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Introduzione a Splines

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Ciao e benvenuto alla lezione numero 7 del corso Computer Graphics.
Come abbiamo già discusso nelle tecniche di rappresentazione dell'oggetto ci sono sostanzialmente 5 categorie, uno è il rendering di esempio. La seconda è la rappresentazione di confine, poi il partizionamento dello spazio, poi la rappresentazione sweep e infine alcune altre tecniche di rappresentazione specifiche che sono applicative - specifiche o riferite ad alcune tecniche avanzate come i grafi di scena, il modello scheletrico e altre tecniche di modellazione avanzata come la rappresentazione frattale e i sistemi di particelle.
Nella rappresentazione di confine, ci sono 3 ampi gruppi di tecniche. Una è la rappresentazione di mesh, una è la rappresentazione parametrica e una è rappresentazione implicita. Allo stesso modo, nella rappresentazione di partizionamento spaziale, ci sono 3 ampie tecniche di rappresentazione a base di alberi di partizione BSP o binari binari e tecniche di CSG. Ora, tra tutti questi, stiamo attualmente discutendo le tecniche di rappresentazione limite e continueremo la nostra discussione su questa tecnica.
Nelle tecniche di rappresentazione del confine. Nell'ultima lezione, l'ultimo paio di lezioni, abbiamo coperto la rappresentanza di maglia e introdotto l'idea di rappresentazione parametrica oltre che implicita. Oggi continueremo la nostra discussione sulla rappresentanza di confine oggi ci concentreremo su una tecnica di rappresentazione di confine specifica e popolare, che si chiama rappresentazione spline.
Così, per comprendere la tecnica di rappresentazione spline, dobbiamo capire come rappresentiamo la curva. La curva è molto comune, una forma primitiva che è richiesta in molti luoghi per rappresentare oggetti, in particolare nel contesto di forme complesse non possiamo evitare di rappresentare curve solo con linee o punti, potrebbe non essere possibile rappresentare forme complesse, e dobbiamo prendere in considerazione le curve.
A semplificare la nostra discussione si concentrerà qui solo sulla rappresentazione parametrica delle curve, sebbene prima abbiamo introdotto sia i tipi, cioè la rappresentazione parametrica e la rappresentazione implicita. Come possiamo rappresentare le curve, in generale, utilizzando il modulo parametrico, possiamo utilizzare un singolo parametro u sarà denotato da u per rappresentare le curve o le sue coordinate cartesiane utilizzando queste equazioni. Questo è per rappresentare la coordinata X. L'altra è per rappresentare la coordinata Y dove X è funzione di u e Y è un'altra funzione di u. Cerchiamo di capire l'intuizione dietro questa rappresentazione. Possiamo ipotizzare che u stia denotando il tempo. Possiamo pensarla in questo modo, disegniamo la curva su uno spazio 2D Cartesiano in un periodo di tempo ormai in un istante di tempo, posiamo un punto cartesiano. Poi possiamo dire che a quel punto del tempo il punto cartesiano è che, in altre parole, il punto cartesiano è caratterizzato dall'istante del tempo, che è u. Quindi, essenzialmente u denota istante specifico del tempo, a quel punto possiamo determinare i corrispondenti valori di coordinate utilizzando l'equazione. Questa è la semplice intuizione dietro l'idea della rappresentazione parametrica di una curva.
Quindi, si tratta di capire come rappresentare la curva parametrialmente. Ora, il nostro obiettivo è quello di rappresentare la curva facilmente ed efficientemente. Cerchiamo di elaborare su questo un po' di più.
Come tutti sappiamo, possiamo approssimare una curva in termini di una serie di piccoli segmenti di linea, ovviamente qui i segmenti devono essere molto piccoli per far sembrare la curva liscia, altrimenti la curva lo rende un aspetto marcato. Ora, chiaramente, questo è molto facile, intuitivo ma potrebbe non essere efficiente. Potremmo dover fornire un gran numero di punti per disegnare piccoli giudizi.
Potrebbe esserci un'altra alternativa. Possiamo elaborare l'equazione curva e applicare l'equazione per scoprire qualsiasi punto sulla curva. Quindi, questo chiaramente è meglio che specificare un numero di punti manualmente elevato per approssimare la curva sotto forma di una serie di segmenti di linea. Quindi, chiaramente, questo è facile e può rivelarsi efficiente anche. Ma il problema qui è che per molte curve potremmo non essere in grado di trovare l'equazione stessa. È molto difficile per qualsiasi curva arbitrariamente impostata per scoprire la domanda curva. Quindi, cerchiamo di capire questi problemi da quel punto di vista di un utente, cosa pensa l'utente.
