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Transformations en 3D

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Bonjour et bienvenue à la conférence numéro 12 dans le cours. Donc, comme vous pouvez le rappeler, discuter du pipeline graphique, et comme nous le faisons pour les derniers cours, nous allons commencer par avoir un examen des étapes du pipeline afin que nous puissions nous en souvenir mieux.Ainsi, il y a 5 étapes dans le pipeline graphique, la première étape est la représentation des objets, la deuxième étape est la modélisation ou la transformation géométrique en troisième étape est l'éclairage ou l'attribution de la couleur aux points sur les objets, la quatrième étape est l'affichage du pipeline où nous transférons un objet 3D à un plan de visualisation 2D. La transformation passe par 5 sous-étapes de la visualisation de la transformation, du découpage, de l'enlèvement de surfaces cachées, de la transformation de projection et de la fenêtre des transformateurs de visualisation, et la cinquième et dernière étape est la conversion d'analyse. Ici, nous mappons l'objet du plan de vue sur la grille de pixels sur l'écran.Et comme nous l'avons mentionné précédemment, chacune de ces étapes a lieu dans des systèmes de coordonnées spécifiques, la représentation des objets est faite dans le système de coordonnées locales ou d'objets, la modélisation de la transformation ici nous transfert en fait du système de coordonnées local au monde, l'éclairage a lieu dans la coordonnée du monde, puis l'affichage du pipeline a lieu dans 3 systèmes de coordonnées ; la coordonnée du monde, la coordonnée de la vue, puis la coordonnée du dispositif. Enfin, la conversion de balayage a lieu dans le système de coordonnées d'écran. Donc, les différentes coordonnées sont impliquées à différentes étapes du pipeline. Parmi ces étapes, jusqu'à présent, nous avons discuté de la représentation de la première étape. À l'heure actuelle, nous discutons de la deuxième étape de la modélisation ou de la transformation géométrique. Au cours des deux dernières conférences, nous avons discuté de l'idée de transformation de base, y compris la façon d'effectuer des transformations complexes en termes de séquence de transformation de base, mais toutes nos discussions ont été basées sur des transformations 2D.En d'autres termes, nous avons effectué des transformations dans un cadre de référence de 2 dimensions. Maintenant, regardons la transformation 3D. Ainsi, la transformation 3D sera le sujet de discussion de notre conférence aujourd'hui.Ainsi, lorsque nous parlons de transformation 3D, nous nous référons essentiellement à toutes les transformations de base que nous avons déjà discutées en 2D mais sous une forme modifiée. Et les transformations sont en fait les mêmes qu'en 2D, mais leur représentation est différente. En 2D, nous avons discuté de 4 transformations de base, à savoir la traduction, la rotation, la mise à l'échelle et le cisaillement. Maintenant, ces 4 restes de transformations de base en 3D aussi. Donc, plus tôt nous avions utilisé un système de coordonnées homogènes pour représenter la transformation. Nous utiliserons le même système de coordonnées ici pour représenter la transformation 3D, mais avec la différence. Maintenant, plus tôt dans la représentation matricielle, nous avons utilisé 3 matrices × 3 dans le système de coordonnées homogènes pour représenter chacune des transformations. En 3D, nous utilisons 4 matrices × 4 pour représenter chaque transformation. Cependant, le facteur homogène h reste le même que h=1.Ainsi, nous utilisons essentiellement au lieu de 3 × 3, nous utilisons 4 matrices de transformation de 4 × 4 pour représenter une transformation en 3D, et le facteur homogène h reste égal à 1 car nous traitons de la transformation de modélisation. Mais il y a certaines différences et nous devrions garder à l'esprit ces différences, les différences sont principalement en rapport avec les 2 transformations ; la rotation et le cisaillement. Est différent.En rotation plus tôt, nous avons supposé que les rotations se déroulent par rapport à l'axe z ou à un axe qui est parallèle à celui-ci. C'était notre hypothèse de base dans les rotations 2D. En 3D cette hypothèse n'est plus valide, ici nous avons 3 rotations de base par rapport à chaque axe de principe x, y et z. Auparavant, nous n'avions défini qu'une seule rotation par rapport à l'axe z. Maintenant, en 3D nous définissons 3 rotations de base