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Réalité virtuelle Prof. Steve Lavalle Département de mathématiques appliquées Institut indien de technologie, Conférence de Madras-05 Géométrie des mondes virtuels (algèbre matricielle et 2D)
Je veux maintenant aller à la rotation et pour faire ça, je veux généraliser un peu et je veux parler de transformations linéaires et je vais supprimer 1 dimension et généraliser un peu. Donc, je vais au lieu de passer directement à 3 rotations D, je vais parler des transformations linéaires de 2 D. Et puis je veux parler des types de propriétés qu'une rotation de 2 D devrait avoir parce que 2 D est très facile à comprendre alors quand nous comprenons ces propriétés va généraliser jusqu'à 3 D et nous allons voir une structure, je pense que c'est intéressant que vous n'avez peut-être pas vu auparavant.
(Référez-vous à la diapositive: 00:50) Donc, réfléchissons aux transformations linéaires de 2 D ; 2 D transformations linéaires ; ainsi, je vais juste avoir une matrice 2 par 2 M 1 1, M 2 1, M 1 2 et M 2 2 2 2 à 2 par matrice avec des entrées réelles et j'ai un point de 2 dimensions. Donc, au lieu d'avoir X, Y, Z, j'ai juste X, Y, je l'écrai verticalement. Donc, que nous pouvons effectuer des opérations matricielles, quelqu'un a pensé que c'était une bonne idée de l'écrire de cette façon. Donc, nous avons toujours et nous le faisons en algèbre linéaire.

Donc, si j'effectue une transformation linéaire, je peux dire que X prime le premier à droite. Donc, en d'autres termes, j'ai un point X Y et en appliquant cette matrice, j'ai un X premier choix de droite. Donc, une sorte de transformation a été réalisée à nouveau nous sommes juste en 2 dimensions ici nous laisse, permet d'écrire un système de coordonnées de 2 D ; le système de coordonnées cartésiennes.
(Voir Diapositive Heure: 02:01) Donc, j'ai l'axe Y de l'axe X et je veux penser au cas le plus simple, c'est le point 1 virgule 0 ici et c'est le point 0 virgule 1, il s'agit de la base standard que nous utilisons pour les coordonnées cartésiennes tout le temps et je veux réfléchir à ce qui arrive à ceux-ci lorsque nous réalisons nos transformations. Donc, nous avons M 1 1, M 1 2, M 2 1, M 2 2. Transformons ce premier point ici 1 virgule 0, droite. Donc, si nous transformons ce 1 0. Donc, j'ai mis le point ici, je regarde ce que nous obtenons lorsque nous réalisons la multiplication.
(Heure de la diapositive: 03:02)

Et nous obtenons M 1 1, M 2 1, à droite.

Donc, j'effectue cette multiplication et il tombe de la deuxième colonne tout ce que je reste ici est la première colonne en faisant cette opération.
Donc, très intéressant ; donc, il semble que lorsque j'effectue cette transformation linéaire, il me dit exactement ce qui arrive à l'axe de coordonnées X. Donc, en gros, cette colonne ici me dit exactement ce qui va arriver à la coordonnée X tout droit parce que je viens de le prendre exactement de longueur un je suis aligné parfait avec cet axe. Donc, il me dit ce qui arrive à cet élément de base droit vous pouvez écrire ces éléments comme i hat et j hat et ingénierie et s'il y a une troisième dimension, vous pouvez écrire ces éléments comme k hat right ce sont juste les éléments de base de l'unité pour les coordonnées cartésiennes lorsque vous commencez à faire le calcul vectoriel de base correct.
Donc, je dis juste que ce qui se passe est avec la transformation linéaire que vous avez pu voir avant de payer l'attention que chaque colonne ici va correspondre à ce qui arrive à l'axe de coordonnées dans son endroit particulier. Donc, la première colonne dit ce qui se passe ou indique ce qui se passe directement aux coordonnées X et si nous faisons la même chose pour la coordonnée Y M on peut peut-être écrire la matrice M 1 1, M 1 2, M 2 1, M 2 2 et maintenant j'ai mis le 0 1 ici.
Maintenant, c'est comme ça qu'il choisit juste bien, j'ai choisi ce point ici qui représente la partie Y de l'élément de base Y.
(Référez-vous à la diapositive: 04:38) Ensuite, il suffit de picovoir la deuxième colonne 1 2, M 2 2 à droite.