E quali sono i problemi che la faccia dell'utente? Ora l'utente vuole generare una curva di qualsiasi forma arbitraria. Se stiamo cercando di rappresentare la curva sotto forma di un gran numero di piccoli segmenti di linea, allora l'utente deve inserire un numero molto elevato di quei punti attraverso i quali i segmenti di linea possono essere generati. Chiaramente, nessun utente sarebbe interessato a immettere un numero molto elevato di tali punti. D'altra parte, per un utente. Può essere difficile o addirittura impossibile scoprire un'equazione precisa della curva. Quindi, quindi in entrambi gli approcci utente non ne trarrà alcun beneficio.
Idealmente, ciò che un utente deve fare o quello che un utente vuole fare, l'utente vuole fornire una serie limitata di punti. Ora, questi punti definiscono la curva. Quindi, essenzialmente l'utente non sta fornendo tutti i segmenti di linea possibili per approssimare la curva o fornire un'equazione precisa per scoprire i punti in curva. L'utente, invece, sta fornendo una piccola o limitata serie di punti che definisce la curva. In altre parole, questi punti a scelta tale che la curva attraversa o vicino quei punti, questi punti sono noti anche come punti di controllo.
Quindi, l'alternativa all'utente è quella di fornire una piccola serie di punti di controllo invece di fornire una grande serie di punti attraverso i quali i segmenti di linea possono essere disegnati o dare una precisa equazione curva. Così, l'utente ha fornito una serie di punti di controllo. E l'utente prevede che il sistema attira la curva per interpolazione interpolando quei punti di controllo. Allora, cerchiamo di capire brevemente qual è l'idea di interpolazione, molti di voi o forse tutti voi potreste già sapere cosa è l'interpolazione, ma non vi è alcun danno nell'aggiornamento della nostra conoscenza.
Quindi essenzialmente, quando si parla di interpolazione, ciò che intendiamo, intendiamo essenzialmente per l'allestimento di interpolazione di una curva che attraversa o nelle vicinanze la serie di punti forniti o i punti di controllo. Una forma di interpolazione è un'interpolazione polinomiale. In questa interpolazione ciò che facciamo, cerchiamo di adattare una curva polinomiale attraverso la data set di punti di controllo. Ora, l'interpolazione polinomiale è molto popolare perché generalmente si ritiene che tali interpolazioni siano semplici, efficienti e facili da manipolare. Quindi, ci concentreremo qui sull'interpolazione polinomiale. Ora, a seconda del numero di punti di controllo, si decide il grado di polinomio interpolare. Così, quando parliamo di interpolazione polinomiale, una preoccupazione è quella che dovrebbe essere il grado del polinomio ora che può essere deciso in base al numero di punti di controllo forniti.
Facciamo un esempio, supponiamo di ricevere 2 punti di controllo in una situazione del genere, si consiglia di andare per l'interpolazione lineare piuttosto che qualsiasi altra forma di interpolazione più elevata perché abbiamo solo due punti di controllo. Allo stesso modo, se ci sono 3 punti di controllo, allora possiamo andare per polinomi quadratici. Ci sono 4 punti di controllo che utilizzano il grado di conseguenza e così via. Pertanto, possiamo dire che in generale per n + 1 punti di controllo, potremmo cercare di inserirci in polinomio di grado n che è pittoricamente raffigurato qui in questa figura, ci vengono dati questi punti di controllo attraverso i quali cerchiamo di adattare una curva. E se il numero dei punti di controllo è n + 1, allora la curva a cui dovremmo lavorare o il polinomio che dovremmo lavorare dovrebbe avere la laurea idealmente. Nota al sistema di equazioni che abbiamo citato qui. Questo è per le coordinate X, analogamente per le coordinate Y, possiamo avere un insieme di sistemi simili. Ora visto che sono n punti di controllo dato che abbiamo n x coordina i valori per ognuna di queste coordinate. Abbiamo 1 equazione della curva in termini di parametro e quindi per il n numero di punti di controllo, abbiamo n numero di equazioni.
Ora, in quelle sono equazioni ci sono termini costanti, quelli sono i coefficienti come un 0, a1 a an-1.
