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Représentation matricielle et composition des transformations

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Bonjour et bienvenue à la conférence numéro 11 dans le cours Données graphiques. Nous discutons de différentes étapes du pipeline graphique.
Ainsi, lors de la dernière conférence, nous avons introduit dans l'idée de base ce que nous entendons par modélisation de la transformation et nous avons également introduit 4 transformations de base à l'aide desquelles nous réalisons tout type de transformation de modélisation. Aujourd'hui, nous allons en apprendre davantage sur la représentation. Ainsi, lors de la conférence précédente, nous avons parlé de la façon de représenter les transformations, aujourd'hui nous allons apprendre une autre façon de représenter ces transformations.
Ce que nous avons vu lors de la conférence précédente, comment nous pouvons représenter la transformation. Si vous le rappelez, il y a 4 transformations de base: translation, rotation, mise à l'échelle et cisaillage. A l'aide de ces 4 transformations de base, nous pouvons effectuer n'importe quelle transformation géométrique sur n'importe quel objet, en appliquant l'une ou l'autre de ces 4 transformations ou en appliquant ces transformations dans la séquence l'une après l'autre plusieurs fois et ainsi de suite.
Et nous avons discuté de ces transformations en termes d'équations. Pour la traduction, nous avons discuté de la relation entre le point d'origine et le point transformé qui est le point après la traduction, comme le montre ces deux équations. Pour la rotation, nous avons également établi la relation entre le point d'origine et le point transformé à l'aide de ces deux équations.
La même chose a été le cas avec la mise à l'échelle, encore deux équations, une pour chacune des deux coordonnées et le cisaillement. Dans ces équations à partir de la traduction, nous avons utilisé certains paramètres tx, ty ou la quantité de traductions suivant x et y direction. De même, c'est l'angle de rotation dans ces équations de rotation, sx, sy sont les facteurs d'échelle le long des directions x et y respectivement. Et shx, timides sont les facteurs de cisaillement le long des directions x et y respectivement.
Ainsi, comme nous l'avons montré, nous pouvons utiliser ces équations pour représenter les transformations. Maintenant, comme nous en avons discuté dans les conférences d'introduction, il y a des paquets graphiques, il y a des bibliothèques graphiques qui sont développées pour rendre la vie d'un développeur plus facile afin qu'un développeur n'ait pas toujours besoin de mettre en oeuvre les composants individuels d'un pipeline graphique pour développer un produit. Pour construire un paquet ou pour développer des fonctions de bibliothèque, ce dont nous avons besoin, nous avons besoin de modularité ; nous avons besoin d'un moyen standard de définir les entrées et les sorties pour chaque fonction.
Malheureusement, les représentations basées sur l'équation des transformations ne prennent pas en charge cette modularité. Ainsi, lorsque nous essayons de représenter les transformations à l'aide d'équations, il est difficile de moduler le pipeline global en termes d'entrée et de sortie normalisées et de fonctions normalisées, car dans les étapes ultérieures du pipeline, nous verrons d'autres transformations et chacune de ces transformations aura différentes équations représentées sous différentes formes et formats.
Il sera donc très difficile de combiner ces différentes étapes et de mettre en œuvre un paquet ou une bibliothèque, où l'utilisateur ne se souciera pas du fonctionnement interne du paquet. Pour maintenir cette modularité, les représentations basées sur l'équation ne sont pas appropriées. Nous avons besoin d'une représentation alternative et une représentation alternative, qui soutient notre besoin d'un développement modulaire modulaire basé sur le système, est la représentation matricielle. Nous pouvons donc représenter des transformations sous forme de matrices. Et plus tard, nous verrons que d'autres étapes du pipeline peuvent également être mises en œuvre en représentant des opérations de base sous forme de matrices.
Il y aura donc une synergie entre les différentes étapes et il sera plus facile de les mettre en œuvre sous la forme de paquets, de fonctions ou de bibliothèques prédéfinis.
