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Introduction aux splines

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Bonjour et bienvenue à la conférence numéro 7 dans le cours Computer Graphics.
Comme nous l'avons déjà mentionné dans les techniques de représentation des objets, il y a généralement 5 catégories, l'un est le rendu de l'échantillon. La seconde est la représentation aux limites, puis le partitionnement de l'espace, puis la représentation par balayage, et enfin d'autres techniques de représentation spécifiques qui sont propres à une application ou font référence à certaines techniques avancées telles que les graphes de scène, le modèle squelettique et d'autres techniques de modélisation avancées telles que la représentation fractale et les systèmes de particules.
Dans la représentation aux limites, il y a 3 grands groupes de techniques. L'une est la représentation du maillage, l'une est la représentation paramétrique, et l'autre est la représentation implicite. De même, dans la représentation de partitionnement d'espace, il existe 3 techniques générales de représentation basée sur octree BSP ou les arborescences de partitionnement d'espace binaire et les techniques CSG. Maintenant, parmi tous ces sujets, nous discutons actuellement des techniques de représentation des limites et nous poursuivrons notre discussion sur cette technique.
Dans les techniques de représentation aux limites. Lors de la dernière conférence, les dernières conférences, nous avons couvert la représentation des mailles et introduit l'idée de représentation paramétrique et implicite. Aujourd'hui, nous poursuivrons notre discussion sur la représentation des limites aujourd'hui, nous nous concentrerons sur une technique de représentation des limites spécifique et populaire, appelée représentation spline.
Donc, pour comprendre la technique de représentation de la spline, nous devons comprendre comment nous représentons la courbe. La courbe est très courante, une forme primitive qui est requise à de nombreux endroits pour représenter des objets, en particulier dans le contexte de formes complexes nous ne pouvons pas éviter de représenter des courbes uniquement avec des lignes ou des points, il peut ne pas être possible de représenter des formes complexes, et nous devons prendre en compte les courbes.
Pour simplifier notre discussion, nous nous concentrerons ici uniquement sur la représentation paramétrique des courbes, bien que plus tôt nous ayons introduit les deux types, à savoir la représentation paramétrique et la représentation implicite. Comment nous pouvons représenter les courbes, en général, en utilisant la forme paramétrique, nous pouvons utiliser un seul paramètre u sera noté par u pour représenter les courbes ou ses coordonnées cartésiennes à l'aide de ces équations. Celle-là est pour représenter la coordonnée X. L'autre est pour représenter la coordonnée Y où X est une fonction de u et Y est une autre fonction de u. Essayons de comprendre l'intuition qui sous-tend cette représentation. On peut supposer que u est le temps de dénouement. On peut y penser de cette façon, on dessine la courbe sur un espace cartésien 2D sur une période de temps maintenant à un instant de temps, on place un point cartésien. Alors on peut dire qu'à ce moment le point cartésien est que, en d'autres termes, le point cartésien est caractérisé par le temps, qui est u. Donc, pour l'essentiel, u dénote un instant précis, à quel moment nous pouvons déterminer les valeurs de coordonnées correspondantes à l'aide de l'équation. C'est l'intuition simple qui sous-tend l'idée de la représentation paramétrique d'une courbe.
Il s'agit donc de comprendre comment la courbe de représentation est paramétrable. Maintenant, notre objectif est de représenter la courbe facilement et efficacement. Permettez-nous d'en préciser un peu plus.
Comme nous le savons tous, nous pouvons nous rapprocher d'une courbe en termes d'un ensemble de segments de petites lignes, bien sûr ici les segments doivent être très petits pour rendre la courbe lisse, sinon, la courbe en fait un aspect décalé. Maintenant, il est clair que c'est très facile, intuitif, mais peut ne pas être efficace. Il se peut que nous ayons à fournir un grand nombre de points pour tirer des jugements de petites lignes.