Donc, je voulais juste souligner que juste vous avez peut-être entendu cela quelque part dans l'algèbre linéaire, il est très simple en 2 dimensions pour voir ça se passe. Ainsi, chacune de ces colonnes indique simplement ce qui se trouve être l'élément de base correspondant ou les coordonnées correspondantes. Donc, si je pense comme ça, alors il est très utile maintenant de prendre des matrices très simples et de regarder ce qu'ils font.
Alors, laissez-moi vous donner quelques exemples ici et là encore, j'essaie de me mettre en place, je vous rappelle les bases de l'algèbre linéaire que vous avez la plupart d'entre vous avez vue avant que je suppose, mais je vais aussi me connecter un peu plus tard à quelque chose de plus compliqué. Alors, s'il vous plaît, faites-moi avec moi si c'est très simple. Donc, mais je veux qu'il soit très clair.
(Référez-vous à la diapositive: 05:24)

Et puis on va arriver à des choses plus compliquées. Donc, si ma matrice est maintenant ceci et que je l'applique à mon point X Y devrait être très clair ce qui se passe alors je regarde ces colonnes si je l'applique à une 0, ce n'est pas un changement, pas vrai.
Donc, si je l'applique, si je prends cette matrice et que je la remplace ici, je l'applique à 1 0 elle reste 1 0 si je l'applique à 0 1, elle reste 0 1 parfaite. Donc, c'est la matrice d'identité. Donc, ça n'a pas d'effet juste de penser à la façon dont il va transformer cet espace. Donc, si je mets quelque chose dans l'espace ici à droite. Donc, maintenant, mettez un peu d'objet ici et je commence à transformer tous les points en lui. Donc, je peux transformer n'importe quoi dans cet espace ici, y compris un simple triangle de cours, je veux juste réfléchir à ce qui lui arrive ; celui-ci n'a pas d'effet bien bon que nous l'appelons la matrice d'identité ; il ne devrait avoir d'effet algébriquement aucun effet.
Essayons un autre. Alors, si j'ai 2 0, 0 2, ce qu'il fera dans ce cas, ça va juste à l'échelle. Donc, ceci devrait s'étirer le long de l'axe X par un facteur de 2 s'étirer le long de l'axe Y par un facteur de 2 simplement l'échelle si je choisis une moitié au lieu de cela va rétrécir it droit. Donc, c'est une échelle de quelque sorte et bien sûr, je pourrais mettre des nombres différents pour différents axes et puis j'obtiens différents types de civières, non, je peux l'étirer le long d'un axe ou d'un autre qui faussera ce que nous appelons le rapport d'aspect quand il s'agit de moniteurs et de choses comme ça. Donc, il va déformer le rapport d'aspect tout à droite négatif 1 0, 0 1.

Alors, qu'est-ce qui va nous donner, non? Donc, c'est une sorte de "flip right". Donc, ça nous donne une image miroir, disons ou comme une façon informelle de le dire. Donc, nous obtenons une image miroir maintenant que ce n'est pas quelque chose que je vais considérer comme satisfaisant du point de vue des transformations de corps rigides, vous ne devriez pas être en mesure de déplacer un corps à travers l'espace et ensuite dire que c'est une image miroir maintenant elle ne semble pas comme quelque chose qui se passe bien. Donc, si ça ne va pas être un genre de mouvement légal, la mise à l'échelle n'est pas non plus légale lorsque vous déplacez un corps à travers l'espace il ne devrait pas être tout à coup une taille différente.
Donc, très intéressant de penser à nous laisser essayer celui-ci, faisons une double image miroir. Alors, si je vais voir votre dessin une ligne ici, si je fais ça, je fais un négatif de 0 0 négatif.

Alors, qu'est-ce que cela fera? Donc, si je flip avec respect ou a fait le miroir de flip avec une flip de symétrie, je fais la flip par rapport à l'axe X et puis la flip par rapport à l'axe Y après avoir flirtant deux fois j'ai mis en miroir le miroir qui le fait en miroir et j'ai changé cet objet à droite. Donc, très bien.
Donc, c'est en fait une rotation parce qu'elle est à l'envers et qu'elle n'est pas une image miroir. Donc, c'est une rotation de cent quatre-vingts degrés qui, lorsque nous mettons nos chapeaux de maths, utilisera des radians. Donc, donc pivoter par pi il y a d'autres choses plus compliquées que nous finissons par avoir besoin ailleurs qu'à l'extérieur des corps rigides, mais qu'est-ce que cela ferait? D'accord, si j'applique cette transformation. Donc, maintenant, pour la coordonnée X, elle va commencer à augmenter au fur et à mesure que Y devient plus droit ce X va être remplacé par X + Y. Donc, cela aura un effet de prendre quelque chose qui signifie dessiner ici que je vais si je commence avec un carré.
(Heure de la diapositive: 09:21)