Donc, comment ces matrices ressemblent à nous laisser prendre, par exemple, la transformation d'échelle. Maintenant, si nous voulons représenter la mise à l'échelle sous forme de matrices, ce que nous ferons? Nous allons créer une matrice sous cette forme, une matrice de 2 × 2 et les facteurs de mise à l'échelle seront positionnés le long de la diagonale comme indiqué ici. Maintenant, comment appliquer cette transformation? Supposons que nous avons un point P (x, y) et que nous voulons le transformer par mise à l'échelle. Alors, que ferons-nous? Nous pouvons représenter ce point comme un vecteur de colonne montré ici et ensuite multiplier cette matrice de transformation avec le vecteur de colonne. Il s'agit du produit point des matrices pour obtenir les nouveaux points. Donc, pour l'essentiel, nous avons besoin d'avoir une multiplication matricielle. Et cette forme de représentation des opérations de transformation est en fait ce qui rend plus facile la mise en œuvre modulaire.
Donc, nous avons représenté la mise à l'échelle en termes de matrice 2 × 2. Nous pouvons faire de même avec la rotation ; nous pouvons avoir une matrice 2 × 2 pour représenter la transformation de rotation, ainsi que le cisaillement. Ainsi, nous pouvons avoir 2 matrices × 2 pour les 3 opérations ; rotation, mise à l'échelle et cisaillage. Malheureusement, 2 × 2 matrices ne serviraient pas notre but. Parce que, peu importe ce que nous essayons, nous ne serons pas en mesure de mettre en œuvre ou de représenter la transformation de la traduction à l'aide d'une matrice 2 × 2, contrairement aux 3 autres transformations de base qui n'est pas possible. Donc, afin d'éviter ce problème, afin de résoudre ce problème, nous allons pour un autre type de représentation matricielle, qui est appelée représentation dans un système de coordonnées homogène. Maintenant, à quoi se réfère cette représentation homogène de matrices à base de systèmes?
Donc, il s'agit essentiellement d'une technique de représentation abstrait qui signifie que ce système de coordonnées n'existe en fait pas au sens physique ; il est purement mathématique, purement abstrait. Il se peut donc qu'il y ait physiquement un point à 2 dimensions que nous transformons en un système de coordonnées abstrait tridimensionnel appelé système de coordonnées homogènes. Ainsi, chaque point 2D représenté par ces 2 coordonnées x et y peut être représenté avec un vecteur d'élément 3 comme indiqué ici, chacun de ces éléments correspond aux coordonnées dans le système de coordonnées homogène. Ainsi, nous transformons un point 2D en espace 3D dans ce cas, l'espace 3D est l'espace de coordonnées homogène abstrait et chaque point est représenté avec un vecteur d'élément 3.
Alors, quelle est la relation entre ces deux représentations? Nous avons donc un point 2D représenté par ses 2 coordonnées x et y. Et maintenant, nous l'avons transformé ou nous présentons le même point dans un espace de 3 dimensions appelé système de coordonnées homogènes où nous représentons le même point avec 3 valeurs de coordonnées xh, yh et h. Alors, quelles sont les relations entre ces quantités?
Maintenant, la coordonnée originale x est égale à la coordonnée x dans le système de coordonnées homogène divisé par h, qui est la troisième coordonnée de coordonnées et la coordonnée originale y est égale à la coordonnée y dans le système de coordonnées homogène divisé par le h, h est appelé facteur homogène et il est important de noter qu'il peut prendre n'importe quelle valeur différente de zéro, il doit être une valeur différente de zéro.
Il y a quelques autres choses que nous devrions noter ici, car, nous sommes en train de considérer que h est un facteur homogène. Donc, si h est 0, alors nous considérons que ce point est à l'infini dans le système de coordonnées homogènes, et il n'y a pas de concept d'origine puisque 0 × 0 n'est pas défini ainsi, nous ne permettons généralement pas le point d'origine où tout est 0. Donc, ces deux choses que nous devrions nous rappeler en traitant avec un système de coordonnées homogène, la première chose est si h devient 0, alors nous considérons que ce point est à l'infini et qu'il n'y a pas de concept d'origine dans le système de coordonnées homogène.
Maintenant, essayons de comprendre comment nous pouvons convertir ces matrices de transformation géométrique en matrices dans le système de coordonnées homogène. Donc, plus tôt nous avons eu ce 2 matrices de 2 matrices représentant les 3 transformations de base sur 4 ; la rotation, la mise à l'échelle et le cisaillement. Comme nous l'avons déjà mentionné, les matrices 2 × 2 se transformeront en matrices 3 × 3 dans le système de coordonnées homogènes. En fait, en général s'il y a une matrice de transformation de matrice N × N, elle est convertie en matrices (N + 1) × (N + 1).