Se decidiamo queste coordinate, allora possiamo definire il polinomio. Quindi, per ottenere i valori di questo coordina questi coefficienti quello che dobbiamo fare, dobbiamo risolvere l'insieme delle equazioni. La n plus una equazione che abbiamo visto in precedenza. Se risolviamo questo, allora otterremo questi valori dei coefficienti che definisce il polinomio.
Ma c'è un problema, se abbiamo un n molto grande se abbiamo molti punti di controllo, un gran numero di n. Poi bisogna risolvere un numero molto elevato di equazioni, che non è facile. Sopra di esso, dobbiamo tenere a mente che ci sono due serie separate di equazioni, una per X e una per Y. Quindi, dobbiamo risolvere in realtà due serie di equazioni piuttosto che una e per grandi e, questo diventa molto ingombrante da fare.
Insieme a quello, c'è un altro problema, che si chiama questione di controllabilità locale. Supponga che tu o l'utente desideri modificare leggermente la forma. Così, con l'equazione polinomiale otterrà una curva che rappresenta una forma.
Ora, voglio cambiarlo leggermente. Poi idealmente, cosa devo fare? Un cambio di uno o qualche punto di controllo per denotare il piccolo cambiamento. Ma se andiamo per l'interpolazione polinomiale, poi per ottenere la nuova curva, potremmo dover ricalcolare di nuovo l'intera cosa. Quindi, l'intera curva potrebbe dover essere ricalcolata. Che ovviamente non è un bene perché abbiamo cambiato qualche punto e idealmente dovremmo essere in grado di limitare i nostri sforzi pre calcoli solo a quei pochi punti, ma invece dobbiamo risolvere di nuovo l'intera serie di equazioni, che non è un approccio efficiente.
Quindi, questo problema è noto come controllabilità locale, dove non siamo in grado di controllare i cambiamenti locali localmente. Dobbiamo controllare i cambiamenti locali attraverso il ricalcolo globale della curva. Ora, per affrontare questi temi, c'è un'altra soluzione di cui discuteremo.
Ora, qual è questo approccio alternativo? Supponiamo che ci siano di nuovo n plus un punto di controllo indipendentemente dal valore di n, potremmo dividere l'intero set in sottoinsiemi con meno punti.
Tipicamente, questi meno punti a 3. Così, dato un set di n plus one point, ci possiamo piacere avere dei sottoinsiemi dove ogni sottoinsieme contiene tre punti di controllo. Ora per ciascuno di questi sottoinsiemi, possiamo adattare polinomi di grado inferiore. In questo caso, i polinomi di grado 2 per ciascuno dei sottoinsiemi.
E poi questi singoli polinomi di grado inferiore, che si chiamano anche pezzi polinomiali, quando si uniscono, danno il curvo complessivo. Quindi, l'idea è molto semplice. Si dà un gran numero di punti di controllo, ma non è necessario adattare una singola curva polinomiale utilizzando l'intera serie di punti di controllo. Invece, quello che facciamo, dividiamo l'intera serie di punti di controllo in sottoinsiemi di numeri più piccoli. Ogni sottoinsieme contiene pochissimi punti di controllo.
Un valore tipico utilizzato è di tre e per ciascuno di questi sottoinsiemi, ci si adatta o interpoliamo un polinomio di grado più piccolo. E questi polinomi, quando si uniscono, danno il curvo complessivo. Quindi, questi singoli polinomi sono noti anche come pezzi polinomiali. Quindi, l'intera curva che rappresentiamo in termini di pezzi polinomiali. Facciamo un esempio, consideriamo questa figura qui. Ci sono 5 punti di controllo p0 a p4 come potete vedere, p0, p1, p2, p4 p3 e p4. Ora, questi 5 punti non devono essere utilizzati per disegnare un singolo polinomio.
Che in questo caso sarebbe di grado 4 invece quello che possiamo fare, possiamo suddividere le curve o la serie di punti di controllo in sottoinsiemi. Come i due sottoinsiemi mostrati qui in un solo sottoinsieme, abbiamo tre punti di controllo p0, p1, p2 un altro sottoinsieme abbiamo altri 3 punti di controllo p2, p3, p4.
Per ognuno di questi sottoinsiemi disegniamo un polinomio quadratico o di grado 2 e poi quando si uniscono, otteniamo la curva interpolata complessiva. Questa è l'idea di base.
Ora, questa idea di allestimento di una serie di punti di controllo con diversi polinomi di grado inferiore rispetto ad un singolo polinomio di grado superiore è nota come rappresentazione spline. Quindi, quando parliamo di rappresentazione spline, ci riferiamo essenzialmente al fatto che c'è una serie di punti di controllo, ma non stiamo interpolando l'intero set con una singola curva polinomiale. Invece lo rappresentiamo in termini di diversi pezzi polinomiali. Ora l'intera carve è chiamata curva della spina dorsale semplicemente spline.
