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Guía de aprendizaje sobre los cristales de Sonic

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Vídeo 5

Bienvenidos a la conferencia 38 y en esta conferencia haremos un Tutorial en Sonic Crystals; así que obtenemos un mejor entendimiento. Por lo tanto, algunos numericos resueltos estarán allí para el tema de los cristales sonoros. Así que, comencemos con el primer problema para esta semana en particular.
(Consulte la hora de la diapositiva: 00:43)

Entonces, aquí se nos dan cilindros de acero se están arreglándose; así que, aquí el cilindro de acero. Por lo tanto, esto da la vista superior del cristal sónico. Por lo tanto, de lo contrario son cilindros y tienen una sección triangular triangular. Por lo tanto, esta es la sección transversal de estos cilindros de acero, que están dispuestos en un formato de celosía cuadrado 2D. Entonces, lo que significa que esta distancia aquí es de 10 centímetros y esta distancia aquí es de 10 centímetros.
Por lo tanto, la constante de celosía que es igual a la distancia entre estos centros es la misma en la dirección vertical y la horizontal y tenemos que encontrar cuál es la fracción de relleno de este cristal sónico. Por lo tanto, esta es una pura cuestión de geometría. Así que, vamos a resolver esto. Por lo tanto, si tomamos una unidad de repetición primaria; por lo tanto, podemos encontrar la unidad de repetición primaria de esta celda como este cuadrado en particular aquí. Por lo tanto, estoy tomando este. Por lo tanto, cualquier cosa dentro de este cuadrado si se repite puede crear todo el cristal. Por lo tanto, esta es la unidad de repetición primaria que he tomado, de lo contrario también puede tomar esta unidad.
(Consulte la hora de la diapositiva: 01:47)

Por lo tanto, o esto puede ser tomado o incluso esta unidad se puede tomar, usted puede encontrar la clase de la célula de Wigner-Seitz que le dará esta cantidad. Por lo tanto, esto se puede tomar o esto se puede tomar. Para este, obviamente, la fracción de relleno se puede encontrar fácilmente, será la fracción de relleno para el cristal sónico se da por el volumen de espacio ocupado por estos scattaters dividido por el volumen de espacio que está ocupado por el material general. Por lo tanto, si usted puede tomar una célula primitiva; entonces, puede ser esto o esto.
Entonces, ¿cómo se puede representar cómo se puede representar? Puede ser representado como cualquier cosa; así que, aquí no hay tal cambio en la otra tercera dimensión, sólo en la vista superior su cambio.
Por lo tanto, podemos reducirla al área; por lo que, tenemos área ocupada por triángulos divididos por área ocupada por la plaza. Así que, de este lo que se obtiene es que esto será:

área de 1 área de triángulo de 1 cuadrado

Y, ya sabemos cuál es el lado de la plaza y el triángulo, el lado de la plaza es de 10 centímetros y el lado del triángulo es de 5 centímetros.
Por lo tanto, esto es de 10 centímetros cuadrados todos los lados son los mismos y este es un triángulo equilátero de 5 centímetros. Por lo tanto, usando esto usted puede averiguar cuál es la fracción de llenado. Así que, muy fácilmente se puede encontrar. Entonces, te voy a explicar el más difícil. Por lo tanto, si es bueno si elige la unidad de repetición como directamente la célula de Wigner-Seitz. Por lo tanto, es muy fácil calcular la fracción de llenado, pero ¿y si usted tomó esto es la célula de la unidad?
Por lo tanto, puede haber muchas células de este tipo, pero sólo una célula de Wigner-Seitz. Así que, vamos a ver si usted eligió este entonces también usted llegará a la misma conclusión. Entonces, lo que obtendrás es que; así que, esta es la zona ocupada por la porción triangular dividida por la zona de la plaza.
(Consulte la hora de la diapositiva: 03:47)

Por lo tanto, aquí el área de la plaza se deja decir que a es la constante de celosía que es la distancia entre los centros así que, que se convierte en el lado de la plaza. Por lo tanto, se convierte en un cuadrado.

