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Ciao e benvenuti alla lezione 29 della serie su Acoustic Materials and Metamaterials. Sono il professor Sneha Singh dal Dipartimento Ingegneria Meccanica e Industriale, IIT Roorkee. Ecco, questa è la nostra seconda lezione su Membrane Type Acoustic Metamaterials. E nell'ultima classe abbiamo studiato che cosa si intende per metamateriale di tipo a membrana e quali sono i 2 diversi tipi di cellule proposte. E in questa classe studieremo circa l'effettiva densità di massa di un tipo di cellula unitaria.
(Riferimento Slide Time: 01.00)

Così, a riassumere dalla lezione precedente abbiamo visto che, le membrane tipo AMMs sono ampiamente studiate e possono essere fino ad ora 2 tipi principali di cellule delle unità sono state proposte, dove una hai una guida d'onda e una membrana allungata che viene caricata sulla guida d'onda e poi la seconda è che hai una guida d'onda e hai una membrana allungata con qualche massa attaccata sulla parte superiore. Così, in questa particolare classe ci concentreremo sul tipo 1.

(Riferimento Slide Time: 01.29)

Così, il tipo 1 è stato proposto da Lee et al. 2009 e questo è il riferimento per l'autore. Quindi, questo tipo di cella di unità è riportato di seguito. Quindi, qui si ha una guida d'onda sub - ondulata. Quindi, qui tutte le dimensioni di questa cella di unità devono essere in sub - wavelengths.
Quindi, qualunque sia il tuo obiettivo λ, le dimensioni della cella unitaria devono essere molto più piccole rispetto a quelle che si sta cercando di puntare, la lunghezza d'onda. Quindi, qui si ha la membrana allungata e in questo caso particolare viene caricata con qualche mezzo fluido. Io prendo aria, ma si può usare qualsiasi mezzo fluido, può essere caricato con acqua o qualsiasi altro mezzo fluido.
Quindi, c'è qualche mezzo fluido lasciarci dire aria all'interno di questa guida d'onda e una membrana allungata in mezzo e la pressione che agisce sulla sinistra e il lato destro la pressione media è P1 P2 e il fronte dell'onda di piano è incidente su questo, essendo questa la membrana allungata.

(Riferimento Slide Time: 02.27)

Quindi, qui per questa particolare cellula unità questo agisce come un tipico oscillatore di primavera di massa. Così, in questo caso hai una membrana allungata. Quindi, diciamo se dai qualche spostamento a questa membrana.
(Riferimento Slide Time: 02.47)

Quindi, vediamo che avete qualche membrana e state dando qualche spostamento allora potrebbe provare a deflettere. Ma, a causa di quella tensione della membrana o possiamo anche chiamarla rigidità della struttura a causa di ciò, cerca di opporsi a qualsiasi deviazione dalla posizione di equilibrio.

Così, una volta che si allunga la membrana ci sarà una forza opposte che cercherà di riportarla alla sua posizione di equilibrio. E così su se si allunga dall'altra estremità una qualche forza agirà a causa della tensione della membrana, cercherà di riportarla in posizione di equilibrio. Quindi, qualunque sia lo spostamento trasversale ci sarà una forza che agisce su di esso che cercherà di riportarlo alla sua posizione di equilibrio.
Così, in questo senso si può dire che questa membrana è come l'elemento primaverile che sta cercando di ripristinare, la si comporta ha una rigidità e si oppone allo spostamento usando una forza di ripristino e ogni qualvolta la membrana vibra. Così, quando il fronte dell'onda del piano è incidente e si generano alcune vibrazioni, in quanto la membrana vibra lo stesso modello di oscillazione è seguito dalle particelle d'aria all'interno della guida d'onda.
Quindi, tutti loro la membrana e le particelle d'aria insieme si muovono all'unisono, quindi, oscillano avanti e indietro e la loro funzione di spostamento sarebbe la stessa. Quindi, l'elemento di massa qui diventa la massa dell'aria all'interno della guida d'onda più la massa della membrana. Quindi, se vedete qui, questo è il modello di primavera di massa equivalente. Così, la membrana è questa primavera e la racchiusa qui più la massa a membrana essendo la massa totale di questo sistema.
Quindi, questo è M totale che è la massa di membrana più la massa dell'aria contenuta all'interno dell'onda o l'aria contenuta all'interno della cella unitaria e poi si ha questo elemento primaverile. Quindi, se supponiamo che la rigidità della membrana, il km si supponga la rigidità della membrana, allora si può dire che questo è oscillante a e fro questa cosa particolare è oscillazione a e fro così. Quindi, questo può essere suddiviso in 2 molle equivalenti e la rigidità totale sarà di km 2
× 2 che sarà la rigidità totale della membrana.

