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Tecniche Di Ottimizzazione Vincolata

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Manageriale Economia Prof. Trupti Mishra S.J.M. School of Management Indian Institute of Technology, Bombay Lecture - 10

Ora, dopo ci muoveremo nella tecnica di ottimizzazione. Ora cos' è la tecnica di ottimizzazione, se sapete fino ad ora ne abbiamo parlato. Il rapporto tra variabili economiche, e abbiamo capito che come scoprire il rapporto tra due variabili; cioè attraverso la pendenza o attraverso il metodo calculus. Accanto arriveremo alla tecnica di ottimizzazione, e la tecnica di ottimizzazione è cosa. Ottimizziamo in modo tale che, stiamo ottenendo il risultato del desiderio o il desiderio di relazione tra la variabile economica.

Quindi, sostanzialmente si tratta di una tecnica di presa decisionale manageriale, massimizzando o minimizzando la funzione, generalmente questa tecnica di ottimizzazione viene utilizzata sia per massimizzare o per minimizzare la funzione, sia per la tecnica di trovare il valore di variabile indipendente che massimizza o minimizza il valore della variabile dipendente. Quindi, in sostanza dobbiamo massimizzare il valore della variabile indipendente o minimizzare il valore della variabile dipendente al fine di, capire che in modo particolare quelle due variabili sono correlate. Quindi, in genere quali sono i casi in cui si utilizzano queste tecniche di ottimizzazione; come a volte qualche azienda può essere interessata a trovare il livello di output che massimizza le entrate totali. Quindi, si sta sostanzialmente trovando il livello massimo di output, che massimizzi il loro gettito totale o il livello di output massimizzano le entrate totali. Alcune ditte che si trovano ad affrontare un prezzo costante possono voler trovare il livello di produzione che minimizzerebbe il costo medio.

Quindi, può essere un caso, dove l'impresa che si trova ad affrontare un prezzo costante, o che possa trovare un livello di produzione che minimizzi il loro costo medio. E se si guarda la maggior parte dell'azienda sono sempre interessati a scoprirla, quello che dovrebbe essere il livello di produzione che massimizza il loro profitto. Quindi, se si guarda a questo è l'obiettivo di base, obiettivo di base di qualsiasi azienda, al fine di comprendere il livello di produzione che massimizza il loro profitto. Così, vedremo come questa tecnica di ottimizzazione o quali sono le regole del pollice, o quali sono i diversi approcci o metodi diversi per utilizzare questa tecnica di ottimizzazione al fine di, per risolvere questo problema di decisione manageriale. Quindi, qui assumeremo una funzione, in sostanza ciò che massimizziamo; o massimizziamo il gettito totale, o minimizziamo il costo, perché l'obiettivo base è massimizzare il profitto, e la massimizzazione del profitto può avvenire; sia per massimizzazione del gettito totale che per la minimizzazione del costo totale, perché il profitto è uno, è solo la differenza tra il gettito totale e il costo totale.

Ora, quali sono le entrate totali, le entrate totali se si sa, poi le entrate totali questo è p Q, p è il prezzo e Q è la quantità richiesta. Supponiamo di assumere che p sia uguale a 500 meno 5 Q. Ora quali sono le entrate totali, le entrate totali sono 500 meno 5 Q moltiplicate per Q, quindi arriva a 500 Q meno 5 Q quadrato. Quindi, le entrate totali sono p Q, se il valore di p è di 500 e le entrate totali sono 500, 5 Q moltiplicato per Q, che arriva a 500 Q 5 Q quadrato. Ora, qual è il ruolo della tecnica di ottimizzazione qui o qual è il ruolo di, o come possiamo utilizzare questa tecnica di ottimizzazione qui sopra, al fine di massimizzare questo gettito totale. Quindi, qui il problema di ottimizzazione è, massimizzazione del gettito totale; le entrate totali sono p Q. Ora, quando questo gettito complessivo è massimo, le entrate totali sono massime, quando le entrate marginali sono pari a 0.