par rapport aux 3 axes de principe x, y et z, donc le nombre de transformations de base a changé. Donc, plus tôt nous en avions une pour la rotation, maintenant nous avons 3 pour la rotation aussi. En outre, nous n'avons pas été confrontés à cette situation lorsque nous avons défini la rotation par rapport à l'axe z. Ici, la matrice de transformation que nous devrions utiliser pour représenter la rotation autour de n'importe quel axe arbitraire qui signifie, n'importe quel axe qui n'est pas l'axe de principe, est plus compliqué qu'en 2D. Donc, en 2D on peut avoir seulement z comme axe de principe, en 3D nous avons 3 axes de principe, nous devons prendre en compte tous les 3.Alors, quand nous essayons de définir une rotation arbitraire par rapport à n'importe quel axe arbitraire, alors le calcul de la matrice de transformation devient plus compliqué. Et la forme de la matrice est aussi plus compliquée que ce que nous avons rencontré en 2D. Nous allons examiner cette dérivation de la matrice de rotation par rapport à n'importe quel axe arbitraire plus tard dans le cours qui est à propos de la rotation.Maintenant, comme je l'ai dit, le cisaillement a également une certaine différence par rapport à son homologue 2D. Il est en effet plus compliqué par rapport à ce que nous avons vu en 2D.Alors, commençons notre discussion avec le cisaillement en 3D, puis nous parlerons des différences de rotation, puis nous verrons comment dériver une matrice de transformation composite pour la rotation autour de n'importe quel axe arbitraire. Maintenant, quand nous parlons de cisaillement, comme nous l'avons vu plus tôt, nous essayons de changer fondamentalement la forme de l'objet. Donc, essentiellement pour introduire une certaine difformité dans la forme de l'objet. Maintenant, cette déformation ou déformation peut être définie le long de 1 ou 2 directions à la fois, tout en gardant 1 direction fixe qui est 1 contrainte que nous suivons pour définir le cisaillement en 3D.Par exemple, si nous essayons de cisaillement le long des directions x et y, alors nous devons garder le cisaillement de direction z fixé comme résultat, la forme générale est différente de celle du cisaillement 2D. En fait, nous pouvons définir 6 facteurs de cisaillement. Recoller que le facteur de cisaillement fait référence à la quantité de déformation ou de déformation que nous voulons introduire le long d'un axe particulier. Donc, dans ce cas en cas de cisaillement 3D nous pouvons définir 6 facteurs de cisaillement et chaque facteur peut prendre n'importe quelle valeur réelle ou zéro si aucun cisaillement le long de cette direction particulière n'a lieu, donc lorsque le facteur de cisaillement est égal à 0, le long de cette direction, il n'y a pas de cisaillement. Et pour ce qui est des six facteurs, la matrice de cisaillement ressemble à ceci, où shxy, shxz, shyx, shyz, shzx et shzy sont les six facteurs de recherche.Parmi ces facteurs, shxy et shxz sont utilisés pour le cisaillement le long des directions y et z, respectivement, laissant la valeur de coordonnée x inchangée. Nous avons mentionné précédemment que, même si l'exécution d'un cisaillage ne change pas, il faut laisser la direction inchangée. Ainsi, dans ce cas, nous exécutons des cisaillement le long des directions y et z alors que, le cisaillement le long de la direction x reste 0.De même, shyx et shyz font référence aux facteurs de cisaillement le long de la direction x et z lorsque la valeur de coordonnée y reste inchangée. De même, les 2 autres facteurs de cisaillement peuvent être définis, c'est-à-dire shzx et shzy, ces 2 font référence à la cisaillage le long de x et y direction laissant la valeur z inchangée. Ainsi, chaque paire fait en fait référence à un cisaillement le long de deux directions alors que la troisième direction reste inchangée, ce qui signifie que le cisaillement le long de cette troisième direction n'a pas lieu.Donc, c'est à propos du cisaillement que vous pouvez voir il est plus compliqué par rapport à la matrice de cisaillement que nous avons vue pour la transformation 2D, c'est parce que nous avons maintenant 6 facteurs de cisaillement. Maintenant, regardons les autres matrices de transformation de base des matrices de transformation.La traduction est la plus simple et la forme reste presque la même avec l'ajout d'une autre dimension. Donc, nous avons tx se référant à la traduction le long de x direction, ty se référant à la traduction le long de la direction y