(Riferimento Slide Time: 05.22)

Così, questa uguale rigidità è stata creata. Ecco, questo è il modello di primavera di massa della struttura.
Quindi, risolvamo quale sarà la densità di massa effettiva per questa specifica cella unitaria. Quindi, qui se si usa la legge di Hooke per nella membrana, quindi, il che significa che qualunque sia la forza applicata, la forza di ripristino sarà uguale alla rigidità della membrana moltiplicata per lo spostamento e agirà nella direzione opposta allo spostamento.
Così, dalla legge di Hooke se vedete qui, la forza di ripristino che viene esercitata dalla membrana è semplicemente; KmW, dove W è lo spostamento trasversale della membrana. Quindi, che significa, lo spostamento della membrana in direzione normale alla sua zona. Quindi, a posizione di equilibrio se l'area è lungo questa direzione allora lo spostamento trasversale sarà lungo questa direzione. Quindi, qui W è lo spostamento trasversale e questo è il presente è la costante di primavera equivalente della membrana o si può dire semplicemente la rigidità della membrana qui e la massa totale di questa cella unitaria è data da se diciamo, vediamo di lasciare che questa sia la massa della membrana più la massa dell'aria contenuta nella cella unitaria.
Così, qui ho preso il mezzo fluido come l'aria. Quindi, la densità dell'aria nella cella unitaria ci fa dire la sua ρa; poi ρa è la densità dell'aria moltiplicata per il volume della cella unitaria che è area della superficie della membrana moltiplicata per la lunghezza della cella unitaria d. Così, questo diventa l'espressione per la massa.

(Riferimento Slide Time: 07.08)

Così, ora applichiamo la seconda legge di Newton nella cella unitaria completa. Quindi, che significa, la forza netta applicata sarà pari alla massa in accelerazione. Quindi, se lo facciamo rispetto alla massa totale in accelerazione e qui l'intera cella unitaria si muove con l'accelerazione:
Cale 2W
Orologio 2; perché le particelle d'aria e le membrane sono all'unisono, si muovono o oscillano avanti e indietro con la stessa funzione di spostamento.
Quindi, si ottiene massa moltiplicata per accelerazione è uguale alla forza netta che agisce e sappiamo che la forza di ripristino agisce in direzione opposta allo spostamento. Così, abbiamo
−kmW e poi abbiamo la forza a causa del gradiente di pressione o della differenza di pressione. Così, è:

P1 − P2 A

Dividiamoci l'intera cosa. Così, questo Mtotal che avevamo calcolato in precedenza è dato da questa espressione. Così, sostituiamo Mtotale da questa espressione qui. Allora, questo è quello che otteniamo.

(Riferimento Slide Time: 08.14)

Ecco, questa è l'espressione che stiamo ottenendo usando la seconda legge di moto di Newton. Ora dividiamoci sia a sinistra che a destra per il volume totale della cella unitaria. Quindi, quando si divide per volume totale che è il volume totale della cella unitaria è A × d. Quindi, si sta dividendo per A × d questo fattore.
Quindi, questa è l'espressione che si ottiene alla fine. Così, questo diventa l'espressione quando si divide tutto per volume della cella unitaria. Quindi, questa è l'espressione che abbiamo ottenuto e questo:

P1 − P2 d

È il gradiente di pressione, ovvero il cambio di pressione diviso considerando che il gradiente di pressione rimane uniforme in tutta questa cella unitaria. Poi il gradiente di pressione può essere dato dalla differenza nella pressione divisa per la distanza lineare tra i 2 punti di pressione.
Così, questo diventa il gradiente di pressione qui. Quindi, qui la convention che ho usato è l'asse X, Y asse e quindi, l'asse Z arriva qui e il gradiente di pressione che sto calcolando è (P1 − P2

) che è opposto all'asse Z. Così, questa espressione diventa: − dP dz
. Ora la densità netta della cella unitaria è cosa? La densità netta della cella unitaria sarà la massa totale della cella unitaria per il volume totale della cella unitaria. Così:

Mtotale
Ad

Quindi, se guardate questa espressione qui, questo era cosa? Questa era la massa totale divisa da Ad. Quindi, questo diventa questo che possiamo semplicemente sostituire da un comune 'ρ' che è la densità della cella unitaria.
(Riferimento Slide Time: 09.55)

Quindi, usando questo valore ρ qui, quello che finiamo è questa equazione. Ora, perché questi sono processi acustici e tutte le deviazioni saranno molto più piccole così, per questi processi acustici con all'interno dei piccoli spostamenti trasversali possiamo ipotizzarci che la funzione sia armonica nella natura. Quindi, assumendo questa soluzione armonica, otteniamo questa W può essere una soluzione armonica che significa che potrebbe essere qualche ampiezza:

W = W0e
−jωt

Quindi, se questa è una soluzione armonica qui, quindi, quando lo differenziate.
Quindi, se una doppia differenziata questa cosa cosa si ottiene? Si ottiene:

(−jω) 2W0e
−jωt

Così:

Cale 2W
Zecca 2 = −ω 2W

W = − 1 ω2
Cale 2W
Zecca 2

Quindi, se si sostituisce questo valore qui, quindi, W può essere scritto in termini di questa quantità allora qui tutto può essere ora sostituito e scritto come un doppio derivato di W.
Così, diventa:

