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Fondations de la cryptographie Prof. Dr. Ashish Choudhury (ancienne) Infosys Foundation Career Development Chair Professor International Institute of Information Technology – Bangalore Lecture – 25 Information – Theoretic MACs Hello everyone, welcome to lecture 23. Namely messag Ce que nous allons faire est maintenant que nous allons voir une construction candidate basée sur la théorie de groupe et l'arithmétique de champ fini. Alors, voyons d'abord la définition du groupe abélien. Alors, qu'est-ce qu'un groupe abélien? Donc un groupe se compose essentiellement d'un ensemble qui peut être fini ou infini, il a un certain nombre d'éléments et avec ce jeu vous avez une opération o et nous disons que l'ensemble avec l'opération o constitue un groupe si les propriétés suivantes sont satisfaites. La première propriété est la propriété de fermeture qui stipule que si vous prenez deux éléments du groupe, dites a et b et effectuez l'opération de groupe o ces deux éléments, alors le résultat doit à nouveau être un membre du groupe et c'est pourquoi la propriété de fermeture du nom. Cela signifie qu'en effectuant l'opération un peu sur deux éléments de groupe, vous n'allez pas à l'extérieur ou vous n'obtiendrez pas un élément qui se trouve à l'extérieur du groupe. Vous obtiendrez toujours un élément qui appartient au groupe. C'est pourquoi la propriété de fermeture de nom. La deuxième propriété que nous avons besoin de l'ensemble et de l'opération o est la suivante. Il est appelé propriété de l'associativité et qui exige essentiellement que si vous prenez 3 éléments a, b, c du groupe à droite, alors il n'est pas important que vous effectuez l'opération de groupe sur a et b, puis après en effectuant l'opération de groupe sur c. Vous obtiendrez la même réponse si vous effectuez d'abord l'opération de groupe sur b et c et que vous effectuez l'opération de groupe sur le résultat sur l'élément a. Cela signifie que l'opération o satisfait la propriété d'associativité. La troisième propriété dont nous avons besoin est l'existence d'un élément d'identité, c'est-à-dire qu'il devrait exister un élément unique que nous dénotent comme l'appartenance à l'ensemble qui satisfait une propriété magique. Il doit satisfaire à la condition que si vous prenez un élément à partir du groupe et si vous effectuez l'opération de groupe ou l'opération o sur l'élément a et sur l'élément e, vous devez récupérer l'élément a et c'est pourquoi nous appelons cet élément spécial e comme élément d'identité. Cela signifie que vous effectuez cette opération o avec e et n'importe quel élément du groupe, vous finira par récupérer l'élément a. La propriété suivante que nous avons besoin de l'ensemble et de l'opération o est la suivante. Nous avons besoin qu'il existe pour chaque élément a de l'ensemble, il devrait exister un élément spécial que nous dénotent comme une inverse ou une augmentation de puissance -1 de telle sorte que si vous effectuez l'opération o sur l'élément a et cet élément a-1, vous devez récupérer l'élément d'identité. Alors j'insiste sur le fait que même si nous utilisons la notation une augmentation de puissance moins -1, numériquement elle n'est pas égale à 1/a parce que nous sommes en train de construire où nous traitons réellement l'ensemble en termes abstrais. Cela signifie que votre ensemble pourrait être composé de n'importe quel type d'élément, il ne doit pas être des nombres ou des entiers, ou ainsi de suite, il pourrait être composé de vecteurs, de matrices, etc. Ne vous confondu donc pas qu'un à la puissance -1 signifie la valeur numérique 1 / a, il ne s'agit que d'une notation. Ce que nous demandons en gros, c'est que si vous prenez un élément candidat à partir de l'ensemble G, alors correspondant à ce que vous devriez également avoir un élément candidat de l'ensemble G lui-même que je dénote par cette notation a-1 de telle sorte que si vous effectuez l'opération o sur l'élément a et sur cet élément spécial a -1, vous devriez récupérer l'élément d'identité, à droite. Donc si mon set G avec l'opération o satisfait ces 4 propriétés, alors je dis que G, o est un groupe et en haut de ces 4 propriétés si mon ensemble G avec l'opération o satisfait une condition supplémentaire, à savoir celle de la propriété commutativité qui exige que pour n'importe quelle paire d'éléments a, b de l'ensemble G, il importe peu que vous effectuiez l'opération sur a et b ou sur b et a, vous obtenez la même réponse, alors ce groupe spécial est appelé comme un groupe abélien. Donc en l'absence de propriété commutative, ce que nous obtenons est un groupe, mais en plus, si le groupe satisfait également la propriété de la commutativité, alors le groupe est appelé comme un groupe abélien, à droite. C'est donc la définition d'un groupe abélien abstrait. Maintenant, voyons quelques exemples de candidats pour un groupe abélien. Donc si vous considérez un ensemble d'entiers que je dénote par Z qui est un ensemble infini et si je prends l'opération plus à savoir l'addition entière. Donc mon opération o dans ce cas est plus et mon ensemble n'est rien sauf Z, puis l'ensemble d'entiers avec l'addition entière satisfait la propriété de fermeture, la propriété de l'associativité, l'existence de l'identité, l'existence de la propriété inverse et commutative. Tu peux le vérifier, pas vrai. Laissez-nous vérifier la propriété de fermeture. Si vous prenez deux entiers et que vous les ajoutez numériquement, vous obtiendrez à nouveau un entier, de sorte que la fermeture est satisfaite. Il est facile de vérifier que l'addition d'entier d'opération satisfait la propriété d'associativité Comme il n'est pas important que vous ajoutez un et b d'abord et suivi par l'ajout de c, vous obtenez la même réponse que celle que vous avez en effectuant l'ajout de b et c en premier, puis en ajoutant la réponse à un, donc la propriété d'associativité est satisfaite. L'élément 0 appartenant à l'ensemble d'entiers constitue votre élément d'identité car un + 0 pour chaque entier a est de vous remettre l'élément a et pour chaque élément a ou pour chaque entier a, vous avez l'entier correspondant -a également appartenant à l'ensemble d'entiers de telle sorte qu'a + -a va vous donner l'élément d'identité à savoir: 0. Et il est facile de vérifier que pour les deux entiers a et b, a + b est identique à b + a, donc la propriété de commutativité est également satisfaite. Cela signifie que l'ensemble des entiers Z avec l'opération plus satisfait tous les 5 axiomes que j'ai besoin d'un groupe abélien et c'est pourquoi l'ensemble des entiers avec l'opération d'addition d'entier constitue un groupe abélien candidat d'accord. Nous avons donc vu un exemple de groupe abélien. Maintenant, voyons si l'ensemble des nombres naturels que je dénote par N avec l'opération plus constitue un groupe ou non. Donc il satisfait la propriété de fermeture, si vous prenez deux nombres naturels et l'ajouter, vous obtiendrez un nombre naturel, l'opération d'addition satisfait la propriété de l'associativité par rapport à l'ensemble des nombres naturels. Le problème ici est que vous n'avez pas l'élément d'identité juste parce que vous n'avez pas l'élément 0 présent dans l'ensemble N, donc cet axiome n'est pas satisfait et il s'avère que chaque nombre naturel n'a pas d'inverse dans l'ensemble des nombres naturels. Donc si vous prenez par exemple l'élément 2, son inverse devrait être idéalement -2. S

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