et tz se référant au tr. Comme je l'ai dit auparavant, pour la rotation, nous n'avons pas de matrice unique. Au lieu de cela, nous avons 3 matrices distinctes, chaque matrice correspondant à la rotation le long d'un axe de principe particulier. Donc, donc, puisqu'il y a 3 axes, nous avons donc 3 matrices de rotation le long de la direction z. Rotation autour de l'axe x, lorsque l'angle de rotation est similaire à celui de cette matrice.Rotation le long de l'axe des Y, en supposant que l'angle de rotation soit indiqué ici.Et enfin, la rotation autour de l'axe z par un angle apparaît ici dans cette matrice. Ainsi, nous avons 3 matrices représentant 3 rotations de base ; l'un sur l'axe x, un sur l'axe des y et un sur l'axe z.La mise à l'échelle est similaire à la contrepartie 2D, Sx est le facteur d'échelle le long de la direction x, Sy est le facteur d'échelle le long de Y, Sz est le facteur d'échelle le long de la direction z. Donc, si nous ne voulons pas effectuer de mise à l'échelle le long d'une direction particulière, nous avons simplement défini ce facteur de mise à l'échelle comme 1. Donc, si nous ne voulons pas de la mise à l'échelle le long de la direction y, alors nous allons définir Sy=1. Et si vous pouvez recollecter un facteur d'échelle inférieur à 1 signifie, dans cette direction particulière, nous voulons réduire la taille et le facteur d'échelle supérieur à 1 signifie dans cette direction particulière que nous voulons augmenter la taille.Donc, l'échelle est liée à la taille, le cisaillement est lié à la forme, la traduction et la rotation sont liés à la position. Donc, nous avons en 3D plus de 3 matrices de base, nous en avons une pour la traduction, une pour la mise à l'échelle, une pour le cisaillement, et trois pour la rotation, ainsi que 6 matrices de base représentant 6 transformations de base en 3D. L'autre différence que j'ai mentionnée en ce qui concerne la transformation 2D est la rotation d'un objet par rapport à n'importe quel axe arbitraire qui signifie, n'importe quel axe qui n'est pas un axe de principe x, y et z.Donc, quelle est l'idée que nous voulons faire pivoter un objet par un angle θ dans le sens des aiguilles d'une montre autour d'un axe de rotation passant à 2 points P1 et P2. Donc, ici nous définissons ces deux points car avec ces deux points, nous pouvons définir une ligne ou un segment de droite qui représente l'axe de rotation. Donc, à moins que nous ne mentionnions les points, il sera difficile de représenter l'axe. Donc, alors nous avons un axe défini par les 2 points, nous avons un angle de rotation thêta, ce qui est contre le sens des aiguilles d'une montre.Rappelez-vous que nous utilisons une convention que si l'angle de rotation est anti-horaire, alors c'est un angle positif, si l'angle de rotation est dans le sens des aiguilles d'une montre, alors nous considérons qu'il s'agit d'un angle négatif. Donc, si nous tournons l'objet par un angle θ dans le sens des aiguilles d'une montre, alors ce sera simplement θ, mais si nous tournons le même objet par un angle θ dans le sens des aiguilles d'une montre, alors nous remplacerons θ avec-θ. Maintenant, voyons ce qui se passe lorsque nous essayons d'effectuer cette rotation par rapport à n'importe quel axe arbitraire, comment nous pouvons dériver une matrice composite représentant cette rotation.L'idée est illustrée dans la série d'étapes. Ainsi, cette figure en haut à gauche montre la situation initiale où P1 et P2 définissent l'axe de rotation représenté par la ligne pointillée par rapport au cadre de référence 3D ou au cadre de coordonnées. Alors, à l'étape 1, que faisons-nous? Nous traduisons la ligne vers l'origine. Souvenez-vous, plus tôt dans notre discussion sur la composition de la transformation, nous avons discuté de la façon de combiner plusieurs transformations.Donc, il y a ce que nous avons dit que si nous essayons d'effectuer une opération de base par rapport à n'importe quel point fixe arbitraire autre que l'origine, alors ce que nous suivons? Nous traduisons d'abord le point d'origine, nous réalisons la transformation de base, puis nous le traduisons à son emplacement d'origine. Donc, le même principe de base que nous suivons ici, on nous donne l'axe arbitraire ou la ligne fixe arbitraire. Dans la première étape, nous la traduisons vers l'origine qui signifie que l'axe passe à travers l'origine.A l'étape 2, ce que nous faisons? Maintenant l'axe passe à travers l'origine, mais il n'y a aucune garantie