Maintenant, si nous représentons une matrice de transformation, une matrice de transformation 2D utilisant une matrice de 3 × 3, alors nous serons en mesure de représenter aussi la traduction de sorte que notre problème antérieur sera résolu, plus tôt nous n'avons pas pu représenter la traduction à l'aide d'une matrice 2 × 2, bien que vous êtes en mesure de représenter les 3 autres transformations de base. Maintenant, avec une représentation homogène, nous serons en mesure d'éviter cela, nous serons capables de représenter toutes les 4 transformations de base à l'aide de matrices 3 × 3.
Une autre chose que nous devons garder à l'esprit, c'est que, lorsque nous parlons de transformations géométriques, nous considérons toujours que h est 1. Donc, la valeur de h sera toujours 1. Cependant, il y a d'autres transformations que nous rencontrerons dans nos conférences ultérieures, où h n'est pas égal à 1.
Maintenant, voyons comment les transformations de base sont représentées à l'aide de matrices de coordonnées homogènes. Donc, la traduction que nous pouvons représenter à l'aide de ces matrices, la rotation que nous pouvons représenter à l'aide de ces matrices où phi est l'angle de rotation, l'échelle peut être représentée à l'aide de ces matrices et finalement, le cisaillement peut être représenté à l'aide de ces matrices. Maintenant, en cas de mise à l'échelle, sx, sy représente les facteurs d'échelle le long de x et y direction, en cas de recherche de shx et de timide représentent respectivement les facteurs de direction le long de x et de la direction y.
Donc, ici vous pouvez voir que nous avons géré jusqu'à présent toutes les transformations, toutes les transformations de base sous forme de matrices, bien que nous ayons à utiliser des matrices 3 × 3 pour représenter 2 transformations dimensionnelles.
Puisque nous utilisons un système de coordonnées homogène, notre représentation ponctuelle change également. Donc, plus tôt nous avons eu cette représentation pour chaque point, maintenant nous représenterons chaque point à l'aide d'un vecteur de colonne 3 éléments et les autres opérations restent les mêmes avec des modifications mineures. Donc, d'abord nous appliquons la multiplication matricielle comme avant pour obtenir le nouveau point qui est P'= S.P. Mais, après cela, ce que nous devons faire, c'est diviser ce que nous avons en P', les valeurs x et y par h pour obtenir la valeur d'origine, c'est la règle générale pour récupérer les points réels.
Mais en cas de transformation géométrique comme nous l'avons déjà mentionné, h est toujours 1. Donc, ça n'a vraiment pas d'importance. Mais d'autres transformations verront dans les conférences ultérieures où cela compte beaucoup. Jusqu'à présent, ce que nous avons discuté est ce que sont les transformations de base, et comment nous pouvons représenter ces transformations, et aussi comment nous pouvons les utiliser pour transformer un point qui est en effectuant une multiplication matricielle.
Maintenant, essayons de comprendre le processus de composition de la transformation. Quand nous avons besoin de composition? Si nous devons réaliser des transformations qui impliquent plus d'une transformation de base, alors nous devons les combiner. Maintenant, la question est de savoir comment combiner et dans quelle séquence?
Ainsi, lorsque nous réalisons de multiples transformations géométriques pour construire les coordonnées du monde, nous devons aborder les questions de la façon dont nous réalisons ces multiples transformations ensemble et ce qui devrait être la séquence des transformations à suivre.
Essayons de comprendre cela en termes d'exemple. Ici, dans cette figure, regardez la figure du haut ici. Nous voyons un objet dénoté par les sommets ABCD avec sa dimension est donné. Maintenant, la figure du bas montre une scène de coordonnées du monde dans laquelle le même objet est placé ici qui est utilisé pour définir une cheminée nous laisse supposer de la maison. Maintenant, vous pouvez voir que le sommet original A a été transformé en A', B a été transformé en B', C a été transformé en C'et D a été transformé en D'. Et aussi, la dimension a changé.