Quindi, il problema di ottimizzazione qui è quello di massimizzare il gettito totale, e quando le entrate totali sono massime, le entrate totali sono massime quando le entrate marginali sono pari a 0. Ora, scopriamo entrate marginali. Quindi, da questa funzione di gettito totale, se si prende il derivato del primo ordine, allora otteniamo la funzione delle entrate marginali. Quindi, primo ordine derivato la funzione delle entrate totali rispetto a Q; che ci darà la funzione delle entrate marginali. Quindi, se prendi questo, allora questo è 500 Q meno 5 Q quadrato. Dobbiamo prendere la parte di questo rispetto a q, quindi che arriva a 500 meno 10 Q. Ora, qual è la regola del pollice, la regola del pollice è quando le entrate marginali sono pari a 0, le entrate totali sono massime. Quindi, 500 meno 10 Q deve essere 0, se il gettito totale deve essere massimo. Ora, vediamo qual è il valore di Q, quando fissiamo ricavi marginali è pari a 0, e perché fissare entrate marginali è pari a 0, perché il principio economico di base dice che, se il gettito totale è massimo, allora le entrate marginali sono pari a 0.

Quindi, quali sono le nostre entrate marginali, le entrate marginali sono 500 meno 10 Q, che deve essere pari a 0, quindi questo è il nostro gettito marginale. Ora, se si risolva questo allora si arriva a Q è uguale a 50. Quindi, cos' è questo Q, quando il livello di uscita è pari a 50 unità, il gettito totale viene ingrandita. C'è la massimizzazione delle entrate totali quando Q è uguale a 50. Ora scopriremo quali sono i valori del gettito totale. Quindi, il nostro gettito totale is500 Q minus 5 Q quadrato. Quindi, se stai mettendo il valore di Q come 50; quello è di 550 quadrati di 5 di nuovo 50 in piazza. Quindi, questo arriva a 25000 meno 12500, quindi arriva a 12500. Quindi, il valore del gettito totale è di 12500. Si tratta del totale delle entrate totali per l'azienda. E per ottenere questo risultato il Q deve essere di almeno 50 unità al fine di massimizzare il gettito totale.

Ora, come possiamo controllare questo, che questo è l'importo massimo del gettito totale, quando il valore di Q è pari a 50, sappiamo che il gettito totale è di 12500, ma come verificare che questo 12500, sia il totale delle entrate totali per l'azienda, che sta affrontando una funzione di domanda; come p è uguale a, se ricordate questo è 500 meno 5 Q, come controllare questo. Ci prenderemo due diversi valore di Q per verificarlo. Porteremo Q è uguale a 51 e porteremo Q è uguale a 49. Quindi, se si prende Q è uguale a 51 e si mette il valore in T R; equazione totale delle entrate, cioè 500 Q meno 5 Q quadrato, otteniamo un valore di ricavi totali pari a 12495. Supponiamo che supponiamo che Q sia il livello di output, se non è il 50, se si produce sotto questo anche possiamo massimizzare il gettito totale. Quindi, suppitiamo che Q sia pari a 49, mettendo il valore di Q come 49 nella funzione di gettito totale; otteniamo un valore che è di 12495. Quindi, abbiamo 2 valori; uno se 51 e il secondo sono 49. Quindi, uno è su un lato più alto quando il livello di output aumenta, se ha variazioni del gettito totale, e secondo quando il livello di produzione diminuisce se ha qualche variazione del gettito totale, e qui abbiamo scoperto che se il Q aumenta o se la Q diminuisce, il gettito totale diminuisce.

Se si guarda alle entrate totali diminuiscono, perché questo è se quali sono le entrate totali quando Q è uguale a 50. Si può quindi concludere che il 50 è quel livello di produzione, dove il gettito totale è massimo di qualsiasi livello di produzione, oltre il 50 o meno del 50 sta mostrando una diminuzione delle entrate totali. Quindi, possiamo concludere che 50, quando il livello di produzione è di 50, il gettito totale è sempre massimo; in particolare quando la funzione della domanda è questa, e quando la funzione delle entrate totali è questa. Ora, ci prenderemo in caso di minimizzazione dei costi, perché il primo caso è la massimizzazione delle entrate, attraverso la massimizzazione delle entrate l'impresa può aumentare il profitto, e la seconda quando possiamo minimizzare il costo, di nuovo la differenza tra le entrate e il costo è di più e questo porta ad aumentare nel profitto, che è in linea con l'obiettivo di base di un'azienda, cioè la massimizzazione del profitto.