qu'il s'aligne sur l'un quelconque de l'axe de principe. Donc, à cette étape 2, nous alignons la ligne avec l'axe z dans notre explication particulière, mais il n'est pas nécessaire de toujours s'aligner avec l'axe z, vous pouvez toujours l'aligner toujours avec l'axe x ou y aussi. Mais supposons que nous l'alignons sur l'axe z. Donc, cela implique une rotation autour de l'axe x et y.Ainsi, maintenant, notre axe arbitraire est aligné sur l'axe z. Donc, la rotation aura lieu autour ou autour de l'axe z que nous faisons à l'étape 3, nous appliquons la rotation autour de l'axe z. Une fois la rotation effectuée à l'étape 4, nous faisons tourner la ligne vers son orientation initiale. Donc, lorsque nous l'avons apporté ou que nous l'avons traduit à l'étape 1 pour le passer à travers l'origine, il avait une orientation. Donc à l'étape 4, nous le retournons à cette orientation et à l'étape 5 ou à l'étape finale, nous la traduisons à sa position initiale.Ainsi à l'étape 4, nous le retournons à son orientation d'origine et à l'étape 5, nous la transtraduisons à sa position d'origine. Donc, ces 5 étapes sont nécessaires pour construire la matrice composite représentant la rotation d'un objet par rapport à n'importe quel axe arbitraire. Alors, essayons de le dériver. Comme nous l'avons vu dans la figure, il y a donc 5 transformations. Ainsi, la matrice composite ou la dernière finale, la matrice de transformation finale serait une composition de ces 5 transformations de base.Ainsi, la première transformation est la traduction. Translating the line so that it passes through origin. Maintenant, le montant de la traduction serait moins x, moins y, moins z puisque nous sommes en mouvement le long de la direction négative z où x, y, z est la coordonnée de P2, l'un des noeuds finaux.Alors à l'étape 2, nous alignons la ligne sur l'axe z, mais comme je l'ai dit, il ne doit pas être toujours l'axe z, il peut aussi être l'axe x ou y. Donc, pour faire ce que nous devons faire? Nous devons effectuer quelques rotations autour de l'axe x et y. D'abord, supposons que nous tournons d'abord la ligne autour de l'axe x pour placer l'axe sur le plan x-z et que l'angle de rotation est α. Ensuite, nous la tournons autour de l'axe des Y pour aligner l'axe avec l'axe z.Ainsi, d'abord nous l'avons fait tourner autour de l'axe x pour le placer sur le plan x-z, puis nous l'avons piqué sur l'axe y pour l'aligner sur l'axe z. Donc, dans le premier cas, l'angle de rotation nous permet de le dénoter par α et dans le second cas, de le dénoter par la rotation, les deux sont une rotation anti-horaire, donc les deux sont positifs à ce stade.Alors à l'étape 3, ce que nous faisons? Maintenant nous avons alignement l'axe avec l'axe z et ensuite nous réalisons la rotation autour de l'axe z qui est notre objectif initial. Donc, nous utilisons la matrice de rotation par rapport à l'axe z, donc ici θ est l'angle de rotation de l'objet. Rappelez-vous que ce θ angle de rotation est lié à l'axe arbitraire, maintenant nous l'utilisons pour tourner autour de l'axe z car nous avons alignées l'axe arbitraire avec l'axe z. Alors, aux étapes 4 et 5, nous annulons les opérations que nous avons effectuées aux étapes 1 et 2. Donc d'abord, nous prenons la ligne à son alignement d'origine, ce qui implique une rotation inversée autour de l'axe Y et x pour ramener l'axe de rotation à son orientation d'origine. Lors de l'alignement, nous avons subi une rotation par rapport à x d'abord et ensuite y. Depuis maintenant, nous inversons l'opération, donc nous la faisons tourner en premier, puis x.Et à l'étape 5, qu'est-ce que nous faisons? Nous la traduisons ensuite à sa position initiale, qui est la dernière étape. Alors, quelle serait la matrice composite?Nous pouvons l'obtenir par multiplication matricielle et nous suivrons la règle de droite à gauche. Donc, d'abord nous réalisons la translation pour prendre la ligne passant par l'origine, puis nous avons effectué une rotation autour de l'axe x par un angle α pour amener la ligne sur le plan x-z puis nous effectuons une rotation par un angle autour de l'axe des Y pour l'aligner avec l'axe z, puis nous avons effectué la rotation réelle par un angle θ par rapport à l'axe z. Ensuite, nous inverserons les étapes précédentes qui sont d'abord effectuer la rotation par rapport à y, puis la rotation par rapport à x par le même angle que dans les cas précédents, puis inverse la traduction.Maintenant, puisque nous tournons à l'inverse