Il pourrait y avoir une autre alternative. Nous pouvons utiliser l'équation de courbe et appliquer l'équation pour trouver n'importe quel point sur la courbe. Il est donc nettement préférable de spécifier un nombre de points manuellement élevé pour se rapprocher de la courbe sous la forme d'un ensemble de segments de ligne. Donc, il est clair que c'est facile et qu'il peut s'avérer efficace aussi. Mais le problème ici est que pour de nombreuses courbes, nous ne serons peut-être pas en mesure de trouver l'équation elle-même. Il est très difficile pour une courbe arbitrairement définie de trouver la question de courbe. Alors, essayons de comprendre ces problèmes de ce point de vue d'un utilisateur, ce que pense l'utilisateur.
Et quels sont les problèmes auxquels l'utilisateur est confronté? Désormais, l'utilisateur souhaite générer une courbe de n'importe quelle forme arbitraire. Si nous essayons de représenter la courbe sous la forme d'un grand nombre de segments de petite ligne, l'utilisateur doit alors entrer un très grand nombre de points via lesquels les segments de ligne peuvent être générés. De toute évidence, aucun utilisateur ne serait intéressé à entrer un très grand nombre de ces points. D'autre part, pour un utilisateur. Il peut être difficile, voire impossible, de trouver une équation précise de la courbe. Donc, donc, dans les deux approches, l'utilisateur ne sera pas bénéfique.
Idéalement, ce qu'un utilisateur devrait faire ou ce qu'un utilisateur veut faire, l'utilisateur veut fournir un nombre limité de points. Maintenant, ces points définissent la courbe. Ainsi, essentiellement, l'utilisateur ne fournit pas tous les segments de ligne possibles pour se rapprocher de la courbe ou fournir une équation précise pour trouver des points sur la courbe. A la place, l'utilisateur fournit un ensemble de points limité ou limité qui définit la courbe. En d'autres termes, ces points ont été choisis de sorte que la courbe passe à travers ou à proximité de ces points, ces points sont également appelés points de contrôle.
Donc, l'alternative à l'utilisateur est de fournir un petit ensemble de points de contrôle au lieu de fournir un large ensemble de points à travers quels segments de ligne peuvent être tracou ou donner une équation de courbe précise. L'utilisateur a donc fourni un ensemble de points de contrôle. Et l'utilisateur s'attend à ce que le système tire la courbe par interpolation en interpolant ces points de contrôle. Alors, essayons de comprendre brièvement quelle est l'idée d'interpolation, beaucoup d'entre vous ou peut-être vous connaissez peut-être déjà ce qui est interpolation, mais il n'y a pas de mal à rafraîchir nos connaissances.
Donc essentiellement, lorsque nous parlons d'interpolation, ce que nous entendons, nous entendons essentiellement par interpolation d'ajustement d'une courbe qui passe à travers ou à proximité de l'ensemble de points fournis ou des points de contrôle. Une forme d'interpolation est une interpolation polynomiale. Dans cette interpolation ce que nous faisons, nous essayons d'ajuster une courbe polynomiale à travers l'ensemble de points de contrôle donnés. Maintenant, l'interpolation polynomiale est très populaire parce qu'on considère généralement que ces interpolations sont simples, efficaces et faciles à manipuler. Donc, nous nous concentrerons ici sur l'interpolation polynomiale. Maintenant, en fonction du nombre de points de contrôle, le degré d'interpolation polynomiale est décidé. Donc, quand on parle d'interpolation polynomiale, on s'inquiète de ce qui devrait être le degré de polynôme maintenant qui peut être décidé en fonction du nombre de points de contrôle fournis.