Quindi, prendiamo un caso di minimizzazione dei costi, in cui la situazione generalmente c'è la minimizzazione dei costi, in particolare quando l'azienda sta progettando di impostare una nuova unità produttiva. Vogliono sapere, qual è il costo medio minimo attraverso il quale possono impostare una nuova unità produttiva? Quando stanno progettando di espandere la loro abilità di produzione, stanno cercando il costo medio minimo attraverso il quale poter espandere la scala di produzione, o programmare per alzare il prezzo del prodotto come è effetto la domanda. Quindi, questi sono il caso, dove la tecnica dell'ottimizzazione dell'output è richiesta, riducendo al minimo il costo medio. Ecco allora qual è il problema di ottimizzazione, il problema di ottimizzazione è la minimizzazione dei costi. Prendiamoci una funzione di costo totale, qual è la funzione di costo totale qui. Supponiamo che questo sia 400 più 60 Q più 4 Q quadrato. La minimizzazione dei costi non è rispetto al costo totale, piuttosto rispetto al costo medio. Come trovare un costo medio da qui, il costo totale diviso per Q ci darà il costo medio.
Quindi, qual è il costo medio, questo è 400 diviso per Q, più 60 più 4 Q, questo è il nostro costo medio. Quindi, dobbiamo minimizzare il costo, per scoprire la differenza per essere più tra le entrate totali o il costo totale. Così, il primo caso quello che stiamo facendo, stiamo cercando di massimizzare le entrate totali per massimizzare il profitto. Ora quello che cercheremo di fare, cercheremo di minimizzare il costo, in modo che la differenza tra le entrate e i costi sia più elevata che porta ad un utile superiore. Quindi, in questo caso la minimizzazione non è legata al costo totale, piuttosto la minimizzazione è legata al costo medio. Ora quello che è il costo medio qui, il costo medio è il costo totale diviso per l'unità di uscita; cioè T C diviso per Q, pari a 400 da Q più 60 più 4 q.

Ora, qual è la regola della minimizzazione, la regola della minimizzazione è, il derivato deve essere pari a 0, se si ricorda nel caso precedente al fine di massimizzare la T R, la regola era che le entrate marginali devono essere pari a 0. Quindi, in questo caso di minimizzazione prendiamo sempre una regola del pollice per questo, che questo derivata di primo ordine rispetto al costo medio deve essere pari a 0. Quindi, dobbiamo scoprirla, il derivato del costo medio rispetto a Q, e che deve essere pari a 0. Ora scopriremo qual è il derivato del costo medio rispetto a q. Quindi, che arriva a meno 400 da Q square più 4 che è pari a 0. Quindi, questo è di nuovo 400 Q quadrato, che è uguale a meno 4; che porta a Q square, se si semplifica di nuovo, allora Q quadrato è uguale a meno 400 da meno 4, pari a 100. Quindi, se Q square è uguale a 100, quindi dobbiamo scoprire il livello di output qui.

Quindi, se Q quadrato è uguale a 100, allora Q è uguale a 10. Quindi, quando l'unità di uscita o quando il livello di uscita è di 10, questo è il livello ottimale di output dove il costo è minimo. Quindi, a questo livello di output, l'azienda minimizza il costo, e se ci guida il principio è sulla base della minimizzazione del costo, l'azienda dovrebbe seguire un livello di output pari a 10 unità al fine di minimizzare il costo. Quindi, quello che abbiamo controllato qui, viene utilizzata la tecnica di ottimizzazione, sia per massimizzare le entrate o minimizzare il costo. Così, abbiamo preso un problema di ottimizzazione che massimizza il gettito totale e lì la regola del pollice è stata quella di, massimizzando il gettito totale quando le entrate marginali sono pari a 0.