(Consulte la hora de la diapositiva: 03:57)

Ahora, si ves cuál es el área general ocupada por el triángulo. Así que, aquí tienes esto, esta es la primera porción, segunda porción, tercera y cuarta. Cuando usted se une a todas estas porciones juntas le da el triángulo completo, este es un triángulo equilátero que está pasando a través de su centroide. Por lo tanto, esto se convierte en el área de 1 triángulo completo. Por lo tanto, elegir cualquiera de las celdas de la unidad le dará los mismos resultados, puede elegir la celda Wigner-Seitz o puede elegir una celda de unidad diferente.
Por lo tanto, cualquier unidad repetitiva que tome y luego puede crear su solución. Así que, vamos a averiguar cuál es el área de 1 triángulo equilátero. Por lo tanto, digamos r es la longitud de borde de la sección transversal de la depuradora. Por lo tanto, esta es una sección transversal de la depuradora, digamos que la longitud del borde es r y es así, triángulo equilátero. Por lo tanto, aquí la altura del triángulo equilátero es h. Por lo tanto, esto es de 90 grados y esto es de 60 grados.
Entonces, ¿en qué se convierte? Por las relaciones de trigonometría lo que obtenemos es: h = r sin θ. Por lo tanto, será r
√ 3 2 y el área del triángulo será la mitad en la altura en la mitad en lo que sea la altura en la longitud de la base y la base es r aquí, h puede ser representado como r √ 3 2
Así, usando esta expresión lo que se obtiene es √ 3 4 r 2, esto se convierte en el área de la

Sección triangular.

(Consulte la hora de la diapositiva: 05:29)

Entonces, la fracción de llenado general para el cristal sónico es ¿qué? Es la zona ocupada por el triángulo dividido por el área ocupada por el cuadrado dentro de la unidad de repetición. Así que, cuando hagas esto, esta es la expresión con la que terminas; aquí r siendo la longitud del borde de la sección transversal del escatador.
(Consulte la hora de la diapositiva: 05:49)

Por lo tanto, esto es lo que usted ha terminado con y sabemos que este r se nos da es 5 y a es
10. Así que, si vuelvo a la pregunta una vez más. Así que, aquí esto es de 5 centímetros, la longitud lateral de un triángulo y para la plaza es de 10 centímetros. Así que, cuando pones ese valor aquí en esta expresión es:

ff = √ 3 4
× (5 10) 2
= 0,11

Entonces, esto es lo que obtienes; así que, esto se convierte en la fracción de llenado. Por lo tanto, este es el resultado final.
(Consulte la hora de la diapositiva: 06:19)

Por lo tanto, esta era una pregunta, ahora hablemos de otra cuestión aquí. Entonces, aquí esta es la pregunta que se nos da, aquí esta figura muestra una porción de una celosía recíproca. Por lo tanto, anteriormente teníamos una red directa; por lo tanto, era simplemente el que es la vista superior de ese arreglo de cristal sónico. Ahora, tenemos una celosía recíproca y que se nos da y como usted dijo sólo una pequeña porción se da aquí y el mismo patrón continúa en toda la dirección.
Por lo tanto, es un entramado cuadrado grande, tengo que encontrar qué es lo que es el área de la zona de Brillouin y cuál es el área de la IBZ. Por lo tanto, esta es también una pregunta muy fácil y directa. Así que, si conoces el concepto de zona de Brillouin y IBZ, puedes averiguarlo. Por lo tanto, digamos que esta es la celosía recíproca que se nos da y las constantes de celosía en ambas direcciones se dan como 8 y 8.