Il se transformera en quelque chose comme ce droit. Donc, c'est ce qu'on appelle une transformation de cisaillement.
Donc, si je fais ce que j'ai dans le cisaillement X et si vous voulez un cisaillement Y vous pouvez juste faire l'autre chemin et vous obtenez un cisaillement Y qui s'étirera vers le haut dans l'autre direction vous pouvez avoir des combinaisons de cisailles de toutes les échelles différentes et vous pouvez avoir des images miroir toutes ces choses combinées est la puissance des transformations linéaires de 2 D droite. Donc, la question est maintenant de savoir si je veux seulement appliquer des rotations, ce que je suis autorisé à faire ; laissez-nous simplement ajouter des contraintes, déchirer ou supprimer toutes les choses que nous n'aimons pas et voir ce qui reste à combien de degrés de liberté nous avons si nous pouvons faire n'importe quelle matrice 2 par 2 nous voulons. Étudiant: 4.
4, à droite, juste 4 nombres réels indépendants que nous pouvons mettre ici et. Donc, nous avons 4 degrés de liberté à commencer. Donc, je veux y penser du point de vue de l'élimination, je veux éliminer les degrés de liberté que je ne veux pas admettre et éliminer tout ce que je pourrais avoir besoin d'être sur ce point. Donc, je suis convaincu que ce dont je suis partie, ce n'est que des rotations, d'accord. (Référez-vous à la diapositive: 10:46) Donc, 4 rotations et vous savez que nous sommes toujours en 2 D ce que je n'ai pas le droit d'avoir. Donc, je veux pas et à nouveau très informel pas d'étirement des axes. En d'autres termes, je veux préserver l'échelle. Alors, commençons par nous avoir 4 degrés de liberté dans cette matrice M 1 1, M 2 1, M 1 2, M 2 2, à droite. (Référez-vous à la diapositive: 11:15) Nous avons 4 degrés de liberté dans cette matrice et maintenant je vais commencer à imposer des contraintes. Donc, la contrainte numéro un ici si je n'ai pas d'étirement de l'axe, c'est-à-dire que ces colonnes se souviennent de ce que je vous ai dit que chaque colonne représente la distorsion de l'axe ou la transformation de l'axe, elle doit avoir une longueur un et que la colonne dans son ensemble doit avoir une longueur un.
Sinon, si vous y réfléchis bien, la multiplication matricielle ne fait qu'effectuer un simple produit point ou produit intérieur et donc, si la grandeur du vecteur que vous multipliez avec n'est pas normalisée, alors vous obtenez une échelle différente. Donc, il doit avoir une longueur d'unité. Donc, la contrainte numéro un ici signifie que les colonnes. Donc, il y a une longueur. Donc, en d'autres termes, quand j'ai cette matrice, je regarde les colonnes et je dois avoir le cas que M 1 1 squared plus M 2 1 squared est égal à un droit. Donc, j'ai ce droit de contrainte et je dois avoir cette contrainte ici très similaire M 1 2 squared plus M 2 2 squared égale un combien de degrés de liberté je viens de perdre.

Étudiant: 2.
2. Donc, j'ai perdu 2 degrés de différence que j'avais 4 chacun de ces cercles ici, je suis comme vous savez faire du jumelage sur le professeur marquant ici le droit de prendre des points de votre grade. Alors, disons que vous avez perdu un pour que vous avez un degré de liberté moins vous en avez perdu un parce que maintenant vous avez seulement 2 degrés de liberté. 2, je veux n'avoir aucun cisaillement droit et je n'aime pas ces étranges effet de cisaillage qui n'est pas naturel pour les transformations corporelles rigides.
Donc, ce que cela signifie dans ce cas, c'est que ces axes de coordonnées ici se rappellent que chacun de ces axes est l'axe de coordonnées transformé, ils doivent rester orthogonaux ou perpendiculaires à droite. Donc, en principe lorsque vous multipliez les vecteurs ensemble à l'aide d'un produit point ou d'un produit intérieur, quelle est la condition que vous avez pour cela ce qui doit être satisfait pour qu'ils soient perpendiculaires 0, non.
Donc, c'est la condition que vous avez juste à dire que ces colonnes lorsque vous prenez le produit intérieur de droite parce que chacune de ces colonnes représente un vecteur par lui-même qui dit où l'axe de coordonnées se transforme à droite les coordonnées se transforme aussi. Donc, quand je prends ces 2 et prends leur produit intérieur, j'ai une contrainte qui ressemble à ça. Donc, c'est la condition numéro 2 qui est M 1 1, M 1 2 plus M 2 1, M 2 2.