Prenons un exemple, supposons qu'on nous donne 2 points de contrôle dans une telle situation, il est conseillé d'aller pour une interpolation linéaire plutôt que toute autre forme d'interpolation plus élevée parce que nous n'avons que deux points de contrôle. De même, s'il y a 3 points de contrôle, alors on peut aller pour des polynômes quadratiques. Il y a 4 points de contrôle qui utilisent le degré en conséquence et ainsi de suite. Par conséquent, nous pouvons dire qu'en général pour n + 1 points de contrôle, nous pouvons essayer d'ajuster le polynôme de degré n qui est représenté ici dans cette figure, on nous donne ces points de contrôle à travers lesquels nous essayons de tenir une courbe. Et si le nombre de points de contrôle est n + 1, alors la courbe que nous devrions travailler avec ou le polynôme avec laquelle nous devrions travailler devrait avoir le degré n idéalement. Notez le système d'équations que nous avons mentionné ici. Ceci est pour la coordonnée X, de même pour la coordonnée Y, nous pouvons avoir un ensemble similaire de systèmes. Maintenant, puisqu'il s'agit de n points de contrôle, nous avons n x valeurs de coordonnées pour chacune de ces coordonnées. Nous avons une équation de la courbe en termes de paramètre et donc pour le n nombre de points de contrôle, nous avons n nombre d'équations.
Maintenant, dans ces équations il y a des termes constants, ce sont les coefficients comme un 0, a1 à an-1.
Si on décide de ces coordonnées, on peut définir le polynôme. Donc, pour obtenir les valeurs de cette coordonnée ces coefficients ce que nous devons faire, nous devons résoudre l'ensemble des équations. L'équation n plus une que nous avons vue plus tôt. Si on résout ça, on obtiendra ces valeurs des coefficients qui définissent le polynôme.
Mais il y a un problème, si nous avons un très grand n si nous avons de nombreux points de contrôle, un grand nombre de n. Ensuite, nous devons résoudre un très grand nombre d'équations, ce qui n'est pas facile. En plus, nous devons garder à l'esprit qu'il y a deux ensembles distincts d'équations, l'un pour X et l'autre pour Y. Donc, nous devons résoudre en fait deux ensembles d'équations plutôt qu'un seul et pour l'ensemble, et cela devient très lourd à faire.
En plus de cela, il y a un problème de plus, qui s'appelle la question de la contrôlabilité locale. Supposons que vous ou l'utilisateur veuille modifier légèrement la forme. Ainsi, avec l'équation polynomiale, on obtient une courbe qui représente une forme.
Maintenant, je veux le changer quelque peu. Alors idéalement, que dois-je faire? Un changement d'un ou de quelques points de contrôle pour indiquer le petit changement. Mais si nous allons pour une interpolation polynomiale, puis pour obtenir la nouvelle courbe, il se peut que nous ayons à recalculer l'ensemble de la chose. Il se peut donc que la courbe entière soit recalculée. Ce qui n'est évidemment pas une bonne chose parce que nous avons changé quelques points et, idéalement, nous devrions être en mesure de limiter nos calculs préalables à ces quelques points seulement, mais nous devons à la place résoudre à nouveau l'ensemble des équations, ce qui n'est pas une approche efficace.
Donc, ce problème est connu sous le nom de contrôlabilité locale, où nous ne sommes pas en mesure de contrôler localement les changements locaux. Nous devons contrôler les changements locaux par le recalcul global de la courbe. Maintenant, pour aborder ces questions, il y a une autre solution dont nous discuterons.
Alors, quelle est cette approche alternative? Supposons que nous sommes à nouveau donnés n plus un point de contrôle, quelle que soit la valeur de n, nous pouvons partitionner le jeu entier en sous-ensembles avec moins de points.
En général, ces points sont moins nombreux à 3. Ainsi, étant donné un ensemble de n plus un point, nous pouvons avoir des sous-ensembles où chaque sous-ensemble contient trois points de contrôle. Maintenant pour chacun de ces sous-ensembles, nous pouvons ajuster les polynômes de degré inférieur. Dans ce cas, les polynômes de degré 2 pour chacun des sous-ensembles.