(Consulte la hora de la diapositiva: 07:13)

Entonces, por eso es un entramado cuadrado. Por lo tanto, usted puede encontrar la zona de Brillouin justo de la manera en que he explicado un par de conferencias antes. Así que, simplemente puedes dibujar bisectors perpendiculares; así que, para esta cosa en particular estos son los vecinos. Así, estos son esos 8 vecinos que rodean esta unidad, este entramado, este particular punto de celosía. Así que, en este punto tenemos estos 8 vecinos, para cada vecino se puede ver cuáles serán esos puntos que están más cerca de realmente este punto en comparación con su vecino. Y, de forma similar puedes seguir dibujando y dibujando y acabarás con una plaza.
Así que, esto era lo mismo ya que esto ya se ha repetido en la conferencia anterior así que, dibujamos directamente la zona de Brillouin para la celosía cuadrada. Así que, esto sale a ser la zona de Brillouin. Así que, aquí como se puede ver vamos a averiguar cuál es la longitud. Por lo tanto, esto es 8 y 8. Entonces, ¿cuál será la longitud de esta plaza en particular? Así que, aquí tienes la manera en que has dibujado es éste es el próximo vecino, de manera similar este es el próximo vecino, este es el próximo vecino, y este es el próximo vecino. Y, esta línea es una suerte de bisectar estas líneas que se unen al centro.
Por lo tanto, esta longitud debe ser igual a esta longitud. Por lo tanto, estas dos longitudes son iguales y ahora sabemos que esta longitud total es de 8 centímetros derecho; por lo que, esto es la mitad de esta longitud. Así, esto será de 4 centímetros y esta cosa de esto al centro aquí, esta longitud será de 4 centímetros y de la misma manera en que esta línea también se dibuja como bisecando estas dos líneas. Por lo tanto, si esta longitud total aquí también la longitud total es de 8 centímetros; por lo que, esto será de 4 centímetros y esta longitud aquí será de 4 centímetros.

Y así sucesivamente, con la misma lógica esta longitud también saldrá a ser de 4 centímetros y esta longitud superior también saldrá a ser de 4 centímetros. Entonces, lo que se llega aquí es eso; así que, esta es la zona de Brillouin y esta es la IBZ. Por lo tanto, sólo voy a dibujar la zona de Brillouin aquí primero.
Así, la zona de Brillouin que obtienes es como un punto de celosía y un volumen de espacio que lo rodea, para crear un tipo cuadrado de área y la longitud aquí es de 4 centímetros, 4 centímetros y 4 centímetros y esto también es de 4 centímetros y 4 centímetros.
Así, esto se convierte en un cuadrado de lado = 4 + 4 que es igual a 8 cm. Por lo tanto, es el mismo lado que el valor de la constante de celosía. Entonces, ¿en ese caso cuál será el área de esta zona de Brillouin? Simplemente será la zona de esta plaza que va a ser de 8 × 8 cm2 que va a ser. Entonces, aquí he escrito centímetro, pero luego me doy cuenta de que no se nos ha proporcionado ninguna unidad; así que, no pongamos las unidades.
Por lo tanto, he eliminado las unidades de cada lugar. Así que, son solo algunas unidades; podrían ser metros, podrían ser centímetros; por lo que, se ha dado alguna opción de las mismas unidades así que, esto es lo que obtenemos.
Por lo tanto, se convierte en:

área de BZ = 8 × 8 = 64 unidades

Y, ahora vamos a averiguar cuál es la zona de la IBZ o la Zona de Brillouin Irreductible.
(Hora de la diapositiva: 11:15)

Entonces, lo que vemos aquí es que, esta era la plaza y la zona de esto es de 64 unidades es la superficie total de la plaza. Ahora, para reducir esto más y eliminar toda la simetría se ha dibujado un IBZ y si se puede ver aquí, si se dibujan estas líneas como estas así, así es como he dibujado las líneas. Así que obviamente, entonces esto es 1 IBZ y esta porción es simétrica a esta porción anterior. Entonces, este es el segundo y esta porción es simétrica a esta, esto es simétrico a éste, esto es simétrico a esto, esto y esto.
Por lo tanto, obtenemos 8 porciones de área simétrica de la IBZ hará 1 zona de Brillouin completa. Así que, si repetimos este IBZ 8 veces se puede crear toda la zona de Brillouin. Por lo tanto, el área de la IBZ será ¿qué? Será:

