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Fondamenti di Cryptography Prof. Dr. Ashish Choudhury (Ex) Infosys Foundation Career Development Chair Professor International Institute of Information Technology – Bangalore Lecture – 25 Informazioni – Teoretic MACs Hello ognuno, benvenuto alla lezione 23. Ovvero messag Cosa faremo ora vedremo una costruzione candidata in base alla teoria del gruppo e all'aritmetica del campo finito. Vediamo quindi prima la definizione di gruppo abeliano. Quindi cosa è esattamente un gruppo abeliano? Quindi un gruppo sostanzialmente è costituito da un set che potrebbe essere finito o infinito, ha determinati elementi e insieme a quel set si ha un'operazione o e diciamo che il set insieme all'operazione o costituisce un gruppo se le seguenti proprietà sono soddisfatte. La prima proprietà è la proprietà di chiusura che stabilisce che se si prendono qualsiasi due elementi dal gruppo, diciamo a e b ed eseguono l'operazione di gruppo o quei due elementi, allora il risultato dovrebbe essere di nuovo membro del gruppo ed è per questo che la proprietà di chiusura del nome. Il che significa eseguire l'operazione poco o su due elementi di gruppo, non si andrebbe fuori o non si otterrebbe un elemento che si trova all'esterno del gruppo. Otterrete comunque un elemento che appartiene al gruppo. Ecco perché la proprietà di chiusura del nome. La seconda proprietà che richiediamo dal set e dal funzionamento o è la seguente. Si chiama proprietà associatività e che fondamentalmente pretende che se si assumono qualsiasi 3 elementi a, b, c dal gruppo a destra, poi non importa se si esegue l'operazione di gruppo su a e b e poi seguendo eseguendo l'operazione di gruppo su c. Avrai la stessa risposta se prima esegui l'operazione di gruppo su b e c e poi esegui l'operazione di gruppo sul risultato sull'elemento a. Questo significa che l'operazione o soddisfa la proprietà associativa. La terza proprietà che richiediamo è l'esistenza di elemento identitico, cioè ci dovrebbe esistere un elemento unico che denoti come diciamo e appartenente al set che soddisfano una proprietà magica. E cioè deve soddisfare la condizione che se si prende qualsiasi elemento a partire dal gruppo e se si esegue l'operazione di gruppo o l'operazione o sull'elemento a e sull'elemento e, allora si dovrebbe riprendere l'elemento a ed è per questo che chiamiamo quell' elemento speciale e come elemento di identità. Il che significa che si esegue quell' operazione o con e e qualsiasi elemento a partire dal gruppo, si finirà per recuperare l'elemento a. La prossima proprietà che richiediamo dal set e dal funzionamento o è la seguente. Richiediamo che ci debba esistere per ogni elemento a partire dal set, dovrebbe esistere un elemento speciale che indichiamo come un inverso o un innalzamento alla potenza -1 tale che se si esegue l'operazione o sull'elemento a e questo elemento a-1, è necessario riottenere l'elemento di identità. Quindi sottolineo che anche se stiamo usando la notazione un innalzamento al potere meno -1, numericamente non è uguale a 1/a perché stiamo costruendo dove stiamo effettivamente trattando il set in astratto. Questo significa che il tuo set potrebbe essere composto da qualsiasi tipo di elemento, non servono numeri o numeri interi o così via, potrebbe essere costituito da dire vettori, matrici e così via. Quindi non confondere che un alla potenza -1 spicca per il numerico 1 / a, è solo una notazione. Quello che in sostanza siamo esigenti è che se si assume un qualsiasi elemento candidato a partire dal set G, quindi corrispondente a quello che si dovrebbe avere anche un elemento candidato dal set G stesso che sto denotando da questa notazione a-1 tale che se si esegue l'operazione o sull'elemento a e su questo elemento speciale un -1, si dovrebbe riprendere l'elemento di identità, a destra. Quindi se il mio set G insieme al funzionamento o soddisfa queste 4 proprietà, allora dico che G, o è un gruppo e in cima a queste 4 proprietà se il mio set G insieme all'operazione o soddisfa una condizione aggiuntiva cioè quella della proprietà della commutatività che richiede che per qualsiasi coppia di elementi a, b dal set G, non importa se si esegue l'operazione su a e b o su b e a, si ritorna la stessa risposta, poi quel gruppo speciale viene chiamato come gruppo abeliano. Quindi in assenza di proprietà commutative, quello che otteniamo è un gruppo, ma in cima a questo se il gruppo soddisfa anche la proprietà della commutatività, allora il gruppo viene chiamato come gruppo abeliano, giusto. Ecco quindi la definizione di un gruppo abeliano astratto. Ora vediamo alcuni esempi di candidati per un gruppo abeliano. Quindi se si considera una serie di numeri interi che io denotano da Z che è un set infinito e se prendo l'operazione plus ovvero l'aggiunta intera. Quindi il mio funzionamento o in questo caso è plus e il mio set non è altro che Z, poi la serie di integre insieme all'aggiunta intera soddisfa la proprietà di chiusura, la proprietà associatività, l'esistenza dell'identità, l'esistenza di una proprietà inversa e commutativa. Si può verificare, a destra. Quindi verificateci la proprietà di chiusura. Se prendete due numeri interi e aggiungete numericamente, otterrete nuovamente un intero, quindi la chiusura è soddisfatta. È facile verificare che l'aggiunta di numero intero di operazione soddisfi la proprietà associatività Perché non importa che si aggiunga un e b prima e seguito aggiungendo c, si ottiene la stessa risposta che si ha eseguendo l'aggiunta di b e c prima e poi aggiungendo la risposta ad una, quindi la proprietà associatività è soddisfatta. L'elemento 0 appartenente alla serie di integre costituisce il tuo elemento di identità perché un + 0 per ogni intero un intero che ti regge l'elemento a e per ogni elemento a o per ogni intero a, hai il numero intero corrispondente -un anche appartenente alla serie di integre tale che un + - a ti darà l'elemento di identità cioè 0. Ed è facile verificare che per qualsiasi due numeri interi a e b, un + b sia uguale a b + a, quindi anche la proprietà della commutatività è soddisfatta. Il che significa che l'insieme di numeri interi Z insieme all'operazione plus soddisfa tutti i 5 assiomi che richiedo da un gruppo abeliano ed è per questo che l'insieme di numeri interi insieme all'operazione di aggiunta intera costituisce un gruppo di abeliani candidato ok. Così abbiamo visto un esempio di gruppo abeliano. Ora vediamo se la serie di numeri naturali che io denota da N insieme all'operazione plus costituisce un gruppo o meno. Così soddisfa la proprietà di chiusura, se prendete due numeri naturali e aggiungete, otterrete un numero naturale, l'operazione di aggiunta soddisfa la proprietà associativa sull'insieme dei numeri naturali. Il problema qui è che non si ha l'elemento d'identità giusto perché non si ha l'elemento 0 presente nel set N, quindi questo assioma non è soddisfatto e si scopre che ogni numero naturale non ha un inno nell'insieme dei numeri naturali. Quindi se si prende ad esempio l'elemento 2, il suo inverso dovrebbe essere idealmente -2. S

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