E abbiamo preso la seconda una seconda tecnica di ottimizzazione che è stata la minimizzazione del costo, e qui l'ottimizzazione del problema è quella di minimizzare il costo medio della produzione al fine di massimizzare il profitto. E qui la regola del pollice per minimizzare il costo, era quella di minimizzare il livello di uscita, e per questo è un primo ordine derivato del costo medio rispetto a Q deve essere di 0. In seguito abbiamo ottenuto il livello di output, e diciamo che questo è il livello di output, quello che l'azienda dovrebbe seguire per minimizzare il costo. Se si guarda a tutto lo studio aziendale, hanno un obiettivo comune. L'obiettivo comune per tutte le imprese aziendali è quello di massimizzare il profitto. Quindi, se si guarda indirettamente negli ultimi due casi, ultimi due problemi di ottimizzazione anche noi stiamo cercando di fare. Quindi, cerchiamo di fare in un caso, cerchiamo di massimizzare le entrate, in modo che il profitto possa essere di più, perché la loro differenza tra il gettito totale e il costo totale sarebbe di più, e il secondo caso minimizziamo il costo.

Così, che di nuovo la differenza tra il gettito totale e il costo totale può essere di più che massimizzerà il profitto. Ora, ci prenderemo un problema in cui massimizzeremo il profitto, piuttosto che massimizzare il gettito totale o minimizzare il costo. Vediamo come possiamo farlo prendendo una funzione di profitto. E il bisogno fondamentale per questo è se si guarda l'obiettivo o l'obiettivo dell'azienda è quello di massimizzare sempre il profitto. Quindi, ora assuma una funzione di profitto e qual è la funzione di profitto; cioè il pi è pari al totale delle entrate meno costo totale. Ci sono due condizioni per massimizzare il profitto; una è la condizione necessaria o quella di primo ordine, che dice che le entrate marginali dovrebbero essere pari al costo marginale. Questa è la prima condizione per la massimizzazione del profitto, e seconda condizione per la massimizzazione del profitto, è la condizione sufficiente o la condizione di secondo ordine che lo dice; il derivato del secondo ordine che è del quadrato T R e del quadrato di Q dovrebbe essere inferiore a quello del quadrato T C e del quadrato di Q.

Quindi, essenzialmente significa, la pendenza della funzione delle entrate marginali deve essere inferiore alla pendenza della funzione di costo marginale. Quindi, per massimizzazione del profitto, ci sono due condizioni; una è necessaria e la condizione di primo ordine; ovvero le entrate marginali pari al costo marginale. La seconda è la condizione sufficiente o la condizione di secondo ordine dove dice che; il secondo ordine derivato della funzione di gettito totale dovrebbe essere inferiore al secondo ordine derivato della funzione di costo totale, oppure in altra parola la pendenza delle entrate marginali dovrebbe essere inferiore alla pendenza del costo marginale. Quindi, prendiamo una funzione di profitto per capire, che come il profitto è massimizzato, e come la condizione di primo ordine e di secondo ordine viene soddisfatta quando il profitto viene ingrandita.

Quindi, prenderemo una funzione che è ricavi totali, pari a 600 Q meno 3 Q quadrato. Quindi, cosa sono le entrate marginali, le entrate marginali sono un derivato del primo ordine di questo. Quindi, questo arriva a 600 meno 6 Q. Poi ci prenderemo una funzione di costo totale, la funzione di costo totale è di 1000 più 100 Q più 2 Q quadrato, qual è la funzione di costo marginale. Il primo ordine derivato della funzione di costo totale. Quindi, che arriva a 100 più 4 Q. Ora, qual è il primo ordine o la condizione necessaria? Le entrate marginali dovrebbero essere pari al costo marginale. Questa è la condizione di primo ordine o condizione di necessità quali sono le nostre entrate marginali che sono 600 meno 6 Q è uguale a, qual è il nostro costo marginale, 100 più 4 q. Quindi, se si semplifica questo è 6 Q meno 4 Q è meno 600 più 100. Quindi, meno 10 Q è uguale a meno 500 e Q è uguale a 50. Quindi, l'esito della prima condizione di ordine è, abbiamo scoperto il livello di output; cioè Q è uguale a 50. Ora qual è la condizione di secondo ordine, la condizione di secondo ordine è quella. Il derivato del secondo ordine della funzione delle entrate totali deve essere inferiore al secondo ordine derivato della funzione di costo totale.