de ce que nous avons fait à l'étape 2, maintenant ces rotations inverses peuvent simplement être représentées par un changement de signe de l'angle. Donc, plus tôt si l'angle était inférieur à ce qu'il était-ici et si l'angle était α, alors il sera-α ici. Ainsi, lorsque nous la tournons autour de l'axe x avec α, en cas de rotation inverse, nous allons tourner autour de l'axe x par-α. De la même façon, nous avons tourné ici avec des tons, ici nous allons tourner par---------------- Donc, la rotation inverse signifie changer l'angle de rotation parce que, d'après le sens des aiguilles d'une montre, nous sommes maintenant en rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.Ainsi, ces matrices, multipliées dans la séquence particulière montrée ici, nous donneront la matrice composite pour la rotation d'un objet par un angle θ sur n'importe quel axe de rotation arbitraire. Donc c'est en résumé, ce qu'il y a dans la transformation 3D. Donc, c'est surtout le même avec la transformation 2D avec quelques différences. La première différence est que dans un système de coordonnées homogène, nous avons maintenant besoin de 4 matrices × 4 au lieu de 3 × 3 matrices pour représenter chaque transformation.Ensuite, nous avons défini 4 transformations de base, à savoir la traduction, la rotation, la mise à l'échelle et le cisaillement dans le contexte de la transformation 2D. Nous avons maintenant 6 transformations de base ; la traduction, la rotation autour de l'axe x, la rotation autour de l'axe y, la rotation autour de l'axe z, la mise à l'échelle et le cisaillement. Plus tôt nous avions défini 2 facteurs de cisaillement, maintenant il y a 6 facteurs de cisaillement, il est un peu plus compliqué que le cas précédent.Maintenant, en cisaillement, lorsqu'il effectue un cisaillement le long de 2 axes, 2 axes de principe, il n'y a pas de cisaillement le long du troisième axe de principe que nous suivons dans le cisaillement 3D. En dehors de ces différences, il y a une autre différence majeure dans la façon dont nous obtenons une matrice de transformation composite pour la rotation autour de n'importe quel axe arbitraire.Donc, pour ce faire, nous suivons le processus en 5 étapes, d'abord nous traduisons la ligne pour passer à travers l'origine, puis nous l'alignons avec l'un de l'axe de principe, puis nous réalisons la rotation par l'angle souhaité sur cet axe, puis nous replacez la ligne vers son orientation d'origine en effectuant des rotations inverses, puis nous la retransmettez à sa position d'origine. Et nous avons mis les matrices individuelles de base de droite à gauche pour obtenir la matrice composite finale comme nous l'avons montré au cours de la discussion. Maintenant, essayons de comprendre la transformation 3D par rapport à 1 exemple.Examinons une situation, il y a un objet défini avec les sommets définis avec les sommets A B C D ici dans cette figure top figure, comme vous pouvez le voir sur le plan x-y Il s'agit de la situation initiale, maintenant nous voulons utiliser cet objet particulier pour construire une paroi de partition définiepar les sommets A ’, B ’, C ’ et D ’ dans une scène où A ’ correspond à A, B ’ correspond à B, C ’ correspond à C et D ’ correspond au vertex D.Donc, ici comme nous pouvons clairement Voir une certaine transformation a eu lieu, la question est d'essayer de calculer la matrice de transformation composite qui permet à cet objet de se positionner comme un mur de partition dans cette scène. Voyons comment nous pouvons le faire.Donc, dans un premier temps, le carré se trouve dans le plan x-y et chaque côté a 2 unités de longueur et le centre est donné comme (2, 2, 0). Le dernier carré est sur le plan y-z avec chaque côté égal à 4 unités et le centre est maintenant à (0, 2, 2). Maintenant, ces longueurs et ces centres peuvent être trouvés par les coordonnées des sommets.Alors, qu'est-ce que nous devons faire? Donc, dans ce cas, nous avons besoin d'une rotation du plan x-y vers le plan y-z, mais l'axe de rotation n'est pas l'axe z, il est parallèle à l'axe z et nous allons donc suivre cette approche de création de transformation de matrice composite. Donc, d'abord nous traduisons le centre à l'origine, le centre de cet objet original de sorte que le montant de la traduction sera -2, -2 et 0.Ainsi, si nous traduisons le centre à l'origine, alors l'axe de rotation qui était parallèle à l'axe z sera automatiquement alignement sur l'axe z. Donc, nous réalisons la rotation de 90 