(Référez-vous à la diapositive: 14:25) Donc, juste un produit point ou un produit intérieur, ces 2 colonnes ont à égalité 0 le nombre de degrés de liberté que j'ai perdu 1 ; 1 a perdu 1 degré de liberté une belle contrainte ici a perdu un degré de liberté. Alors, disons que 1 moins 1, j'espère que nous avons un certain degré de liberté tout à fait bien le temps que nous avons fait avec nous, peut-être que nous sommes faits, nous sommes arrivés à un degré de liberté et vous avez dit que c'était et vous ; vous et moi, nous sommes tous d'accord qu'un degré de liberté était approprié pour une rotation de 2 dimensions. Donc, comment on fait, on a toutes les contraintes ou pas.
Qu'est-ce que vous faites de façon démocratique et qui pense que nous sommes faits et que nous disons donc la majorité. Donc, alors nous allons juste finir qui pense que nous ne sommes pas fait la majorité n'est pas sûr que je pense que cette vidéo ok bien il y a encore une contrainte supplémentaire nous avons le nombre de degrés de liberté à droite, mais nous ne tolérons pas les images miroir d'autant. Donc, nous devons corriger cela. Donc, après avoir imposé ces 2 contraintes, la dernière chose que je veux penser maintenant c'est que je veux dire pas d'images miroir.
La façon formelle de dire que, en mathématiques, c'est de préserver l'orientation. Donc, aucune orientation en train de changer si vous ne faites pas attention à ce que votre système de coordonnées gaumains à gauche peut devenir droque toutes sortes de mauvaises choses peuvent arriver bien. Donc, nous devons préserver l'orientation. Donc, pas d'images miroir après que nous avons fait ces 2 contraintes il s'avère qu'il n'y a pas beaucoup d'options à gauche pour le déterminant de cette matrice, elle ne peut être que 1 ou moins 1.
Donc, ça finit par être un très beau détecteur de savoir si quelqu'un essaie ou non d'exécuter une image miroir en faisant cette matrice. Donc, la seule chose que vous devez avoir pour le reste de l'observation que je vais écrire ici est de mettre en oeuvre ce qui est déterminant de la matrice mettre l'ensemble de la matrice et il y a des points d'écriture, mais je devrais mettre les ms en place doit être égal à un qui n'est pas négatif, ce sont les deux seules possibilités qui ont laissé combien de degrés de liberté je perds là. Étudiant: 0.
0, je n'ai pas perdu de degré de liberté. Donc, ce qui est intéressant, c'est que ce qui reste est un cercle de possibles rotations de 2 dimensions avant que je n'ai pas contrainte le nombre 3 J'ai en fait eu 2 cercles il y a un cercle des rotations standard, puis il y a un cercle de rotations de l'image miroir et. Donc, cette dernière contrainte élimine simplement le mauvais cercle le cercle qui ne correspond pas aux corps rigides. Donc, c'est le prochain type de question intéressante: les matrices restent bonnes parce qu'elles vont être celles qui sont des rotations.
Donc, après que j'ai fait tout ça et. En fait, quand je regarde ces équations ici, ça a l'air quelque peu familier. Donc, si je suis au lieu d'écrire M 1 1, M 2 1, si je viens d'écrire qu'avec les coordonnées X et Y, vous reconna�rez ceci comme l'équation d'un cercle d'unités dans l'avion. Donc, il suffit de paramétrer ce cercle pour ensuite dériver les 2 autres paramètres de la matrice à partir du point sur le cercle. Donc, c'est ce qui s'avère être assez facile à faire et finit par travailler très bien.
Donc, si je le fais de cette façon, alors je peux simplement paramétrer le cercle. Alors, ce que je viens de dire ici, laisse-moi le faire ici, alors je dis simplement M 1 1 est égal à cosinus theta M 2 1 est égal à sin theta qui n'est qu'une paramétrisation standard de l'unité du cercle à droite et. Donc, une paramétrisation standard de l'unité boucler une certaine quantité de theta je suppose que mon système de coordonnées dans ce cas particulier est l'axe M 1 1 et l'axe M 2 1 droite. Donc, c'est tout ce que j'ai fait, je suis juste en train de prendre cette première colonne ici et de montrer que vous pouvez le paramétrer bien comme un cercle.
Donc, les matrices que j'ai sont cosinus theta sin theta et maintenant je fais simplement des substitutions simples à comprendre à partir de l'algèbre ici dans ces équations en nombre un et le nombre 2 pour comprendre le reste de ce que j'ai moins sin thêta et cosinus theta et vous pouvez faire de la substitution simple ici par exemple, pour vérifier que la contrainte numéro 2 est juste, vous pouvez facilement voir que la contrainte numéro un est satisfaite pour la seconde colonne celle-ci ici parce que c'est encore quand je les place et les additionelles que j'ai la somme d'identité trigonométrique célèbre des carrés du péché et le cosinus en est un. Ainsi, cela se produit pour les colonnes que le produit intérieur fonctionne clairement et ajoute à 0.
Donc, ce sont les matrices qui restent et une belle paramétrisation a été trouvée par simple reconnaissance qu'ils tombent sur un cercle d'unités. Donc, la rotation de 2 D finit par être très facile pour cette raison.

