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Module 1: Sigma Notation et Large Summations

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Sigma Notation et ses lois

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Sigma Notation"Sigma notation" est un moyen pratique d'écrire des sommes importantes. Elle implique une variable qui est présente à chaque terme et dont la valeur (un entier) augmente toujours de 1.
 
Par exemple, la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 peut être écrite à l'aide de la variable m et notant que m passe de 1 à 100, par incréments de 1.
 
La commande permettant d'ajouter ces termes est écrite sum_ { m= 1 } ^ { 100 } m.
 
Les nombres sous et au-dessus du sigma en capital nous indiquent où commencer et où s'arrêter.
 
L'expression en termes de m en regard du sigma décrit le type de termes en cours d'ajout.
 
Pour ajouter les 10 premières carrés, c'est-à-dire la valeur 1 + 4 + 9 + … + 100, nous écrivons sum_ { m= 1 } ^ { 10 } m ^ 2.
 
Pour ajouter les 10 premiers cubes, c'est-à-dire la valeur 1 + 8 + 27 + … + 1000, nous écrivons sum_ { m= 1 } ^ { 10 } m ^ 3. J'espère que vous voyez la différence.
 
Dans les deux cas, on nous dit de commencer à 1 et de finir à 10. Mais le premier sigma implique m ^ 2 parce que nous ajoutons des carrés. Le second sigma implique m ^ 3car nous ajoutons des cubes.
 
Nous pouvons devenir plus fantaisie ! Supposons que vous souhiez indiquer la somme des valeurs réciproques des 100 premiers nombres. Simple ! Ecrire sum_ { m= 1 } ^ { 10 } frac { 1 } { m }.
 
Maintenant, supposons que vous êtes m-phobic et que vous souhaitez utiliser une autre lettre. Vous pouvez modifier sum_ { m= 1 } ^ { 10 } frac { 1 } { m } en sum_ { k= 1 } ^ { 10 } frac { 1 } { k } sans modifier la signification.
 
Vous pouvez même aller en grec et écrire sum_ { alpha = 1 } ^ { 10 } frac { 1 } { alpha }. La réponse finale n'implique pas la lettre que vous utilisez dans l'expression sigma.
 
 
La notation Sigma peut être utilisée pour les sommes impliquant des sous-scripts (les petits nombres ou les lettres écrits plus bas que les lettres auxquelles ils appartiennent).
 
Dans les statistiques, une collection de 100 scores peut être écrite x_1, x_2, ...., x_ { 100 }, où le sous-script indique la partition que nous avons.
 
Si nous voulons la moyenne de ces 100 scores, nous pouvons l'écrire sous la forme frac{ sum_ { k= 1 } ^ { 100 } x _ k } { 100 }.
 
Le numérateur est la somme des scores. Le dénominateur est le nombre de scores, à savoir 100.
 
 
 
 
Voici trois lois importantes impliquant la notation sigma. Etant donné qu'une expression sigma est une somme, les raisons de ces lois seront claires (pour moi !).
 
Nous représentons une somme sigma par sum_ { i= 1 } ^ n f (i) car l'expression à addier est généralement une fonction de l'index factice, i, comme i ^ 2 ou i ^ 3.
 
Pour enregistrer la frappe, nous allons laisser "i= 1" sous le sigma et le ‘ n ’ dessus dans les deux premières puces. Je pense qu'il a fallu plus de temps pour écrire la dernière phrase !
sum [ f (i) pm g (i) ] = sum f (i) pm sum g (i)On dirait que nous distribuons sigma. En fait, nous changeons simplement l'ordre dans lequel nous ajoutons (ou soustrayez) les termes de la somme.
sum [ ccdot f (i) ] =csum f (i) Ceci dit que nous pouvons “ extraire ” un facteur commun, c.
sum_ { i= 1 } ^ n C= nCCeci dit que le terme constant C est ajouté n fois dans l'expression sigma.