Ora, vediamo se, in particolare in questo modulo funzionale, se stiamo adempiendo alla condizione di secondo ordine o meno. Quindi, la condizione di secondo ordine è del quadrato T R, del quadrato di Q uguale a del M R rispetto a q. Quindi, questo è meno 6 del quadrato T C del quadrato di Q. Quindi, questo è del M C rispetto a del Q che è uguale a 4 Così, se si guarda, questo è meno di questo, e se la somma di entrambi è inferiore anche a 0. Quindi, questo è del quadrato T R del Q quadrato meno del quadrato T C, del quadrato di Q c'è anche meno di 0. Quindi, sappiamo che, la seconda condizione di ordine viene soddisfatta. Quindi, lo sappiamo, il profitto è massimo quando le condizioni necessarie si ottengono; cioè Q è uguale a 50. Di nuovo possiamo fare un controllo casuale nel modo in cui lo abbiamo fatto per l'altro problema di ottimizzazione; che si prenda qualsiasi livello di output che sia superiore a 50 o inferiore a 50. Per capire, che si tratti del livello di output, che in realtà massimizzano il profitto o meno.

Quindi, prendendo Q è uguale a 50, otteniamo il gettito totale che è pari a 22.500 mettendo il valore di Q, otteniamo il costo totale che è pari a 11.000. Quindi, in questo caso, il profitto è del 11500. Supponga che tu prenda un valore Q è uguale a 51 e Q è uguale a 49. Nel primo caso l'utile è pari a 11.495 e secondo caso l'utile è pari a 11.495. Così, possiamo concludere qui che dato che la condizione di primo ordine viene soddisfatta, il profitto è massimo quando Q è pari a 50, perché quando aumentiamo il livello di produzione da 50 a 51, il profitto è minore; e quando diminuiamo il livello di produzione da 50 a 49 ancora il profitto è minore. Quindi, possiamo dire che, Q è quel livello di output che massimizza il profitto. Quindi, fino ad ora stiamo prendendo il problema dell'ottimizzazione e stiamo massimizzando le entrate o il profitto o minimizzando il costo senza vincoli. Quindi, prossima classe, introdurremo i vincoli, poi vedremo come utilizzare questa tecnica di ottimizzazione, al fine di risolvere per la massimizzazione del profitto o per la minimizzazione dei costi.


Manageriale Economia Prof. Trupti Mishra S. J. M School of Management Indian Institute of Technology, Bombay Lecture -11

Così, continueremo la nostra discussione sul rapporto tra diverse variabili economiche, data una quantificazione o attraverso diversi metodi grafici o l'equazione matematica. Quindi se ricordate nell'ultima classe, abbiamo iniziato la discussione sulla derivata di varie funzioni, come risolvere le varie funzioni. Poi introduciamo la tecnica di ottimizzazione, dove abbiamo fatto due tipi di ottimizzazione; una è la massimizzazione delle entrate o la massimizzazione del profitto, e la seconda è la minimizzazione del costo. Quindi, ogni volta che stiamo facendo questa tecnica di ottimizzazione, o si tratta di una massimizzazione o si tratta di un problema di minimizzazione, non abbiamo considerato il caso di un vincolato e semplicemente ottimizziamo la massimizzazione di una funzione di profitto o semplicemente ottimizziamo la minimizzazione di una funzione di costo.

Così, oggi discuterò la tecnica di ottimizzazione con un vincolato, sia sotto forma di reddito, sia sotto forma di costo, quando si tratta di costare, e poi si arriva alle entrate, o la sua massimizzazione o è una minimizzazione del costo.

Quindi, in caso di ottimizzazione vincolata, si tratta di una tecnica utilizzata per il raggiungimento di un target in condizioni o condizioni vincolate, viene chiamata ottimizzazione vincolata. Quindi, potrebbe essere la motivazione per l'ottimizzazione rimane lo stesso. Sta raggiungendo un obiettivo, sia per massimizzare il profitto o minimizzare il costo, e ma qui la differenza è che c'è un vincolato insieme alla funzione oggettiva, e come fare questa ottimizzazione vincolata? Generalmente si discute di due tipi di tecnologia, parleremo della tecnica di sostituzione, e più avanti prenderemo il metodo del moltiplicatore Lagrangiano.