Si tratta di una tecnica di rappresentazione della curva molto apprezzata utilizzata nella computer grafica.
Nella grafica è molto comune usare spline fatte di terzo grado o n = 3 polinomi, detti anche polinomi cubi. Nella nostra successiva discussione, ci concentriamo. Ci concentreremo su questi polinomi solo e corrispondenti solo. C'è una cosa importante nella rappresentazione spline che dobbiamo tenere a mente che si chiama condizione di continuità. Ora le spline, come abbiamo discusso, si riferiscono all'adesione di diversi polinomi. Quindi, chiaramente, è importante garantire che si articolare in maniera regolare. Per far sembrare liscia la curva risultante.
Ora, come garantirla? Per garantire che ciò accada, le spline devono essere conformi a quella che è conosciuta come condizione di continuità. Ci sono diverse tali condizioni sostanzialmente, sono di due tipi, una è la condizione di continuità parametrica e l'altra è condizione di continuità geometrica. Così, in generale, la condizione di continuità parametrica dell'ennesimo ordine denotato da Cn afferma che le curve aderente si incontrano e prima all'ennesimo ordine i derivati parametrici delle funzioni curve adiacenti sono pari al loro limite comune che è la definizione generale. Ora, vediamo cosa si riferiscono in termini semplici.
Quindi, la prima condizione di continuità parametrica è C0, la condizione di ordine dello zeroth, che semplicemente afferma che la curva aderente si incontra. È solo che la semplice condizione.
Ora, la condizione parametrica di primo ordine C1 indica che i derivati del primo ordine delle curve adiacenti al limite comune sono uguali. Quindi, essenzialmente racconta che al limite comune, dobbiamo garantire che il derivato parametrico del primo ordine. Ciò significa che il derivato rispetto al parametro u della curva dovrebbe essere uguale. In modo simile C2 indica che sia il primo che i derivati del secondo ordine sono uguali al limite comune. E in questo modo possiamo andare avanti. Ma dato che nella grafica ci concentriamo prevalentemente sui polinomi di terzo grado quindi, ci occupiamo prevalentemente di queste condizioni di continuità fino a C2. Ora, queste condizioni di continuità parametrica sono sufficienti, ma non necessarie per garantire la smoothezza geometrica dello spline. Per questo, ciò di cui abbiamo bisogno è conformarci all'altra serie di condizioni di continuità chiamate condizioni geometriche di continuità. Ora, cosa sono quelli? La condizione di ordine del 0 è denotata da G0. Questa è la condizione di ordine zeroth che è simile a C0, che semplicemente afferma che le curve devono incontrarsi. Allo stesso modo G1 o la condizione di continuità geometrica di primo ordine racconta che le direzioni tangenti al limite comune dovrebbero essere uguali, pur essendo magnitudini possono essere diverse in modo che le direzioni devono essere uguali ma le grandezze possono variare al limite che è la condizione di continuità geometrica G1 o di primo ordine.
La condizione di secondo ordine o G2 indica che sia la direzione tangente che le curvature al limite comune delle curve adiacenti dovrebbero essere uguali. Anche in questo caso possiamo andare avanti così fino a qualsiasi ordine, ma dato che ci occupiamo prevalentemente di polinomi cubi, fino a G2 dovrebbero essere sufficienti per la nostra comprensione. Quindi, questa è una conoscenza di base che dovremmo avere sulle spline che è, se vogliamo rappresentare qualsiasi curva come spline, che significa in termini di pezzi polinomiali più piccoli, dovremmo garantire che le curve siano conformi alle condizioni di continuità, alle condizioni di continuità parametriche e geometriche.
Ora proviamo a vedere quali sono i diversi tipi di rappresentazioni Spline che possiamo utilizzare. Ci sono sostanzialmente due tipi. Una è le spline interpolanti. Un'altra è le linee di approssimazione.
Ora, in caso di spline interpolanti, cosa vogliamo? Cerchiamo essenzialmente di adattare la curva tale da passare attraverso tutti i punti di controllo. Quindi, essenzialmente ci viene data una serie di punti di controllo e stiamo rappresentando la curva sotto forma di spline, in modo tale che i pezzi polinomiali della spline attraversino tutti i punti di controllo come mostrato in questa figura.