Ainsi, la dimension antérieure a été réduite le long de la direction x, bien que la dimension le long de la direction y reste la même. Donc, deux choses se sont passées ici, comme vous pouvez le constater dans cette figure, d'abord sa dimension a changé et ensuite sa position a changé. Donc, plus tôt, il avait un sommet comme point d'origine, maintenant il est placé à un point différent. Donc, deux transformations sont nécessaires: l'une est la mise à l'échelle et l'autre est la traduction, la mise à l'échelle pour réduire la taille, la traduction pour la repositionner dans le monde des coordonnées. Ce que nous pouvons comprendre à partir de ce chiffre, mais comment appliquer réellement ces transformations, c'est la question que nous voulons répondre pour que nous obtiens les nouveaux sommets. Ce que nous savons? Nous savons que pour obtenir les nouveaux sommets, nous devons multiplier les sommets actuels par une matrice de transformation. Mais, ici, ce n'est pas une matrice de transformation de base, c'est une composition de deux matrices de transformation de base, et nous devons faire ça, comment combiner les deux matrices?
Allons pas à pas. Première étape, nous devons déterminer les matrices de base qui permettent de déterminer la quantité de traduction et de déterminer les facteurs d'échelle. Notez que l'objet est de longueur réduite de moitié alors que la hauteur est la même que celle qui signifie le long de la direction x, elle a diminué de moitié, mais le long de la direction y est demeurée la même. Donc, la matrice de mise à l'échelle serait sx devrait être la moitié et la sy sera 1 comme le montre cette matrice de transformation pour la mise à l'échelle.
Maintenant la traduction, la seconde transformation de base dont nous avons besoin. Maintenant, le sommet D était l'origine comme vous pouvez le voir ici, où il a été transféré? À D'. Maintenant, quelle est la position du sommet du point transformé qui est (5, 5). Ainsi, l'origine a été repositionné à (5, 5) qui est essentiellement un déplacement de 5 unités le long des directions horizontales et verticales. Donc, alors tx égal à 5 et ty égal à 5, donc si nous utilisons ces valeurs dans la matrice de transformation pour la traduction, alors nous aurons cette matrice dans ce cas courant. Donc, plus tôt nous avons obtenu la matrice de mise à l'échelle maintenant, nous avons obtenu la matrice de traduction, mais notre question demeure comment les combiner?
Il s'agit de la deuxième étape de la composition des matrices ou de l'obtention de la matrice composite. Ce que nous devons faire est de multiplier les matrices de base en séquence et ce séquençage est très important, nous suivons la séquence de droite à gauche qui est une règle que nous suivons pour former la séquence. Maintenant, ce que cette règle nous dit?
La première transformation appliquée sur l'objet est la droite la plus dans la séquence, la prochaine transformation est des listes à gauche de cette transformation antérieure et ainsi de suite jusqu'à la dernière transformation. Donc, si nous appliquons la première transformation dit T1 sur l'objet, alors il devrait être placé au plus à droite. Maintenant, supposons que nous avons besoin d'une autre transformation qui est 2, puis T2 viendra sur le côté gauche de T1, s'il y a une transformation supplémentaire doit être appliquée dire T3 puis il vient de T2 et ainsi de suite jusqu'à la transformation finale dire Tn.
Il s'agit de la règle de droite à gauche ; la première transformation appliquée sur l'objet est sur le côté droit suivi d'autres transformations de séquence jusqu'au point le plus à gauche où nous placez la dernière transformation appliquée sur l'objet.
Donc, dans notre cas, nous pouvons la former de cette façon, la première transformation à appliquer est la mise à l'échelle suivie par la traduction. Donc, la règle de droite à gauche signifie en premier S, et sur son côté gauche sera T donc ces deux auront une multiplication comme montré par ces 2 matrices et le résultat sera cette matrice. Donc, c'est notre matrice composite pour cette transformation particulière. Une fois que nous aurons la matrice composite après avoir multiplié les matrices actuelles avec la matrice composite, nous obterons les nouveaux points.
Donc dans notre cas, cette étape nous mènera aux points comme montré ici, A'peut être dérivé en multipliant cette matrice composite par le vertex correspondant dans un système de coordonnées homogène pour obtenir ce dernier sommet dans un système de coordonnées homogène et c'est vrai pour B', C'et D'.
Maintenant, la dernière étape du cours, c'est de se transformer de la représentation homogène à la représentation réelle que nous faisons en divisant les valeurs x et y par le facteur homogène h. Maintenant, dans notre cas, c'est le cas où nous sommes préoccupés par la transformation géométrique, c'est 1. Donc, nos derniers points de transformation ou nos sommets devraient être obtenus de cette façon, A'nous allons obtenir en divisant les valeurs x et y par les facteurs homogènes, et de la même façon pour B', C'et D'.