Et puis ces polynômes individuels de degré inférieur, qui sont aussi appelés pièces polynomiales, lorsqu'ils se rejoignent, ils donnent la courbure générale. L'idée est donc très simple. On vous donne un grand nombre de points de contrôle, mais il n'est pas nécessaire d'ajuster une seule courbe polynomiale en utilisant l'ensemble des points de contrôle. Au lieu de cela, nous divisons l'ensemble des points de contrôle en sous-ensembles de plus petits nombres. Chaque sous-ensemble contient très peu de points de contrôle.
Une valeur typique utilisée est de trois et pour chacun de ces sous-ensembles, nous ajustons ou interpolons un polynôme plus petit. Et ces polynômes, quand ils se rejoignent, ils donnent la courbure générale. Donc, ces polynômes individuels sont aussi connus sous le nom de pièces polynomiales. Donc, la courbe entière que nous représentons en termes de pièces polynomiales. Prenons un exemple, considérons ce chiffre ici. Il y a 5 points de contrôle p0 à p4 comme vous pouvez le voir, p0, p1, p2, p4 p3 et p4. Maintenant, ces 5 points ne doivent pas être utilisés pour dessiner un seul polynôme.
Ce qui dans ce cas serait du degré 4 au lieu de ce que nous pouvons faire, nous pouvons subdiviser les courbes ou l'ensemble de points de contrôle en sous-ensembles. Comme les deux sous-ensembles présentés ici dans un sous-ensemble, nous avons trois points de contrôle p0, p1, p2 un autre sous-ensemble nous avons encore 3 points de contrôle p2, p3, p4.
Pour chacun de ces sous-ensembles, nous avons un polynôme quadratique ou degré 2, puis quand ils se joignent, nous obtenons la courbe globale interpolée. C'est l'idée de base.
Maintenant, cette idée d'ajuster un ensemble de points de contrôle avec plusieurs polynômes de degré inférieur à un seul polynôme de degré supérieur est connue sous le nom de représentation spline. Donc, lorsque nous parlons de représentation de la spline, nous faisons essentiellement référence au fait qu'il existe un ensemble de points de contrôle, mais nous n'interpolons pas l'ensemble de l'ensemble avec une courbe polynomiale unique. Au lieu de cela, nous le représentons en termes de plusieurs pièces polynomiales. Maintenant la totalité de la carve est appelée courbe de la colonne vertébrale simplement spline.
Il s'agit d'une technique de représentation de courbe très populaire utilisée dans les graphiques informatiques.
Dans les graphiques, il est très fréquent d'utiliser des splines en troisième ou n = 3 polynômes, également connus sous le nom de polynômes cubiques. Dans notre discussion ultérieure, nous nous concentrons. Nous nous concentrerons uniquement sur ces polynômes et sur les splines correspondantes. Il y a une chose importante dans la représentation de la spline que nous devons garder à l'esprit, c'est ce qu'on appelle la condition de continuité. Les splines, comme nous l'avons discuté, font référence à l'assemblage de plusieurs polynômes. Il est donc important de veiller à ce qu'elles se déroulent en douceur. Pour rendre la courbe résulelle lisse.
Maintenant, comment s'en assurer? Pour que cela se produise, les splines doivent être conformes à ce qui est connu sous le nom de condition de continuité. Il existe plusieurs de ces conditions générales, elles sont de deux types, l'une est la condition de continuité paramétrique et l'autre est la continuité géométrique. Ainsi, en général, la condition de continuité paramétrique de la nième ordre indiquée par Cn indique que les courbes adjacentes se rencontrent et d'abord les dérivées paramétriques de l'ordre du nème des fonctions de courbe adjacentes sont égales à leur frontière commune, c'est-à-dire la définition générale. Maintenant, voyons ce qu'ils font en termes simples.
Ainsi, la première condition de continuité paramétrique est C0, la condition d'ordre zéro, qui indique simplement que la courbe adjacente se rencontre. C'est juste que la condition simple.
