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Module 1: Sigma Notazione e Grandi Summations

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    Sigma Notazione"La notazione di Sigma" è un modo conveniente per scrivere grandi somme. Coinvolge una variabile che è presente in ogni termine e il cui valore (un intero) aumenta sempre del 1.
     
    Ad esempio, la somma 1 + 2 + 3 + … + 100 può essere scritta utilizzando la variabile m e notando che m va da 1 a 100, con incrementi di 1.
     
    Il comando per aggiungere questi termini è scritto sum_ {m= 1} ^ {100} m.
     
    I numeri sotto e sopra la sigla capitale ci dicono dove iniziare e dove fermarsi.
     
    L'espressione in termini di m davanti alla sigma descrive il tipo di termini che si stanno aggiungendo.
     
    Per aggiungere i primi 10 quadrati, cioè per denotare 1 + 4 + 9 + … + 100, scriviamo sum_ {m= 1} ^ {10} m ^ 2.
     
    Per aggiungere i primi 10 cubi, cioè per denotare 1 + 8 + 27 + … + 1000, scriviamo sum_ {m= 1} ^ {10} m ^ 3. Spero che tu veda la differenza.
     
    In entrambi i casi ci viene detto di partire alle 1 e terminare alle 10. Ma il primo sigma coinvolge m ^ 2 perché stiamo aggiungendo delle piazze. La seconda sigma coinvolge m ^ 3because stiamo aggiungendo cubi.
     
    Possiamo ottenere più fancy! Supponiamo di voler indicare la somma dei reciproci dei primi 100 numeri. Semplice! Scrivi sum_ {m= 1} ^ {10} frac {1} {m}.
     
    Ora supponga di essere m - fobico e desideri utilizzare una lettera diversa. Potresti cambiare sum_ {m= 1} ^ {10} frac {1} {m} a sum_ {k= 1} ^ {10} frac {1} {k} senza modificare il significato.
     
    Si potrebbe persino andare in greco e scrivere sum_ {alpha = 1} ^ {10} frac {1} {alpha}. La risposta finale doesn t t comporta la lettera che usi nell'espressione sigma.
     
     
    La notazione di Sigma può essere utilizzata per somme che coinvolgono i sottoscritti (i piccoli numeri o le lettere scritte inferiori alle lettere a cui appartengono).
     
    In statistica, una raccolta di 100 punteggi può essere scritta x_1, x_2, ...., x_ {100}, dove il sottoscritto racconta quale punteggio abbiamo.
     
    Se vogliamo la media di questi 100 punteggi, possiamo scriverlo come frac{ sum_ {k= 1} ^ {100} x _ k} {100}.
     
    Il numeratore è la somma dei punteggi. Il denominatore è il numero di punteggi, ovvero 100.
     
     
     
     
    Ecco tre leggi importanti che coinvolgono la notazione di sigma. Dato che un'espressione sigma è una somma, le ragioni di queste leggi saranno chiare (a me!).
     
    Noi rappresentiamo una somma sigma per sum_ {i= 1} ^ n f (i) poiché l'espressione da sommare è di solito una funzione dell'indice fittizio, i, come i ^ 2 o i ^ 3.
     
    Per risparmiare digitare, lasceremo fuori "i= 1" sotto la sigma e il &ld'n sopra di esso nelle prime due pallottole. Credo che ci sia voluto più tempo per scrivere l'ultima frase!
    sum [ f (i) pm g (i)] = sum f (i) pm sum g (i)Questo sembra che stiamo distribuendo sigma. Infatti, stiamo semplicemente cambiando l'ordine in cui aggiungiamo (o sottrarre) i termini nella somma.
    sum [ ccdot f (i)] =csum f (i) Questo dice che possiamo “ tirare fuori ” un fattore comune, c.
    sum_ {i= 1} ^ n C= nCQuesto dice che il termine costante C viene aggiunto n volte nell'espressione sigma.