Alors, ce que nous avons fait? Nous avons d'abord identifié les transformations de base. Ceci a été suivi par la formation de la séquence de droite à gauche, c'est-à-dire que nous mettons la transformation qui doit être appliquée sur l'objet au début comme la transformation la plus à droite, puis la transformation suivante à appliquer sur l'objet comme la transformation à gauche vers la transformation antérieure et ainsi de suite.
Ensuite, nous multiplions ces matrices de transformation de base pour obtenir la matrice de transformation composite. Ensuite, nous avons multiplié les points avec cette matrice de transformation composite pour obtenir les points de transformation dans un système de coordonnées homogène. Enfin, nous avons divisé les valeurs x et y de cette représentation de coordonnée homogène par le facteur homogène pour récupérer le point transformé original.
Nous devons nous rappeler ici que la multiplication matricielle n'est pas commutative. La formation de la séquence est donc très importante. Donc, plus tôt nous avons fait la traduction multipliée par la mise à l'échelle en suivant la règle de droite à gauche. Maintenant, si nous l'avons fait de l'autre façon que l'échelle suivie par la traduction, elle conduira à une matrice différente alors que cela nous a donné M, et puisque la multiplication matricielle n'est pas commutative, donc nous ne pouvons pas dire M=M'so actual Mationnelle M'. Donc, si nous ne créons pas correctement la séquence, alors notre résultat sera faux, nous ne pouvons pas obtenir les matrices de transformation appropriées.
Alors, comment décider quelle séquence suivre. Donc, plus tôt, nous avons simplement dit que nous appliquerons d'abord la mise à l'échelle et ensuite nous suivrons la traduction, sur la base de ce que nous avons pris cette décision. Essayons de comprendre à nouveau l'exemple où nous avons pris la décision que la mise à l'échelle devrait être suivie d'une traduction. Donc, ce qui était là dans le Lorsque nous avons discuté de la mise à l'échelle, nous avons mentionné une chose qui est lors de la mise à l'échelle de la position des changements d'objet. Maintenant, si nous traduisons rapidement et à l'échelle, alors la position du sommet pourrait avoir changé parce que la mise à l'échelle peut mener à un changement de position. Cependant, si nous échelons rapidement et que nous traduisons ensuite, nous allons de toute façon la repositionner au bon endroit où nous le voulons. Il n'y a donc aucune possibilité de changement de position. Donc, clairement dans ce cas, nous appliquons d'abord la mise à l'échelle et les changements qui s'y rattachent sont bien ceux qui sont suivis par la traduction. Si nous faisons cela dans cette séquence, alors nous n'avons pas de problème, alors c'était la logique derrière cette séquence.
Et en général, nous suivons cette logique où si nous avons besoin de plusieurs transformations de base à appliquer, alors nous conservons la traduction à la fin, la dernière transformation parce que la mise à l'échelle et le cisaillement sont susceptibles de changer la position de façon à ce que la traduction nous essayons de compenser avec cela de sorte que typiquement nous suivons cette règle de base. Exemple qui indique que ce serait la séquence?
Une chose doit être notée ici, lorsque nous avons appliqué la mise à l'échelle, nous l'avons appliquée à l'origine. L'origine est donc le point fixe dans l'exemple. Cependant, ce n'est pas nécessairement vrai. Nous pouvons avoir un point fixe situé à n'importe quelle coordonnée dans un système de coordonnées. Alors, dans de tels cas, ce que nous faisons? Nous appliquons l'approche que nous avons déjà vue dans l'exemple, mais avec une légère modification. Donc, notre approche lorsque nous envisageons un point fixe qui n'est pas l'origine est légèrement différente, voyons comment elle est différente.
