ottiene è slancio è uguale a:
P = MV + mv

(Riferimento Slide Time: 22.03)

Ora, nella stessa espressione, quindi, questo è quello che abbiamo ottenuto:
P = MV + mv

E ciò è giustificato perché lo slancio è in realtà la somma dello slancio di entrambe le masse che si trasformerà nella loro rispettiva velocità. Ora però per il nostro osservatore esterno sono in grado di osservare solo la massa esterna. Quindi, cosa, quindi, se qualcuno viene dall'esterno a loro la cellula unitaria ciò che significa è che qualche forza viene applicata alla massa esterna e che porta ad alcune oscillazioni della massa esterna.
Quindi, se prendi questo punto di osservatore qui. Quindi, scriviamo sia tutto quanto in termini di V; è bene scrivere tutto in termini di V e sappiamo che conosciamo il rapporto tra v e V. Così, v è dato da questa espressione qui. Così, questo diventa l'espressione di v. Così, abbiamo MV + mv perché abbiamo già ottenuto il rapporto tra le ampiezze di velocità 2, equazione 5.
Così, abbiamo applicato l'equazione 5 qui e questa è l'espressione che stiamo ottenendo per lo slancio e ora lo slancio può essere semplicemente scritto come massa efficace nella velocità del capitale perché l'osservatore è esterno alla cella unitaria. Quindi, l'intera massa effettiva moltiplicata per la velocità complessiva della cella unitaria e la velocità complessiva della cella unitaria sarà la capitale V. Così, questa sarà l'espressione.
(Riferimento Slide Time: 23.47)

Quindi, in definitiva ciò che otteniamo è una massa efficace della cella unitaria può essere data da:

Mefficace = M + m (2K 2K − mω2)

Ecco, questa è un'espressione complicata che finalmente otteniamo per la massa efficace di questa cella unitaria. Quindi, quale sarà la densità effettiva? Si divide semplicemente l'espressione totale dal volume della cella unitaria. Quindi, la massa dal volume vi darà la densità effettiva.
Quindi, la densità effettiva diventa così, ρefficaci è la massa efficace dal volume della cellula unitaria che è Mefficace Ad
. Quindi, rho efficace sarà Mefficace Ad
. Quindi, si dividono entrambi questi fini da Ad. Quindi, quello che si ottiene è rho efficace diventa 1 Ad
volte questa espressione intera.

(Riferimento Slide Time: 24:50)

Così, abbiamo ottenuto un'espressione per la densità di massa effettiva della cellula unitaria di tipo 2. Quindi, qui A è la superficie della membrana, d è la lunghezza della cella unitaria, la M maiuscola significa la massa dell'aria racchiusa più la membrana. Così, sia l'aria che la membrana insieme quella che è la loro massa e piccola m è la massa attaccata alla membrana.
Ora, se prendiamo questa espressione qui e vediamo di sostituirci a questo dividiamo sia l'estremità superiore che quella inferiore per maiuscola M così, da piccoli m. Quindi, quello che otteniamo è se dividiamo questo per piccolo m, quindi, questo è m da m. Quindi, stiamo dividendo sia queste estremità da noi che stiamo dividendo sia loro per piccoli m. Quindi, quello che otteniamo è questo può essere scritto come questa espressione può essere scritta come: km/m km m
− ω2

Quindi, stiamo dividendo sia numeratore che denominatore per piccolo m e questo è ciò che la sostituiamo come: quello di è quello che chiamiamo come frequenza naturale della cella unitaria. Quindi, qui, la frequenza naturale della cella unitaria è sotto la radice della rigidità della membrana divisa per la massa centrale.
Così, solo la massa centrale è presa in considerazione. Quindi, questa espressione particolare è quella che chiamiamo come frequenza angolare naturale della cella unitaria. Quindi, se qui sostituiamo questo valore, quindi, questo diventa ω0 2 questo diventa anche ω0 2 e questo diventa ω 2.

Quindi, prima dividi per piccoli m sia su numeratore che denominatore in questa espressione e poi sostituirlo con questo valore. Quindi, questa è la forma definitiva che si sta ottenendo per una densità di massa efficace.
(Riferimento Slide Time: 26:39)

Ora, sappiamo che quando un fronte onda piano è incidente allora il dato è dato da questa equazione qui ognuna delle:

p = pmaxe j (ωt−kz)

E

c = √ B ρ

(Riferimento Slide Time: 26:54)

Così, ogni qualvolta il:

ρefficaci> 0, quindi, c = √ B ρ
= reale

La propagazione sarà reale e otterremo un onda di propagazione dell'aereo e analogamente quando il rho efficace sarà negativo otterremo un immaginario c, un k immaginario e otterremo un'onda decente. Quindi, un'onda che decora sullo spazio. Quindi, non è fluttuante non è sinusoidalmente che varia con lo spazio, è solo sinusoidalmente varia con il tempo e si declina rapidamente nello spazio. Quindi, il che significa che non è che si tratta di un'onda non propagante nello spazio.
Così, ogni qualvolta abbiamo ρefficaci