Réalité virtuelle Prof. Steve Lavalle Department of Applied Mechanics Indian Institute of Technology, Madras Lecture-3-3 Geometry of Virtual Worlds (3D rotations and yaw, pitch and roll)
Des questions à ce sujet. Donc, je vais passer à l'affaire 3D maintenant, c'est la raison pour laquelle je vous ai traîné à travers tout ça. Une propriété très sympa que je veux souligner ici parce qu'il est plus difficile de visualiser sur 3 dimensions c'est que, j'ai utilisé ce paramètre theta si je change de theta par une petite quantité, dis que je change par un dixième de radian ou quelque chose.
(Référez-vous à la diapositive: 00:43) Alors la quantité de rotation change par un petit montant, le corps rigide bougera d'une petite quantité, et ce n'est pas important si je change en nous disant que si je passe de 0 à 0.1 ou si je passe de un à 1.1 un changement de point on correspond à la même quantité de changement pour le corps rigide.
Dans 3 dimensions pour la rotation 3D, il est très difficile de récupérer cette propriété, jusqu'à ce que vous sachiez comment le faire. Mais si vous étiez juste pour concevoir quelque chose vous-même qui possède cette propriété, si je modifie mes paramètres de rotation par un petit peu comment faire la variation dans la rotation 3D soit la même quantité de peu. Et cela va être très important si vous faites quelque chose comme la conception de la méthode de filtrage et de suivi, parce que vous voulez mesurer les erreurs dans votre suivi et vous voulez le faire de manière cohérente. Vous savez que sinon vous vous embrourez, vous pensez que vous avez d'énormes erreurs dans cette partie de l'espace de rotation et de très petites erreurs sur dans cet autre partie quand. En fait, les erreurs peuvent être les mêmes sur le plan de la rotation réelle du corps.
Donc, c'est le genre de difficultés que nous rencontrons en 2 D très facile de voir ces choses qu'il devient plus difficile dans les questions 3D à ce sujet.
(Référez-vous à la diapositive: 01:43) Je vais donc passer à l'affaire 3D. Donc, maintenant, on va essayer des rotations 3D, je ne pense pas que j'ai envie d'équitation 3 par 3 matrices avec un tas de m s et de sous-scripts et tout ça. Donc, je vais juste l'écrire avec des points à l'intérieur. Donc, nous avons des matrices plus grandes maintenant, je vais écrire quelques points ici et le faire vite vous pouvez remplir les m s si vous voulez.
Donc, maintenant j'ai 9 degrés de liberté pour une transformation linéaire de 3 par 3 avec des entrées réelles ici. Donc, on commence avec 9 points et je veux utiliser le même genre de raisonnement maintenant, donnons des noms à ces vecteurs de colonnes ici. Alors, je vais appeler ça? 1,? 2??? ? 3. Donc, je vais utiliser ça pour faire référence à ces colonnes parce que si vous vous souvenez dans le cas de 2 D nous avons continué à faire référence aux colonnes. Donc, je voudrais juste faire référence à ceux qui sont? 1,? 2,? 3 on peut aussi vouloir les désigner comme???? ??? ??, mais je peux être prudent si je ne veux pas les faire ressembler à des indices scalaires.
Donc,. Alors, prends juste? 1,? 2,? 3. Donc, la contrainte numéro un ce qui était la contrainte numéro un que quelqu'un se souvienne?
Étudiant: (Voir Heure: 03:01). Voir oui. Ainsi, la longueur du vecteur doit être 1 et. Donc, si je prends le si je place chacun des composants et ajoutez-les.
(Référez-vous à la diapositive: 03:13) Je devrais obtenir une valeur égale à 1. Je suppose que je peux juste écrire cela en utilisant la notation de norme à partir d'une algèbre, mais si vous réconforez juste carré chaque élément les ajoutez. Donc, la norme de V 1 devrait être égale à la norme de V 2, devrait être égale à la norme de V 3, devrait être égale à 1.