Supposons qu'il y ait un point fixe F et que nous voulons mettre à l'échelle en ce qui concerne ce point fixe. Maintenant, ce n'est pas l'origine, c'est situé à n'importe quel endroit arbitraire. Maintenant, pour déterminer la séquence de transformation, nous supposons une séquence d'étapes. Donc, si l'échelle était en ce qui concerne l'origine, alors nous n'avons pas besoin d'autre chose que nous mesurons simplement, mais si ce n'est pas avec le respect de l'origine, si c'est à l'égard d'un autre point fixe qui n'est pas l'origine, alors Qu'est-ce que cette séquence? Donc, d'abord nous traduisons le point fixe à l'origine ce qui veut dire, nous faisons le montant de la traduction en tant que tel Tx est -x et Ty est -y; c'est la première transformation. Ensuite, nous réalisons une mise à l'échelle en ce qui concerne l'origine, c'est important. Donc, notre matrice de mise à l'échelle est définie par rapport à l'origine. Donc, nous avons d'abord apporté ou d'une façon conceptuelle a amené le point fixe à l'origine puis effectuer la mise à l'échelle et puis le point fixe est retranslaté à son lieu d'origine, maintenant Tx devient x et ty devient y, inverse la traduction.
Alors, comment former la séquence? Il va suivre le même droit à la règle de gauche, la première traduction est la transformation la plus à droite qui amène le point fixe à l'origine, ceci est suivi par une mise à l'échelle pour que c'est la seconde transformation qui est suivie par la traduction inverse qui porte le point sur le point d'origine de nouveau qui est la transformation la plus à gauche. Donc, notre matrice composite sera une multiplication de ces matrices ; T, S et T, appelons-le T1 et T2. Nous multiplions pour obtenir les matrices composites représentant l'échelle par rapport à n'importe quel point autre que l'origine.
Et de la même façon nous pouvons effectuer d'autres transformations de base par rapport à n'importe quel point fixe autre que l'origine. Ceci est un exemple, qui montre la procédure que nous venons de mentionner, c'est maintenant supposer que cet objet original a été défini non pas avec un sommet à l'origine, mais ici où nous avons de nouveaux sommets et le nouveau point avec le respect que la mise à l'échelle a lieu est à T qui est (5, 5), et le même objet est placé ici après la mise à l'échelle et la traduction. Donc dans ce cas, la traduction n'est pas nécessaire parce qu'elle était déjà à ce moment et que seule la mise à l'échelle a eu lieu.
Donc, si nous appliquons l'approche précédente que nous avons décrite. Donc, ici nous exécutons l'échelle par rapport à ces points fixes D, et la matrice de transformation, la matrice de transformation composite peut être trouvée en multipliant ces 3 matrices. Donc, d'abord nous traduisons cette origine du point fixe pour que Tx soit -5, Ty sera -5. Ensuite, nous réalisons l'échelle par rapport à l'origine le long de l'axe x qui est sx sera 1/2, sy sera 1. Et puis nous traduisons ce point à la position originale qui est Tx= 5, Ty=5 qui est la matrice composite. Donc, une fois que nous aurons cette matrice composite pour la mise à l'échelle, nous l'appliquons aux points pour obtenir les points transformés.
Et comme je l'ai dit, nous pouvons suivre une approche similaire en ce qui a été de la rotation et du cisaillement en transformant d'abord le point fixe par rapport auquel la rotation est en cisaillement a dû être effectuée à l'origine puis en effectuant l'opération correspondante, puis la traduire à l'emplacement d'origine. Donc, pour la rotation, nous aurons d'abord une traduction. Elle est suivie d'une rotation par rapport à l'origine. Ceci est suivi par ce qui sera suivi par la traduction vers l'emplacement du point fixe d'origine.
Pour le cisaillement de la même approche, la traduction vers l'origine, suivie d'un cisaillement par rapport à l'origine, suivie de la traduction vers l'emplacement initial du point fixe. Il s'agit donc de la forme matricielle composite pour l'exécution de l'une des opérations de base à l'égard d'un point fixe qui n'est pas d'origine.
Donc, pour récapituler, si nous exécutons l'opération de base en ce qui concerne l'origine, alors nous n'avons pas besoin de faire quoi que ce soit d'autre, nous appliquons simplement la matrice de transformation de base. Cependant, si nous réalisons l'opération par rapport à un point qui n'est pas l'origine, alors nous réalisons une transformation composite qui implique 3 transformations de base ; la première est la traduction traduire le point fixe à l'origine, la seconde est la transformation réelle qui est soit la mise à l'échelle, la rotation ou le cisaillement, et le troisième est de traduire le point fixe en son lieu d'origine.