Quindi, prendendo la tecnica di sostituzione, può essere applicata al problema della massimizzazione del profitto o può essere per la minimizzazione dei costi. Per una massimizzazione del profitto, una della variabile espressa in termini di altre variabili, e risolvere l'equazione di vincolo per ottenere il valore di una variabile. Supponiamo che ci siano due variabili x e y, quindi il modo migliore per risolverlo attraverso la tecnica di sostituzione, è quello di rappresentare una variabile con l'altra variabile, e poi si risolve per quella variabile, e infine si sostituisce il valore di una variabile, in termini di ciò che si è risolto con l'altra variabile. E qui il valore si ottiene si sostituisce nella funzione oggettiva, che viene ingrandita, o si risolva per ottenere il valore delle altre variabili. Quindi, qualunque sia il valore ottenuto sostituendo, sarà nuovamente sostituito nella funzione oggettiva, che viene ingrandita e si risolva per ottenere il valore per l'altra variabile.

Così, vedremo come utilizziamo questa tecnica di sostituzione in caso di un problema di ottimizzazione degli utili, e in caso di una minimizzazione dei costi. E come questo sia diverso per la minimizzazione dei costi; potrebbe essere di nuovo il metodo stesso. L'equazione vincolata è espressa in termini di uno qualsiasi di questi due beni delle variabili, e l'equazione si ottiene dal passo uno, si sostituisce nella funzione oggettiva. Quindi, che si tratti di una funzione di costo, che si tratti di una funzione di profitto, la regola di base per questa tecnica di sostituzione, è che abbiamo espresso una variabile in termini di altre variabili. Otteniamo il valore di una variabile, e infine di nuovo sostituiamo alla funzione oggettiva. Quindi, faremo solo un esempio, come generalmente facciamo l'ottimizzazione vincolata, insieme al vincolato con la funzione oggettiva, se la funzione oggettiva è una massimizzazione del profitto o se la funzione oggettiva è la minimizzazione dei costi?

Quindi, ci prenderemo un caso di massimizzazione del profitto prima; e in caso di massimizzazione del profitto, massimizzeremo il profitto. Quindi, qui il profitto è pari a 100 x meno 2 x quadrato meno x y più 180 y meno 4 y quadrato. Questa è la funzione di profitto, e il profitto, qui il problema di ottimizzazione è la massimizzazione del profitto. Dato che stiamo dicendo che questo è il caso di un'ottimizzazione vincolata, c'è anche un vincolo collegato a questo, e il vincolo è nella forma x plus y è pari a 30. Quindi, ora qual è il problema dell'ottimizzazione? Il problema di ottimizzazione è, la massimizzazione della funzione di profitto, rispetto al vincolo, cioè x plus y pari a 30. Ora, come faremo, il primo passo è che esprimeremo x nel termine y o possiamo esprimere y a termine x. E dopo l'ottenimento del valore di x o y, di nuovo sostituiremo questo valore di x e y nella funzione di profitto. Così, ora vedremo, sostituiamo il valore di x e y, prima di convertirsi in un altro termine, o potrebbe essere il problema di massimizzazione del profitto.

Quindi, supponiamo che x plus y sia uguale a 30. Quindi, questo può essere scritto come x è uguale a 30 meno y. Quindi, in questo caso x, rappresentiamo in termini di y, oppure y può essere 30 meno x. Così, sostituendo il valore di x e y nell'equazione del profitto ciò che possiamo ottenere; pi è pari a 100, ha cento x, quindi x stiamo rappresentando nel termine y. Quindi, questo è 30 meno y, più 2, 30 meno y quadrato, perché era quadrato 2x, meno 30 meno y, perché era x y, più 180 y meno 4y quadrato. Quindi, se si guarda alla funzione di profitto ora, tutti i termini in termini di y, qui non c'è x qui nel caso della funzione di profitto.
Ora di nuovo, se semplificherà questo, allora questo arriva a 1200 più 170 y meno 5 y square. Quindi, quello che abbiamo fatto, il primo passo è questo, dove rappresentiamo x nel termine y. Ora sostituendo il valore di x sotto forma di y nell'equazione del profitto, che dà l'equazione del profitto, pari a 1200 più 170 y meno 5y quadrato. Ora, per scoprire il valore di y quello che dobbiamo fare. Dobbiamo prendere la derivata di pi rispetto a y, e che dobbiamo fissare pari a 0. Quindi, se state prendendo questo, allora questo arriva come il derivato del primo ordine, perché per qualsiasi regola di minimizzazione di massimizzazione per ottenere il valore, sempre il derivato del primo ordine deve essere pari a 0.