Ora, le linee di interpolazione comunemente usate nella grafica computerizzabile sono le spline cubiche naturali, le spline cubiche ermite e le spline cubiche del Cardinale. Quindi, discuteremo di queste spline nei dettagli successivi.
L'altro tipo di curve di Spline sono chiamate linee di approssimazione qui. I punti di controllo sono utilizzati per definire uno scafo di confine o convesso, lo spline stesso non passa attraverso tutti i punti di controllo.
È invece limitato all'interno del limite definito dai punti di controllo. Prendete lo stesso esempio qui abbiamo 4 punti di controllo. Ma qui, la curva non passa attraverso i 4 punti di controllo, diversamente da precedenti in caso di spunti interpolanti, quello che sta accadendo qui è che questi punti di controllo stanno definendo una regione di bonding, un confine che si trova popolarmente scafo convesso, e la spline si trova all'interno di questo confine.
In altre parole, la forma Spline è determinata dalla convezione. Ora, ci sono poche righe comuni e popolari che approssimano le spole utilizzate nelle applicazioni, ovvero le curve di bezier di Cubic e le spole di Cubic B, di nuovo discuteranno di quelle successive. Ecco, questa è l'idea di base della spline.
Cos' è e cosa li rende buoni per rappresentare qualsiasi curva.
Quindi, quello che è è essenzialmente rappresentare una forma complessa in termini di polinomi più piccoli, gestibili, di grado inferiore o di pezzi polinomiali. Ed è in grado di rappresentare la Curva livellata perché le spline dovrebbero essere conformi alle condizioni di continuità. Ora, cerchiamo di capire come rappresentiamo la spline. Questo è lo stesso sapere come rappresentare gli oggetti che sono rappresentati dalle spline.
Come possiamo rappresentare le spline? Ci sono due modi, sostanzialmente uno è la base o la rappresentazione di funzione di miscelazione. Altro è la rappresentazione basata sulle metriche. E questi due sono equivalenti. Certo, questo è abbastanza ovvio e uno può essere convertito all'altro e viceversa.
Facciamo qualche esempio per capire la rappresentazione così inizierà con le metriche di base, la rappresentazione delle spline. E inizieremo con un semplice esempio. Consideriamo un polinomio di grado uno che è un polinomio lineare, che nella forma parametrica possiamo rappresentare come f u pari a a0 plus ua1. Ora a0, a1 sono coefficienti. E u è il parametro che dobbiamo tenere a mente qui che si tratta di una rappresentazione compatta. ai like a0, a1 rappresenta effettivamente i vettori che comprendono due componenti, uno ciascuno per le coordinate corrispondenti. Quindi, a0 in realtà ha a0x, a0y valori separati per le coordinate x e y.
Allo stesso modo, fu dovrebbe avere espressioni corrispondenti, ovvero fxu e fyu. Tuttavia per semplicità lavoreremo con questa forma compatta piuttosto che la forma espansa. Ora, questa equazione parametrica che possiamo rappresentare sotto forma di matrice U.A. Così, questo è un prodotto dot di due matrici, U e A. U sono le metriche dei parametri e A sono le metriche di coefficiente.
Dove U è denotato sotto forma di questo vettore 1, u e le metriche A sono denotate in questo modulo vettoriale di colonna. Avendo i due coefficienti a0, a1 nel nostro esempio. Ora, visto che si tratta di un polinomio di grado 1, quindi servono almeno due punti di controllo per determinare f. Cerchiamo di denotare quei due da p0 e p1.
Ora, questi punti che utilizzeremo per parametrizzare il polinomio, in altre parole, supponiamo che determinati valori di parametro e quindi questi punti di controllo, ad esempio, potremmo ipotizzare i punti di controllo denotano valori della funzione al limite in cui possiamo definire il limite come i punti in cui il parametro valori testo del valore 0 e 1.
Se è così, allora possiamo impostare il nostro sistema di equazioni come mostrato qui, due - equazione. Uno per p0, uno per p1 con il valore del parametro fisso. Ora, risolvendo queste equazioni possiamo ottenere i coefficienti.
Tuttavia, se guardiamo da vicino possiamo vedere che lo stesso sistema di equitazione possiamo rappresentare sotto forma di matrici. Ora, quello che è questa rappresentazione di matrice possiamo rappresentarlo come essere in grado di C.A. Dove p è definito un vettore di colonna C è definito come un altro vettore di colonna e A è definito come un altro vettore di colonna.