área de IBZ = 1 8
× zona de BZ = 1 8
× 64 = 8 unidades

Así que, fue una pregunta sencilla y directa siempre que sepas cómo crear zona de Brillouin y zona de Brillouin irreductible. Por lo tanto, permítanme que vaya directamente a la solución.
(Hora de la diapositiva: 12:55)

Por lo tanto, esta es la solución: el área para la zona de Brillouin es de 64 unidades y el área para la zona de Brillouin irreductible es de 8 unidades. Así que, en este particular tutorial sólo estoy resolviendo las porciones de cristal sónico hasta las brechas de la banda. Y, entonces en la siguiente clase estudiaremos unos cuantos, algunos de los otros conceptos relacionados con el cristal sónico y voy a resolver una pregunta de diseño. Por lo tanto, para esta clase en particular sólo resolveremos hasta el teorema de Bloch.

(Consulte la hora de la diapositiva: 13:25)

Por lo tanto, la tercera pregunta aquí se da es para el teorema de Bloch. Por lo tanto, digamos que esta es la pregunta aquí. Así que, de nuevo tenemos alguna red de cristal sónico, ahora esto es en realidad un entramado directo, esto no es una celosía recíproca y tengo que lo que; así que, este es el tipo de arreglo. Así que, aquí estos son los diversos depuradores y este es el medio fluido y así es como se arreglan los escatadores sonoros o algunos metales, las varillas de metal están arregladas.
Entonces, lo que tengo que encontrar es que cuál es el período de la onda de Bloch, que se genera o el período de la onda acústica general. Bloch wave es simplemente una onda acústica que se rige por el teorema de Bloch. Y, ahora también hemos averiguado que no la ola no sólo está gobernada por el teorema de Bloch, sino que también se rige por el hecho de que B y ρ se vuelvan negativas en ciertas frecuencias. Por lo tanto, la onda general puede ser llamada como una superposición del teorema de Bloch.
Y, la onda gobernada por una onda gobernada por el teorema de Bloch y la onda gobernada por el teorema de resonancia local que le dará la onda completa. Pero, si sólo toma en cuenta la onda de Bloch o la onda que se rige típicamente por el teorema de Bloch, entonces lo que tengo que encontrar es: ¿cuál es el período de la onda acústica que se genera cuando un frente de onda plana es incidente a lo largo del eje Y del eje X y el eje XY? Entonces, se nos dan tres direcciones diferentes, estas tres direcciones a lo largo de estas tres direcciones.
Entonces, cuando la onda es incidente a lo largo de X, ¿cuál será el período de la onda? Si es incidente a lo largo de Y cuál será el período y así sucesivamente.

(Hora de la diapositiva: 15:01)

Así que, vamos a resolverlo aquí. Por lo tanto, aquí se muestra una onda típica de Bloch donde su primer modo Bloch wave donde tenemos las máximas que se producen en el centro del escatador y los mínimos que ocurren en el centro de la separación entre los depuradores. Ahora, para resolver esto usaremos una propiedad de la onda Bloch que dice que todos los modos Bloch; así, la propiedad de la onda de Bloch establece que los modos Bloch que se crean o generan en un cristal periódico, digamos aquí en este caso esto se convierte en un cristal sónico, tendrá la misma periodicidad espacial.
Por lo tanto, la onda repetirá es repetir su patrón después de la misma distancia espacial que el patrón en el cual la estructura está repitiendo su. Por lo tanto, la distancia después de la cual; así, la misma distancia después de la cual la estructura repite su patrón, en la misma distancia la onda también repetirá su patrón.