Quindi, dell pi di dell y è pari a 0, che è come 1200 più 170 y meno 5 y quadrato, pari a 0. Ora risolvi questo, questo ti darà 170 meno 10 y che è uguale a 0, oppure può essere meno 10 y è uguale a meno 170, e y è uguale a 17. Ora, quello che è il nostro x, x è uguale a 30 meno y. Quindi, questo è uguale a 30 meno 17, pari a 13. Quindi, otteniamo un valore y pari a 17. Otteniamo un valore di x pari a 13. Ora, mettendo il valore di y e x nella nostra equazione del profitto, otteniamo profitto che è pari a 2800. Ecco, qui come massimizziamo il profitto rispetto ad un costo vincolato, e rispetto a un valore di x e y. Il primo passo è sempre quello di rappresentare una variabile a termine dell'altra variabile. Così, in questo caso quello che abbiamo fatto, abbiamo rappresentato x nel termine y.

E dopo rappresentare il valore di una variabile in termini di altre variabili; poi mettiamo il valore nella funzione oggettiva. Quindi, se ricordate nella slide precedente quello che vi ho mostrato, rappresentiamo la funzione di profitto solo in termini di variabile y. Poi dopo aver ottenuto la funzione di guadagno abbiamo preso il primo ordine derivato uguale a 0, per ottenere il valore di y, e attraverso di questo abbiamo ottenuto il valore di y che è pari a 17, e da lì abbiamo ottenuto il valore di x, pari a 13. Mettendo con un valore di x e y nella funzione di profitto originale otteniamo un utile che è pari a 2800. Quindi, per tecnica di sostituzione seguendo i due passi abbiamo ottenuto il profitto, abbiamo ottenuto il valore di x e abbiamo ottenuto il valore di y. Ora, vedremo attraverso la tecnica di sostituzione, come possiamo fare un problema di minimizzazione dei costi.

Ecco allora qual è il problema dell'ottimizzazione, il problema dell'ottimizzazione è quello di minimizzare il costo totale. Ora, quello che è costo totale, prendiamoci il costo totale è pari a 2 x quadrato meno x y plus 3y quadrato. Ora, lo studio qui qual è il vincolato. L'azienda deve ottenere una 36 unità di x e y come ordine di combinare, ora qual è la combinazione ottimale. La combinazione ottimale è quella di, qual è quello che dovrebbe essere il costo minimo per produrre questa 36 unità di x e y. Quindi, in questo caso, quale dovrebbe essere il vincolato? Il vincolato è di nuovo, se si guarda x plus y è uguale a 36. Quindi, il problema di ottimizzazione è quello di minimizzare il costo totale rispetto a, o può essere soggetto a, x plus y è pari a 36.
Ora, seguendo la tecnica di sostituzione, qual è il primo passo. La prima fase dobbiamo rappresentare una variabile a termine dell'altra variabile. Quindi, x è uguale a 36 meno y, perché se si ricorda la tecnica di sostituzione del primo passo rappresenta sempre una variabile a termine dell'altra variabile. Quindi, qui x è uguale a 36 meno y. Ora, mettendo il valore di x nell'equazione dei costi 2 x quadrato. Quindi, questo è 2 36 meno y square, x e y. Quindi, questo è 36 meno y, y più 3 y square. Quindi, questa è 3 y square. Quindi, se si semplifica ancora questo, questo arriva a 2592 meno 180 y più 6 y square. Così, dopo aver messo il valore di x nella funzione di costo in termini di y, otteniamo una funzione di costo totale pari a 2592 180 y più 6 y square. Ora, per ottenere il valore di y; e per ottenere la combinazione ottimale o il costo ottimale, cosa dobbiamo fare? Dobbiamo prendere il primo ordine derivato della funzione di costo totale, rispetto alla y e dobbiamo impostarlo pari a 0, al fine di ottenere il valore di y.