Et nous l'exécutons dans ce droit à gauche de manière à ce que c'est le droit le plus, alors ce sera l'un à gauche, la seconde transformation et la troisième sera à gauche de cette seconde transformation. Donc si on met la séquence, premier arrivé 1, ça sera suivi de 2, ça sera suivi de 3.
Pour une meilleure compréhension, passe par un autre exemple, qui illustrera l'idée plus loin. Maintenant, supposons que nous avons besoin de plus d'une transformation, donc nous appliquerons le même processus que nous avons déjà exposé.
Considérez cet objet, quelles sont les transformations requises pour placer cet objet comme une cheminée en proportion ici, comme vous pouvez voir que nous avons besoin de faire pivoter cet objet ici. Ainsi, plus tôt la surface devient ici, donc c'est une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, une rotation positive de 90 degrés, et la taille réduit aussi de moitié le long de la direction x. Donc sx devrait être 1/2, mais toutes ces opérations de base ont eu lieu par rapport à ce point fixe. Alors, comment obtenir la matrice composite?
Donc, nous traduisons d'abord le point fixe à l'origine de sorte que c'est T (-5, -5), puis nous échelons pour en faire 1/2 alors S moitié 1, le long de l'axe y il n'y a pas de changement, nous le gardera 1. Donc, nous obtenons des objets comme celui-ci, puis nous le tournons pour obtenir ce dernier. Donc, faites pivoter à 90 degrés, mais ces 2 opérations que nous avons réalisées avec le respect de l'origine après la traduction du point fixe à l'origine. Donc, maintenant nous devons le traduire pour une autre traduction (5, 5). Donc, ça va ressembler à ça. Donc, si on remplace cette notation par des matrices réelles, on aura ces quatre matrices et quand on se multipliera, on aura la matrice composite qui ressemblera à ça. Donc, c'est notre façon d'obtenir une matrice composite lorsque nous essayons d'effectuer des opérations de base multiples par rapport à un point qui n'est pas l'origine. Les matrices se sont combinées lorsqu'elles sont multipliées, ce qui nous donne la matrice composite.
Et après avoir obtenu la matrice composite, nous suivrons les mêmes étapes que nous multiplierons les points de surface par exemple, ces points supposent ou n'importe quel autre point de surface avec la matrice composite pour obtenir le point transformé, et cela nous amène à la fin de cette discussion. Alors, avant de la mettre fin, essayons de récapitulation ce que nous avons appris aujourd'hui.
Tout d'abord, nous avons discuté d'une représentation alternative pour les transformations de base qui sont les systèmes de coordonnées homogènes où nous représentons un point 2D à l'aide d'un système de coordonnées 3D. Et comme nous l'avons vu, cela facilite la construction de paquets graphiques modulaires ou de bibliothèques. Ainsi, en utilisant cette forme homogène, nous pouvons représenter les 4 transformations de base à l'aide de 3 matrices 3.
Alors ce que nous avons appris est de former une matrice composite à la suite de la règle de droite à la règle de gauche pour que la première matrice que nous appliquons sur les objets devrait être la droite la plus droite, la prochaine matricielle que nous appliquons devrait être la gauche à droite la plus matricielle et ainsi de suite jusqu'à la dernière transformation. Et nous multiplions toutes ces matrices ensemble pour obtenir les matrices composites. Une fois que nous obtenons la matrice composite, nous la multiplions avec les points pour obtenir les points transformés dans un système de coordonnées homogène.
Enfin, nous divisons ces valeurs x et y dans le système homogène par le facteur homogène pour récupérer les points d'origine. Nous avons également appris comment effectuer les transformations de base à l'égard d'un point qui n'est pas d'origine. Les notations antérieures devaient être interprétées en fonction de l'origine de sorte que lorsque nous avons un point fixe et que nous sommes censés effectuer la transformation de base par rapport à ce point fixe, qui n'est pas l'origine, alors nous suivons une approche matricielle composite, nous traduisons d'abord le point fixe à l'origine, réalisons les transformations nécessaires des transformations de base par rapport à l'origine et traduisons le point de retour à son emplacement d'origine.
Suivant le même droit à la règle de gauche, nous obtenons la matrice composite pour représenter la transformation de base par rapport à n'importe quel point arbitraire. Jusqu'à présent, tout ce que nous avons discuté est lié aux transformations 2D. Dans la conférence suivante, nous allons apprendre les transformations en 3D.