A présent, la condition de premier ordre paramétrique C1 indique que les dérivées de premier ordre des courbes contiguës à la frontière commune sont égales. Donc, il dit essentiellement qu'à la limite commune, nous devons faire en sorte que le premier dérivé paramétrique de l'ordre. Cela signifie que le dérivé par rapport au paramètre u de la courbe doit être égal. D'une façon similaire, C2 indique que les dérivées du premier et du second ordre sont égales à la limite commune. Et de cette façon, on peut continuer. Mais comme dans les graphiques nous nous concentrons principalement sur les polynômes de troisième degré, nous nous préoccupons surtout de ces conditions de continuité jusqu'à C2. Maintenant, ces conditions de continuité paramétriques sont suffisantes, mais pas nécessaires pour assurer un lissage géométrique de la spline. Pour cela, ce dont nous avons besoin, c'est de se conformer à l'autre ensemble de conditions de continuité appelées conditions de continuité géométrique. Maintenant, qu'est-ce que c'est? La condition d'ordre 0 est indiquée par G0. Il s'agit de la condition d'ordre zéro qui est similaire à C0, qui indique simplement que les courbes doivent se rencontrer. De même, G1 ou la condition de continuité géométrique de premier ordre indique que les directions tangentes à la frontière commune doivent être égales, bien qu'elles soient des amplitudes différentes, de sorte que les directions doivent être égales mais que les amplitudes peuvent varier à la frontière qui est la condition de continuité géométrique G1 ou premier ordre.
La condition de second ordre ou G2 indique que la direction tangente et les courbures à la limite commune des courbes adjacentes doivent être égales. Encore une fois, nous pouvons continuer comme cela jusqu'à n'importe quel ordre, mais comme nous sommes pour la plupart concernés par des polynômes cubiques, jusqu'à G2 devrait être suffisant pour notre compréhension. Donc, c'est une connaissance élémentaire que nous devrions avoir sur les splines qui est, si nous voulons représenter n'importe quelle courbe comme des splines, c'est-à-dire en termes de petits morceaux polynomiaux, nous devons nous assurer que les courbes sont conformes aux conditions de continuité, aux conditions de continuité paramétriques et géométriques.
Maintenant, essayons de voir quels sont les différents types de représentations de Spline que nous pouvons utiliser. Il y a généralement deux types. L'une consiste à interpoler les splines. Une autre est l'approximation des splines.
Maintenant, en cas d'interpolation de splines, ce que nous voulons? Nous essayons essentiellement d'ajuster la courbe telle qu'elle passe par tous les points de contrôle. Ainsi, on nous donne essentiellement un ensemble de points de contrôle et nous représentons la courbe sous forme de splines, de façon à ce que les pièces polynomiales de la spline passent à travers tous les points de contrôle comme indiqué dans cette figure.
Maintenant, les éclabines d'interpolation couramment utilisées dans les graphiques d'ordinateur sont des splines cubiques naturelles, des splines cubiques de hermite et des splines cubiques Cardinal. Donc, nous discuterons plus tard de ces splines.
L'autre type de courbes de Spline est appelé approximating splines ici. Les points de contrôle sont utilisés pour définir une frontière ou une coque convexe, la spline elle-même ne passe pas par tous les points de contrôle.
Au lieu de cela, elle est limitée à l'intérieur de la limite définie par les points de contrôle. Prenons le même exemple ici que nous avons 4 points de contrôle. Mais ici, la courbe ne passe pas par les 4 points de contrôle, contrairement aux précédentes en cas d'interpolation de splines, ce qui se passe ici est que ces points de contrôle définissent une région de liaison, une limite qui est communément appelée coque convexe, et la spline se trouve à l'intérieur de cette limite.
En d'autres termes, la forme de la spline est déterminée par la convection. Maintenant, il y a quelques splines communes et populaires approximant les splines utilisées dans les applications, à savoir les courbes de Cubic bezier et les splines de Cubic B, encore une fois discuteront de ces dernières. Donc, c'est l'idée de base de la spline.