(Hora de la diapositiva: 16:43)

Por lo tanto, la periodicidad de la onda y la periodicidad de la estructura serán las mismas. Entonces, con esta propiedad vamos a resolver ahora cuál es el período para las tres direcciones. Por lo tanto, la parte (a) que tengo que encontrar es cuál es el período cuando la onda es incidente a lo largo del eje X, entonces el período espacial del incidente de la onda de Bloch a lo largo del eje X. Por lo tanto, cuando la onda de incidente es.
(Consulte la hora de la diapositiva: 17:11)

Por lo tanto, permítanme reescribir esta frase aquí. Por lo tanto, aquí el período espacial de la onda de Bloch cuando la onda incidente, la onda que es incidente en el cristal es a lo largo del eje X. Este periodo será el mismo que lo que es la periodicidad del cristal a lo largo del eje X, el frente de onda plana es incidente aquí como sabemos y un frente de onda plana creará ondas de plano armónicas dentro del cristal. Y, la dirección de la propagación será la misma siempre que este cristal no crea flexión.
Así, en ese caso lo que sea la periodicidad del cristal a lo largo del eje X le dará la periodicidad de la onda cuando la incidencia suceda a lo largo del eje X. Y, ¿cuál es la periodicidad del cristal a lo largo del eje X? Entonces, si usted ve aquí la periodicidad, ¿cuál es la distancia después de la cual este arreglo en particular repite el patrón? Entonces, ¿cuál es la distancia aquí? Esto va a ser 4/2, esto mismo va a ser así, es un radio; así que, el diámetro es 4.
Entonces, esto será esta distancia será 4/2, esto será 4/2 y esto será 5, esto es lo que nos es dado. Por lo tanto, la periodicidad total o la longitud después de la cual el patrón se repite va a ser: 4 2
+ 5 + 4 2
= 9 unidades

Por lo tanto, esta es la longitud que tuvimos que encontrar que encontramos. Por lo tanto, esto es lo mismo, esto es igual al λ en el eje X. Ahora, de manera similar podemos resolver para las otras dos direcciones.
(Hora de la diapositiva: 19:07)

Por lo tanto, no voy a explicar más; así que, directamente escribiré la solución. Por lo tanto, la periodicidad espacial; ahora vamos a averiguar cuál es la longitud después de la cual el patrón se repite en la dirección vertical esto es directamente dado a usted que es 10 unidades. Por lo tanto, esta 10 unidades nos dará la longitud de onda a lo largo del eje Y, ahora la tercera es a lo largo del eje XY.
(Consulte la hora de la diapositiva: 20:01)

Así que, de nuevo lo que; así que lo que puedo escribir aquí es que este eje XY es en realidad 45 grados a este eje horizontal aquí; por lo que, este es el llamado como el eje XY. Entonces, será igual a cuál es el período o la periodicidad del cristal en esta dirección en particular y cómo lo resolvemos?
Por lo tanto, aquí permítanme que tome este caso en particular. Entonces, así es como está el arreglo y esta distancia aquí es 9 y esta distancia es 10; así que, sólo escribiré 10 aquí.
Así que, esto es como un, este es el tipo de las distancias entre los dos, en las dos direcciones y este es el y este va a ser el patrón. Así que, esta es la distancia que tenemos que encontrar, esta es la periodicidad en XY. Por lo tanto, esta es la longitud después de la cual el patrón repetirá a lo largo de esta dirección. Por lo tanto, se va a encontrar muy fácilmente usando el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, esto será:

longitud de diagonal = √ 9

2 + 102 = 13,45 unidades

Por lo tanto, se obtiene la longitud después de la cual se repite la onda. Por lo tanto, esto se convertirá en la longitud de onda a lo largo del eje XY siempre que la incidencia pase puramente a lo largo del eje XY.

(Consulte la hora de la diapositiva: 22:13)

Así, esto es para resumir los resultados: el período espacial de la onda de Bloch en el cristal sónico a lo largo del eje X es este 9 unidades, el eje Y es de 10 unidades y XY es de 13,45 unidades.
Así que, con esto me gustaría terminar esta conferencia en particular y verlos para la próxima conferencia.
Gracias.