Così, come abbiamo costruito la matrice C, abbiamo preso i coefficienti di ai. Il che significa da a1 a un in quell' ordine. Quei termini in ogni equazione a partire dalla riga corrispondente della matrice C. Così, la prima equazione che abbiamo preso per la prima fila e così via. In altre parole, abbiamo imposto determinati vincoli. Le condizioni di parametrizzazione come vincoli per ottenere C. di conseguenza, C è chiamata matrice di vincolo. Ora sappiamo P uguale a C. A così possiamo dire che A pari a C-1.P. Ora, questo inverso della matrice costante si chiama matrice base. Così, possiamo rappresentare f come U.A che può essere spesa, come U.C-1.P o UBP. Ecco, questo è il modo di rappresentare f in termini di moltiplicazione di matrice. Ora, una cosa che dobbiamo notare qui è che la matrice base. Per un polinomio interpolare che soddisfi le condizioni di parametrizzazione è fisso. In altre parole, la matrice o la matrice di base caratterizzano univocamente il polinomio. Quindi, se usiamo la matrice base B invece dell'equazione polinomiale, allora questo è buono come rappresentare il polinomio perché B è fisso per il particolare polinomiale.
Ora, sappiamo che la spline è fatta di pezzi polinomiali. Ora, se ogni pezzo è fatto dello stesso tipo di polinomio, questo significa la laurea e i vincoli sono gli stessi. Quindi, quindi nel complesso, la Spline può essere caratterizzata in modo univoco da ogni pezzo. E visto che già abbiamo accennato che un pezzo polinomiale può essere caratterizzato dalla matrice base, allora la matrice base può essere utilizzata anche per caratterizzare univocamente l'intera spline. Quindi, quando rappresentiamo lo spline, possiamo semplicemente rappresentarlo in termini di matrice base.
Ora questa è la rappresentazione di matrice base dello spline. Quindi, per recap dato un polinomio, possiamo avere una matrice di base unica per quel polinomio sotto certi vincoli. Quindi, la matrice base è adatta a rappresentare il polinomio. Ora gli stessi pezzi polinomiali sono utilizzati per rappresentare una spline. Quindi, per ogni pezzo polinomiale, abbiamo le stesse metriche in modo da poter utilizzare una matrice di base singola per rappresentare la Spline complessiva, perché la matrice base ci dirà che particolari pezzi polinomiali sono utilizzati per rappresentare la spline. Questa è la rappresentazione di matrice base delle spline.
Questa spiegazione di cui abbiamo appena parlato, quindi la matrice base si riferisce a pezzi polinomiali di questa spline, stiamo ipotizzando che tutti i pezzi siano composti da uno stesso polinomio. Così, la matrice base polinomiale rappresenta l'intera spline. Ora, focalizziamo l'attenzione sull'altro tipo di rappresentazione spline, ovvero la rappresentazione della funzione di miscelazione. Ora, in precedenza, abbiamo visto che possiamo rappresentare f in termini di matrice base, come U.B.P. Ora, se allarmiamo il lato destro della mano, otteniamo la somma ponderata dei polinomi con i punti di controllo essendo i pesi. Così, nel nostro esempio lasciamolo ricavare e vedere cosa succede. Così, nel nostro esempio abbiamo un polinomio di grado 1 e abbiamo le matrici in questo da u è questa. B, è questo Matrix e C sono le metriche del punto di controllo. Ora se ci espandiamo, otterremo questa equazione in termini di controllo points.Now, i singoli polinomi nella somma ponderata, come il termine 1-u e u sono le funzioni di miscelazione. Quindi, la funzione complessiva è rappresentata come una somma ponderata di polinomi. E questi singoli polinomi sono chiamati la funzione base o le funzioni di miscelazione.
Ora, per un dato polinomiale, vengono fissate anche le funzioni di miscelazione in modo da poterle utilizzare per caratterizzare il polinomio. Quindi, per un dato polinomiale con vincoli, le funzioni che possono essere utilizzate per rappresentarlo sono fisse. Quindi, questo set di funzioni di miscelazione può essere utilizzato per caratterizzare il polinomio in modo da poter applicare qui la stessa logica. Spline composta da diversi pezzi dello stesso tipo polinomiale. Pertanto può essere rappresentato anche in termini di funzioni di miscelazione poiché caratterizzano univocamente i pezzi polinomiali costitutivi.
Così, in forma compatta, possiamo rappresentare una Spline o la curva f in questo modo dove pi è il punto di controllo i-esimo e bi è la funzione di miscelazione.