(Référez-vous à la diapositive: 03:36). Donc, on a commencé avec 9 points, combien je viens de perdre?
Étudiant: (Voir Heure: 03:42).
Trois à droite. Alors, j'ai perdu 3. Donc, j'ai ce réexamen de cette chose me donne une peine de liberté de 3 vous savez.
Alors, j'ai perdu 3 degrés de liberté à droite 2, 2, c'est ce qu'il y a de plus pour les produits intérieurs que vous devez éviter le cisaillage. Donc, vous devez avoir les produits intérieurs être égaux à 0 à droite les produits de point entre les colonnes qui colonnes, dois-je choisir une fois que tous les produits nous permettent tous de voir des produits bien dot il n'y a pas vraiment de produit triple ici à droite. Donc, nous devons le faire par paires très bien. Donc, nous faisons toutes les paires de (voir le Temps: 04:20) voir si re choisir 2 est égal à 3. Donc, il y a 3 paires que ça n'a pas d'importance, ce que l'ordre est parce que les produits à points ne se souciont pas de commander des produits croisés faire.
Donc, je suppose que j'ai juste besoin de choisir les deux. Donc, je dis que j'ai besoin d'avoir V 1 point V 2 est égal à 0, j'ai besoin d'avoir V 2 point V 3 = 0, et V 1, V 3 droite obtenir l'autre paire. Donc, j'ai besoin d'avoir V 1 point V 3 est égal à 0.

