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Module 1: Mesures de dispersion et distribution normale

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Ecart type et ses propriétés

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Ecart typeEcart type est la meilleure mesure de dispersion. L'écart-type est également connu sous le nom de déviation carrée moyenne.
 
L'écart-type est la racine carrée positive de la moyenne des écarts carrés pris à partir de la moyenne arithmétique ou plus simplement, la racine carrée de la variance. WOW ! ! Voyons si nous pouvons simplifier ça ! !
 
L'écart type peut être représenté par l'abréviation S, sd ou sigma.
 
La formule est sigma = + sqrt { frac { 1 } { n } sum (x_i-overline { x }) ^ 2 }, où x_i sont les valeurs de données, overline { x } est la moyenne ou la moyenne, et n est le nombre de données.
 
Propriétés
Si toutes les observations supposées par une variable sont constantes, l'écart type est égal à zéro. L'écart type n'est pas affecté en raison du changement d'origine mais est affecté par un changement d'échelle.Examinons des exemples illustrant les deux méthodes de traitement des données.
 
Exemple 1: Une grande école primaire métropolitaine a 8 classes de maternelle avec des inscriptions du nombre d'élèves suivant: 16, 18, 19, 20, 22, 22, 23 et 25. Recherchez l'écart type.
 
Solution:
1. Recherchez la moyenne: overline { x } = frac { 16 + 18 + 19 + 20 + 22 + 22 + 23 + 25 } { 8 } = frac { 165 } { 8 } = 20.625
 
2. Regardons la table dont nous aurons besoin pour le problème: Répertoriez les données dans la colonne de gauche, la moyenne dans la deuxième colonne, leur différence dans la troisième colonne et le carré de cette différence dans la dernière colonne.
 
 
3. Pour rechercher la variance, recherchez la somme des valeurs dans la dernière colonne, puis divison par le nombre de valeurs de données.
text { Var } = frac{ sum (x_i-overline { x }) ^ 2 } { n } = frac { 21.3906 + 6,8906 + 2,6406 + 0,3906 + 1,8906 + 1,8906 + 5,6406 + 19,1406 } { 8 }
= frac { 59.8748 } { 8 } = 7.48435
4. Pour trouver l'écart type, prenez la racine carrée positive de la variance.
sigma = + sqrt { text { Var } } = + sqrt { 7.48435 } = + 2.800
Parfois, nous aurons des valeurs dans notre ensemble de données qui apparaissent plusieurs fois. Plutôt que de construire une table où chaque élément de données a sa propre ligne, nous pouvons condenserons le tableau en tenant compte de la fréquence avec laquelle certaines entrées de données apparaissent.
Exemple 2: Recherchez l'écart type pour le jeu de données: { 14, 12, 20, 12, 20, 20, 14, 18, 20, 12, 18, 15, 12, 20, 14 }
Solution: Il peut être plus facile de démarrer en commandant les données: { 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 15, 18, 18, 20, 20, 20, 20, 20 }1. Recherchez la moyenne: overline { x } = frac { 4 (12) + 3 (14) + 15 + 2 (18) + 5 (20) } { 15 } = frac { 241 } { 15 } = 16,0 overline { 666 } approx 16,07
2. Regardons la table dont nous aurons besoin pour le problème. Bien qu'il y a 15 valeurs, nous remarquons qu'il y a beaucoup de doublons.
Par conséquent, nous allons condenserons la table en tenant compte de la fréquence de chaque entrée différente.
x_i f overline { x } x_i-overline { x } (x_i-overline { x }) ^ 2 f (x_i-overline { x }) ^ 212
4
16,07
-4.07
16,5649
66,2596
14
3
16,07
-2,07
4,2849
12.8547
15
1
16,07
-1,07
1,1449
1,1449
18
2
16,07
1,93
3,7249
7,4498
20
5
16,07
3,93
15,4449
77,2245
3. Pour rechercher la variance, recherchez la somme des valeurs dans la dernière colonne, puis divison par le nombre de valeurs de données. N'oubliez pas de diviser par 15, le nombre de morceaux de données, pas 5, le nombre de lignes !
text { Var } = frac{ sum (x_i-overline { x }) ^ 2 } { n }
= frac { 66.2596 + 12.8547 + 1,1449 + 7,4498 + 77.2245 } { 15 }
= frac { 164.9335 } { 15 } = 10,9955
4. Pour trouver l'écart type, prenez la racine carrée positive de la variance.
sigma = + sqrt { text { Var } } = + sqrt { 10.9955 } approx +3,3159