Ce que c'est et ce qui les rend bonnes pour représenter n'importe quelle courbe.
Il s'agit donc essentiellement d'une forme complexe en termes de polynômes plus petits, gérables, de polynômes plus faibles ou de pièces polynomiales. Et il est capable de représenter les Courbes en douceur parce que les splines sont supposées être conformes aux conditions de continuité. Maintenant, essayons de comprendre comment nous représentons la spline. Il s'agit de savoir comment représenter les objets représentés par des splines.
Comment pouvons-nous représenter des splines? Il y a deux façons, en gros, de se fonder ou de mélanger une représentation basée sur la fonction. L'autre est la représentation basée sur les indicateurs de base. Et ces deux sont équivalents. Bien sûr, c'est tout à fait évident et on peut se convertir à l'autre et vice versa.
Prenons quelques exemples pour comprendre la représentation ainsi va commencer par les métriques de base, la représentation des splines. Et nous allons commencer par un exemple simple. Considérons un polynôme de degré un qui est un polynôme linéaire, qui dans la forme paramétrique que nous pouvons représenter en f u égal à a0 plus ua1. Maintenant a0, a1 sont des coefficients. Et u est le paramètre que nous devons garder à l'esprit ici qu'il s'agit d'une représentation compacte. Ai comme a0, a1 représente en fait des vecteurs comprenant deux composants, un chacun pour les coordonnées correspondantes. Donc, a0 a en fait des valeurs a0x, a0y séparées pour les coordonnées x et y.
De même, le fu devrait avoir des expressions correspondantes, à savoir fxu et fyu. Cependant, pour simplifier, nous travaillerons avec cette forme compacte plutôt que la forme développée. Maintenant, cette équation paramétrique que nous pouvons représenter sous forme de matrice U.A. Ainsi, il s'agit d'un produit point de deux matrices, U et A. U est le paramètre métrique et A est le coefficient métrique.
Lorsque U est indiqué sous la forme de ce vecteur 1, u et les mesures A sont indiquées dans ce formulaire de vecteur de colonne. Avoir les deux coefficients a0, a1 dans notre exemple. Maintenant, puisqu'il s'agit d'un polynôme de degré 1, nous avons besoin d'au moins deux points de contrôle pour déterminer f. Disons ces deux par p0 et p1.
Maintenant, ces points que nous utiliserons pour paramétrer le polynôme, en d'autres termes, nous supposerons que certaines valeurs de paramètres et donc ces points de contrôle, par exemple, nous pouvons supposer que les points de contrôle dénotent les valeurs de la fonction à la frontière où nous pouvons définir la frontière comme les points où le paramètre valorise le texte de la valeur 0 et 1.
Si c'est le cas, alors nous pouvons mettre en place notre système d'équations comme indiqué ici, deux-équations. Un pour p0, un pour p1 avec la valeur de paramètre fixée. Maintenant, en résolvant ces équations, nous pouvons obtenir les coefficients.
Cependant, si nous regardons de près, nous pouvons voir que le même système d'équations que nous pouvons représenter sous forme de matrices. Maintenant, quelle est cette représentation matricielle, nous pouvons la représenter comme étant capable de C.A. Où p est défini comme un vecteur de colonne C est défini comme un autre vecteur de colonne et A est défini comme un autre vecteur de colonne.