Quindi, ora dobbiamo prendere un derivato, il derivato del primo ordine di 2592 meno 180 y più 6 y quadrato, e questo deve essere pari a 0. Quindi, se si fa così, allora otteniamo il valore 180 più 12 y; che è uguale a 0, che si semplifica ulteriormente, poi è meno 12 y è uguale a meno 180, e y è uguale a 15. E se è y è uguale a 15; poi x è uguale a 36 meno y, pari a 21. Quindi, y è uguale a 15, x è uguale a 21. Ora questa è la combinazione ottimale, l'azienda dovrebbe produrre 15 unità di y e 21 unità di x, e questa è la combinazione ottimale per l'azienda. Ora, qual è il prossimo miglior compito per noi? Il prossimo compito migliore per noi è quello di, se produrre questa combinazione, l'azienda sta incorrendo il costo minimo di produzione, o quale dovrebbe essere il costo minimo per produrre questa combinazione. Quindi, per questo che dobbiamo fare, dobbiamo mettere il valore di y, dobbiamo mettere il valore di x nell'equazione dei costi e dobbiamo scoprire il costo minimo. Allora, qual era la nostra equazione dei costi?

L'equazione dei costi è di 2 x quadrato meno x y più 3 y square. Così, mettendo il valore di x è uguale a 21, e y è uguale a 15, questo arriva a 882 meno 315 più 675, pari a 1242. Quindi, questo è il costo minimo quello che l'azienda incurva, al fine di produrre 15 unità di y e 21 unità di x, quindi qual è il problema di ottimizzazione qui. Il problema di ottimizzazione qui è quello di, minimizzare il costo con un vincolato, che a qualsiasi costo l'azienda deve produrre 36 unità di entrambe le merci; cioè x e y. Ecco, questa è la combinazione ottimale per l'azienda, e questo è il costo minimo per produrre la combinazione ottimale dell'azienda. Successivamente, vedremo il secondo metodo per questa ottimizzazione vincolata, e questo è il metodo di moltiplicatore lagrangiano.

Quindi, a parte la tecnica di sostituzione, la tecnica più utilizzata o forse la tecnica più utilizzata per fare un'ottimizzazione vincolata è sempre un metodo di moltiplicatore lagrazzato. Quindi, quello che è il metodo di moltiplicatore lagrigiano, è di nuovo uno di tipo di metodo per risolvere l'ottimizzazione vincolata, e implica combinare sia la funzione oggettiva che l'equazione vincolata, e risolvere utilizzando i metodi derivati parziali. In sostanza, prende il derivato parziale rispetto sia alle variabili, che poi ottiene il valore di x e y, e ottenendo il valore di x e y, massimizza il profitto o minimizza il costo. Così, vedremo come funziona per il metodo Lagrangiano.

Facciamo un caso di massimizzazione del profitto. Supponiamo, l'equazione del profitto è, cento x meno 2 x quadrato meno x y, più 180 y meno 4 y quadrato, sempre soggetto a x plus y è uguale alla 30.The stessa equazione di profitto ciò che abbiamo preso per la tecnica di sostituzione, e lo stesso vincolato quello che prendiamo per y usando il metodo della tecnica di sostituzione. Quindi, x plus y è 30; questo è vincolato, e il profitto è quello che prendiamo per il metodo di sostituzione. Ora, come è diverso dall'altro metodo. In caso di altro metodo sostituiamo il valore di x e x per y o y per x, qui non lo faremo; piuttosto useremo un metodo derivato parziale, per risolvere questo problema di massimizzazione del profitto. In questo caso quello che facciamo, quindi x plus y è uguale a 30. Quindi, qui troveremo un'altra variabile; ovvero x plus y minus 30 è uguale a 0, e la lambda x plus y minus 30. Ora, ripercorremo la funzione oggettiva utilizzando l', aggiungendo un moltiplicatore lagrangiano qui sopra. E qual è il moltiplicatore Lagrangiano qui; ovvero lambda x plus y minus 30, questo è l'altro termine quello che stiamo ottenendo qui.

Allora, qual è la nostra nuova funzione di profitto? Nuova funzione di guadagno è di 100 x meno 2 x quadrato, meno x y plus 180 y, meno 4 y quadrato. Questa è la nostra funzione di profitto originale, insieme a quella che aggiungiamo un moltiplicatore Lagrangiano; cioè lambda x plus y minus 30. Quindi, se si guarda, ora il vincolato anche noi abbiamo aggiunto nella funzione oggettiva. Ecco, questa è la nostra funzione Lagrangiana. La funzione Lagrangiana arriva