degrés anti-horaire autour de l'axe z. Ainsi, nous utiliserons la matrice de rotation définie pour la rotation autour de l'axe z avec l'angle de rotation 90. Puisque la rotation est anti-horaire, elle sera positive.Ensuite, nous tournons à 90 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre autour de l'axe y. Donc, encore une fois, nous utiliserons Ry (90) où Ry θ est la matrice de rotation de base autour de l'axe y.Ensuite, nous réalisons la mise à l'échelle parce que la taille augmente de 2 en Y et z direction, donc x direction aura un facteur d'échelle 1, il n'y a pas de changement et z et la direction y aura le facteur d'échelle 2, la taille doublera. Ensuite, nous traduisons le centre vers le nouveau centre d'objets à l'aide de la matrice de traduction.Ainsi, la matrice de transformation composite peut être obtenue en multipliant ces matrices individuelles de transformation de base lorsque nous avons suivi la règle de droite à gauche, c'est-à-dire d'abord la translation à l'origine, puis la rotation autour de l'axe z, puis la rotation autour de l'axe y, puis la mise à l'échelle vers le haut par 2 le long de Y et la direction z, puis la translation vers la nouvelle origine. Donc, si nous multiplions, nous aurons la nouvelle matrice de transformation composite.Et après que nous aurons cette matrice, juste pour récapitulation de la procédure, ce que nous devons faire? Nous devons multiplier chaque sommet par cette matrice de transformation composite. Ainsi, si le vertex est représenté par un vecteur de colonne P et que cette matrice de transformation composite est M, alors nous réalisons ceci (M. P) pour chaque sommet pour obtenir la nouvelle position de sommet dans une coordonnée homogène. Donc, finalement pour obtenir la coordonnée physique, nous réalisons cette opération, nous divisons la coordonnée x par un facteur homogène, y coordonnée par un facteur homogène et z coordonnée par le facteur homogène.Donc dans notre cas bien sûr, h=1. Donc, vraiment peu importe, les coordonnées x, x et z resteront les mêmes. Mais plus tard, comme je l'ai dit plus tôt, nous verrons qu'il y a des situations où h ≠ 1. Donc, dans ce cas, cette division est très importante que nous verrons dans les conférences ultérieures.Donc, avec ça, nous en venons à la conclusion de notre discussion sur la transformation 3D. Et aussi, nous en sommes venus à la conclusion de notre discussion sur la deuxième étape de la transformation de la modélisation. Donc, nous avons commencé notre discussion avec les transformations 2D, nous avons introduit l'idée de base de la transformation de modélisation qui consiste à assembler des objets qui sont définis dans leurs propres systèmes de coordonnées locaux ou locaux dans une scène de coordonnées mondiales. Pour ce faire, nous réalisons des transformations géométriques, toute transformation peut être considérée comme une séquence de transformations de base dans les transformations 2D.Nous avons discuté de 4 transformations de base, celles de translation, de rotation, de mise à l'échelle et de cisaillement. Nous avons également discuté de la raison pour laquelle il est important de représenter les transformations en termes de matrices, en raison de la modularité et de la compatibilité avec les étapes suivantes lorsque nous mettons en œuvre un paquet sous la forme de fonctions de bibliothèque ou d'API ou de fonctions standard. Maintenant, pour la représentation matricielle, nous avons discuté de l'importance et de l'importance du système de coordonnées homogènes et nous avons vu comment utiliser le système de coordonnées homogènes pour représenter les transformations de base ou toute transformation composite.Ainsi, en résumé, dans la modélisation de la transformation, nous réalisons une transformation en considérant individuellement ou en séquence des transformations de base, ces transformations sont représentées sous forme de matrices, où les matrices sont elles-mêmes des représentations dans un système de coordonnées homogène. Et dans la transformation 2D, nous avons 4 transformations de base. Dans les transformations de modélisation 3D, nous avons 6 transformateurs de base. Et toute transformation par rapport à n'importe quel point arbitraire ou axe de rotation peut être dérivée à l'aide d'une séquence de transformation de base. Ainsi, lors de la prochaine conférence, nous allons commencer notre discussion sur la troisième phase du pipeline graphique qui affecte la couleur ou l'éclairage.