ρ
Cale 2W
Zecca 2 = km Adω2
Cale 2W
Zecca 2 − dP dz

(Riferimento Slide Time: 11.54)

Allora, questa è stata l'espressione che abbiamo ottenuto. Ora, cerchiamo di portare questa espressione all'altra estremità e prendiamo questo caso di questo 2W
La è comune, quindi, questo è quello con cui finiamo. È noi che abbiamo preso di mira 2W
. Quindi, con questo diventa:

ρ (1 − km ρAdω2)
Cale 2W
Zecca 2 = − dP dz

Quindi, questa è l'equazione che stiamo ottenendo nel complesso. Così, qui in questa particolare cella unitaria, se ricordate che la membrana era la primavera e la massa totale che è membrana più la racchiusa qui è stata la massa totale dell'oscillatore.

Quindi, se sì, in quel caso per quel particolare oscillatore quale sarebbe la frequenza angolare?
La frequenza angolare naturale sarà sotto la radice della rigidità per massa. Così, questo diventa:

√ km M

Quindi, questa è la frequenza angolare naturale della cella unitaria. Così, sostituiamo questa particolare quantità qui da ω0 2
. Dunque, questa è l'espressione finale che stiamo facendo bene. Quindi, questo è per ricordare questa espressione, ora vediamo come rappresentare: − dP dz.

(Riferimento Slide Time: 13.19)

Ora, se avete qualsiasi fluido Newtoniano, quindi, qualsiasi fluido che segua le leggi classiche della fisica di Newton o le leggi di Newton allora in quel caso è la differenza nella pressione tra eventuali 2 punti che funge da motore per la fluidità del fluido.
Quindi, i flussi fluidi a causa della differenza di pressione. Quindi, il gradiente di pressione sta effettivamente facendo fluire il fluido. E in quel caso per definizione questa forza totale (P1 −P2 A) è semplicemente meno di nuovo meno qui il segno meno è preso a causa della convenzione di Z, Z che abbiamo preso in questa direzione. Quindi, (P1 − P2

) è nella direzione opposta che è il motivo per cui un segno meno viene qui.
Quindi, questa intera forza è uguale alla densità nel volume che è la massa totale in accelerazione. Quindi, per un mezzo fluido considerando l'intera cosa come un mezzo fluido ci mettiamo

questa espressione. Ecco, questa è la definizione di densità effettiva per un fluido Newtoniano. Quindi, quando si risolve questa espressione, (P1 − P2) = − dP dz.

E dalla precedente equazione questa era la nostra equazione precedente. Quindi, ρ (1 − ω0 2 ω2)
Cale 2W
Zecca 2 = − dP dz Quindi, usando questa equazione precedente quello che otteniamo? Sostituiamo questo dP dz da parte di ρefficaci. Quindi, che quello che otteniamo qui è essenzialmente, questo ci darà:

ρ (1 − ω0 2 ω2)
Cale 2W
Zecca 2 = ρefficaci
Cale 2W
Zecca 2 = − dP dz

Così, questo si sottrae, così ρefficaci esce per essere questa espressione particolare.
(Riferimento Slide Time: 15.27)

Così, questo diventa la nostra effettiva densità di massa della cellula unitaria proposta, dove:

ω0 = √ km Mtotale

La frequenza naturale di questa cella unitaria. Quindi, qui ρ è la densità netta della cella di unità ω0 è la frequenza di angolo naturale.

(Riferimento Slide Time: 15.48)

Quindi, guardiamo indietro a questa particolare equazione. Si chiama anche la forma di equazione di Drudo. Così, qui ora sappiamo che i metamateriali acustici funzionano sui principi di una densità di massa effettiva negativa o del modulo sfuso negativo e di questa particolare membrana tipo meta, metamateriale acustico, si sta lavorando sul principio della densità negativa. Si tratta di un metamateriale acustico a densità negativa.
Così, nelle regioni di densità negativa diventerà un blocco completo del suono, nessuna onde sonore può propagarsi. Quindi, vediamo qui. Quindi, ora, abbiamo ρefficaci dato qui. Quindi, se si vede questa espressione, questo è il 1 e questa quantità deve essere sempre inferiore a 1 per l'intera espressione ad essere positiva. Quindi, il che significa che ω dovrebbe essere sempre quando ω> ω0 allora ρefficaci diventa maggiore di, quindi quando: ω> ω0, ρefficaci> 0.
Ma ogni qualvolta questo: ω 0, in quel caso il c che è la velocità del suono che si intende di √ Befficace Ρefficaci sarà una vera e propria quantità.
Quindi, la velocità di propagazione delle onde è reale, il vettore di propagazione stesso sarà reale che è: ω c
. Quindi, l'equazione dell'onda acustica complessiva è un piano che propaga l'onda acustica

equazione. Così, otteniamo propagazioni di onde ogni qualvolta: ρefficaci> 0.

(Riferimento Slide Time: 18.37)

Tuttavia in questa ampia regione da: o a ω0, ρefficaci