Donc, comment nous avons construit la matrice C, nous avons pris les coefficients de ai. Cela signifie de a1 à une dans cet ordre. Ces termes dans chaque équation à partir de la ligne correspondante de la matrice C. Donc, la première équation que nous avons prise pour la première rangée et ainsi de suite. En d'autres termes, nous avons imposé certaines contraintes. Les conditions de paramétrisation comme contraintes pour obtenir C. En conséquence, C est appelée matrice de contrainte. Nous savons maintenant que P est égal à C. A, on peut donc dire que A égal à C-1.P. Maintenant, cet inverse de la matrice constante est appelé matrice de base. Donc, nous pouvons représenter f comme U.A qui peut être dépensé, en tant que U.C-1.P ou UBP. Donc, c'est la façon de représenter f en termes de multiplication matricielle. Une chose que nous devons noter ici, c'est que la matrice de base. Pour un polynôme interpolant qui satisfait les conditions de paramétrage est fixé. En d'autres termes, la matrice ou la matrice de base caractérise de façon unique le polynôme. Donc, si on utilise la matrice de base B à la place de l'équation polynomiale, alors c'est aussi bon que de représenter le polynôme parce que B est fixé pour le polynôme particulier.
Maintenant, nous savons que la spline est constituée de pièces polynomiales. Maintenant, si chaque pièce est faite du même type de polynôme, cela signifie que le degré et les contraintes sont les mêmes. Ainsi, dans l'ensemble, la spline peut être caractérisée de façon unique par chaque pièce. Et comme nous avons déjà mentionné qu'une pièce polynomiale peut être caractérisée par la matrice de base, alors la matrice de base peut aussi être utilisée pour caractériser de manière unique toute la spline. Donc, lorsque nous représentons la spline, nous pouvons simplement la représenter en termes de matrice de base.
Maintenant, c'est la représentation matricielle de la spline. Donc, pour récapitulation en fonction d'un polynôme, nous pouvons avoir une matrice de base unique pour ce polynôme sous certaines contraintes. Ainsi, la matrice de base convient pour représenter le polynôme. Les mêmes pièces polynomiales sont utilisées pour représenter une spline. Ainsi, pour chaque pièce polynomiale, nous avons les mêmes paramètres pour que nous puissions utiliser une matrice de base unique pour représenter la spline globale, parce que la matrice de base nous dira que des pièces polynomiales particulières sont utilisées pour représenter la spline. Il s'agit de la représentation matricielle des splines.
Cette explication que nous venons de mentionner, donc la matrice de base fait référence aux pièces polynomiales de cette spline, nous supposons que toutes les pièces sont faites de même polynôme. La matrice de base polynomiale représente donc toute la spline. Maintenant, concentrons-nous l'attention sur l'autre type de représentation de la spline, à savoir la représentation de la fonction de mélange. Maintenant, plus tôt, nous avons vu que nous pouvons représenter f en termes de matrice de base, comme U.B.P. Maintenant, si nous élargissons le côté droit, nous obtenons la somme pondérée des polynômes avec les points de contrôle étant les poids. Ainsi, dans notre exemple, dérions-en et voyons ce qui se passe. Ainsi, dans notre exemple, nous avons un polynôme de degré 1 et nous avons les matrices à partir de u est celui-ci. B, cette matrice et C sont les mesures du point de contrôle. Si nous nous étendons, nous aurons cette équation en termes des points de contrôle. Maintenant, les polynômes individuels de la somme pondérée, tels que le terme 1-u et u sont les fonctions de mélange. Ainsi, la fonction globale est représentée sous la forme d'une somme pondérée de polynômes. Et ces polynômes individuels sont appelés la fonction de base ou les fonctions de mélange.
Maintenant, pour un polynôme donné, les fonctions de mélange sont également fixées afin que nous puissions les utiliser pour caractériser le polynôme. Ainsi, pour un polynôme donné avec des contraintes, les fonctions qui peuvent être utilisées pour la représenter sont fixes. Donc, ce jeu de fonctions de mélange peut être utilisé pour caractériser le polynôme de sorte que nous pouvons appliquer la même logique ici. Spline constituée de plusieurs pièces du même type polynomial. Par conséquent, ils peuvent aussi être représentés en termes de fonctions de mélange puisqu'ils caractérisent de façon unique les pièces polynomiales constituantes.
Donc, sous une forme compacte, nous pouvons représenter une Spline ou la courbe f de cette façon où pi est le point de contrôle i-th et bi est la fonction de mélange.