Alors, quand je mets tout ça ensemble, je suppose que j'ai perdu 3 autres degrés de liberté. Hé pas mal à faire le même genre de motif que pour 2 D. Donc, nous avons perdu 3 autres avec ces mêmes conditions nous avons encore la troisième condition qui est sur nous ne voulons pas d'images miroir.
Donc, 3 nous avons besoin que le déterminant de cette prise 3 par 3 matrice soit égal à 1 et encore une fois cela ne va pas supprimer les degrés de liberté, cela va le garder de la même façon qu'il va juste éliminer la moitié des cas. En fait, parce que chaque transformation en miroir a une transformation correspondante qui n'est pas mise en miroir, elle se débarrinde exactement de la moitié d'entre elles. Donc, dans l'affaire 2 D comme j'ai dit qu'il y avait un bon cercle et un cercle en miroir, il y avait le vrai cercle de rotation et le cercle en miroir.
Nous avons maintenant encore un ensemble à 3 dimensions ou 3 dimensions de rotations nous avons 3 degrés de liberté nous avons à nous mettre les doigts en quelque sorte que nous le décrivons de manière positive que nous avons 3 degrés de liberté à gauche et que c'était dans 2 composants différents s comme la partie en miroir et la partie non mise en miroir. Cette contrainte élimine la partie non mise en miroir. Donc, si vous voulez avoir la partie en miroir, alors il suffit de rendre le déterminant négatif un et. Donc, nous allons l'éviter. Donc, au moment où nous nous en sommes enfin fait, nous devrions avoir tous les moyens de nous faire passer ici, au-delà de 3 contraintes.
Et nous avons 3 points pour 3 points quatre rotations 3D à droite.
(Référez-vous à l'heure de la diapositive: 06:48) Donc, je vais commencer par une façon simple de décrire les rotations 3D, et ensuite, après cela, nous allons dire plus de temps pour faire les choses que nous voulons faire. Donc, pour commencer ici et nous allons prendre une pause sous peu, laissez-moi commencer ici avec les 3 rotations canoniques des 3 rotations canoniques qui sont de lacet, de brai et de roulis. Donc, ils vont être 3 paramètres indépendants que nous pouvons utiliser pour décrire les rotations, ils sont le plus que je dirais intuitif et facile pour les gens à comprendre, mais ils causent beaucoup de problèmes et de dégâts plus tard. Donc, je vais d'abord leur présenter que nous pouvons en parler, ils sont qu'ils sont utiles si vous les gardez séparés, mais quand vous les combinez ensemble, vous finissez parfois avec un bordel.
Tout d'abord, veillez à ce que nous sachions tous de quoi nous parlons. Donc, yaw va être ce droit que nous faisons tous ensemble. Donc, yaw est comme ce bon côté droit puis pas. Donc, yaw est comme si aucun droit et pas n'est comme si oui et ensuite rouler est comme ça, ce qui, si je comprends les gestes de la tête autour d'ici, signifie peut-être que vous savez. Je ne suis donc pas sûr de ce droit. Donc, nous avons oui non et peut-être. Alors, faisons tous cela ensemble. Alors, yaw le dit ensemble yaw. Étudiant: Yaw Pitch. Étudiant: Pitch.
Et rouleau. Étudiant: Rouleau, Rouleau et. Alors, gardez ces droits, il est très utile de faire des lacet et des roulis. Alors, laissez-moi écrire les matrices pour ces et puis nous allons et nous allons briser yaw, je vais écrire comme ça, je dirai que c'est une matrice de rotation, avec un paramètre alpha et il ressemble à ce cosinus alpha 0 sin alpha 0 1 0 moins sin alpha 0, cosinus alpha. Cela ressemble beaucoup à la matrice de rotation à 2 dimensions, si vous regardez les coins et que la partie centrale ressemble à un yaw comme la matrice d'identité à droite. Donc, la partie centrale ressemble à la matrice d'identité parce qu'elle dit essentiellement ne pas perturber la coordonnée y.

Si je fais un yaw en arrière et en bas de l'avis que l'avis oui, que la coordonnée y n'est pas en train de changer de droite y est en haut j'ai oublié mes coordonnées pour un peu ici oui y est à la hausse. Donc, l'avis y n'est pas en train de changer quand je ne corrige que x et z sont. Donc, il s'agit essentiellement d'une rotation dans le plan x z, c'est pourquoi il ressemble à la matrice de rotation 2 D. C'est un peu de changement par rapport à cela, mais c'est parce que ces changements apparaissent dans le coin si vous faites un déplacement circulaire vers le bas et qu'ensuite il ressemblera exactement à la matrice de rotation 2 D appliquée.
Donc, le pas est très similaire que nous écrivons R de bêta let us dire, ce qui n'est pas dérangée pour le pas de pas, ce x n'est pas dérangée. Donc, on peut déjà deviner que la partie x va ressembler à une matrice d'identité, et ensuite ici dans cette partie restante ce bloc restant nous faisons juste la matrice de rotation 2 par 2, mais avec une beta cosine bêta, moins sin beta sine beta beta cosinus beta et enfin, rouleau ; le rouleau devrait laisser la coordonnée z seule à droite. Donc, z est de retour et de l'avant z, c'est la profondeur. Donc, z va de l'avant quand je fais un rouleau je ne devrais pas interférer avec ça, nous avons fait alpha bêta gamma. Donc, le paramètre gamma représente que nous obtenons le cosinus gamma moins sin gamma, gamma, gamma, cosinus gamma. Donc, le bloc supérieur est exactement cette matrice de rotation de 2 dimensions.

Mais correspondant à l'avion x y, et ensuite la partie z est l'identité 0 0 1 0 0 0 1 à droite. Donc, c'est ce que nous obtenons et maintenant si vous voulez générer n'importe quelle autre rotation 3D, vous avez juste besoin de choisir une certaine quantité de yaw, une certaine quantité de pas, et une certaine quantité de rouleau, puis vous pouvez les appliquer séquentiellement et cela va générer n'importe quelle rotation, mais elle pourrait ne pas fournir et ça. En fait, ne fournit pas une belle représentation dans le sens que j'ai mentionné où un petit changement dans ces paramètres, peut ou non correspondre à la même quantité de changement dans la rotation physique réelle, et c'est les difficultés que nous allons avoir après la pause.