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Fundamentos de los cristales

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Bienvenidos a la conferencia número 35 de la serie sobre Materiales Acústicos y Metamateriales. Es la última conferencia de esta semana y habíamos comenzado nuestra discusión en la última clase sobre el cristal sónico. Por lo tanto, fue una conferencia sobre Introducción a los cristales sonoros. Por lo tanto, en esta clase continuaremos con nuestra discusión sobre algunos de los fundamentos relacionados con los cristales. Así, ya hemos estudiado alguna terminología como en lo que se entiende por un cristal, lo que se entiende por una celosía o una celosía de cristal, entonces cuáles son los dos tipos diferentes de arreglos posibles etcétera.
Así, en esta clase comenzaremos con una discusión acerca de lo que se entiende por un espacio real y un espacio recíproco y luego seguido por que habrá relacionado a un espacio real, tenemos un entramado real o un entramado directo y relacionado con el espacio recíproco, tenemos un entramado recíproco.
(Consulte la hora de la diapositiva: 01:23)

Y luego concluiremos nuestra discusión con lo que significa una zona de Brillouin y una zona Irreductible Brillouin y estos dos conceptos son muy importantes porque a partir de ahora cuando estudiamos sobre cristales sonoros, por lo que toda la respuesta que se estudie para los cristales sonoros solo se estudiará en la Zona de Brillouin Irreductible.
Por lo tanto, esa es la zona dentro de la cual se estudiarán las características de respuesta de todos estos cristales. Entonces, ¿qué se entiende por un espacio real? Así, en primer lugar un entramado directo. ¿Qué es un entramado directo? Es un entramado; la estructura de celosía física o el entramado de cristal físico que hemos estado discutiendo. Hasta ahora ese es el entramado directo o lo que podamos ver en lo real en el espacio real que la estructura de cristal o celosía de cristal es la celosía directa.
(Consulte la hora de la diapositiva: 02:13)

Por lo tanto, el entramado directo se estudia en el espacio real. Entonces, ¿qué se entiende por un espacio real? Ahora sabemos que sabemos que un espacio típico consiste en las tres dimensiones espaciales, así como una dimensión de tiempo. Por lo tanto, un espacio real consta de tres dimensiones espaciales ortogonales. Por lo tanto, si usted está tomando independientemente de qué tipo de sistema está estudiando, así que déjennos decir que elige el sistema de coordenadas cartesianas.
Por lo tanto, en ese caso tendrá tres dimensiones especiales independientes. Será el eje X, el eje Y y el eje Z, son los tres. Son mutuamente perpendiculares entre sí y mutuamente independientes entre sí. De la misma manera vamos a decir que elijas un sistema de coordenadas esféricas.
En ese caso, cualquier punto puede ser representado; la ubicación de cualquier punto puede ser representada por tres coordenadas independientes que es el; (R, θ, φ). Entonces, aquí R es simplemente la distancia radial del origen y θ es el ángulo que la reflexión, es el ángulo que el reflejo del punto hace con el eje X, y φ es el ángulo que el vector radial del punto hace con el plano XY. Por lo tanto, hemos estudiado qué es un sistema esférico o qué es un sistema de coordenadas cartesianas.
Por lo tanto, cualquiera que sea el sistema que sigamos para cualquier objeto, la ubicación puede ser completamente descrita por las tres coordenadas espaciales y por una cuarta dimensión que es el tiempo. Por lo tanto, tenemos la coordinación del tiempo del espacio y esto constituye un espacio real.
(Consulte la hora de la diapositiva: 04:03)

Por lo tanto, todas las cosas que hemos estado estudiando para nuestra red de cristal como lo que es la forma de cristal, cuál es el tamaño de la forma y la dimensión del cristal, cuáles son las diversas direcciones de la periodicidad, las diversas constantes de celosía incluso las propiedades tales como el módulo de volumen y la densidad, todo esto se ha estudiado en un espacio real.

(Consulte la hora de la diapositiva: 04:25)

Pero también podemos estudiar la propagación de ondas en un espacio real. Así que, en el comienzo mismo de este curso en la conferencia 1, le dije que cualquier propagación de onda específica específicamente una propagación de ondas acústicas puede ser descrita como una variación periódica en el espacio y el tiempo.
Así que, si es suma digamos si es una onda de pie, entonces eso se convierte en una variación periódica con el tiempo, pero sobre el espacio permanece constante. De la misma manera que tenemos, pero las ondas acústicas típicas son ondas de viaje porque están propagando y transfiriendo la energía del sonido de la fuente al receptor. Por lo tanto, son las ondas de viaje y la onda de viaje típica es entonces una perturbación que puede ser mostrado como una variación periódica sobre el espacio y el tiempo.
Por lo tanto, la propagación de ondas se puede representar en el espacio real como este. Por lo tanto, usted tiene la variación de la presión acústica sobre el espacio y un parámetro importante que se obtiene es la longitud de onda que es la distancia sobre el espacio o la distancia espacial sobre la cual la onda está repitiendo su patrón. Por lo tanto, cuando lo representan y ven lo que es cómo la onda está variando sobre esto, sobre cualquiera de la dimensión espacial. Así, cuando usted tiene tres dimensiones espaciales digamos X Y y Z y usted consigue y crea una onda 3D, entonces tendrá una longitud de onda asociada con la dirección X, una longitud de onda asociada con la dirección Y y una longitud de onda asociada con la dirección Z.
Por lo tanto, a través de todas estas dimensiones espaciales individuales se obtiene un parámetro específico que se llama como una longitud de onda. De forma similar, la onda se puede representar durante el tiempo de dimensión.

Por lo tanto, es como una variación periódica en el tiempo. Así que, si ves en esta figura aquí y aquí el parámetro que obtenemos es un periodo de tiempo. Por lo tanto, aquí la ola está repitiendo su patrón durante este período de tiempo. Por lo tanto, esta es la longitud en el eje de tiempo o la distancia a lo largo de la dimensión de tiempo sobre la cual se repite el patrón de onda. De la misma manera la distancia sobre la cual el patrón de onda se repite en la dimensión espacial, obtenemos una longitud de onda y a través de una dimensión de tiempo, obtenemos un período de tiempo.
Así, así es como la onda está en el espacio real, pero también estudiamos que el conocimiento del conocimiento de cómo está variando sobre el espacio y el tiempo no es suficiente. De hecho, ¿qué componentes de frecuencia comprende y cómo la magnitud o la potencia varían sobre la frecuencia o lo que usted en general llaman como el espectro de la frecuencia de energía es aún más importante porque la mayoría de las aplicaciones de control de ruido, que significa que utilizan el oído humano y el oído humano es de alta frecuencia selectiva. Por lo tanto, un conocimiento del componente de frecuencia se vuelve muy importante. Por lo tanto, si alguna señal de sonido está disponible para usted, así que vamos a decir en cualquier aplicación de control de ruido que adquiera una señal de sonido y que la señal de sonido será la señal de sonido en el espacio real.
Por lo tanto, será una señal de sonido que varía sobre el espacio y el tiempo, la dimensión espacial y el tiempo, pero usted convierte esa señal de sonido en un nuevo dominio que es el dominio de frecuencia y número de onda. Por lo tanto, usted hace una transformación de Fourier. Por lo tanto, si usted quiere estudiar la propagación de la onda en más detalle aún, entonces sólo adquirir una señal no es suficiente. A veces tienes que estudiarlo en un marco diferente utilizando la transformación de Fourier, para que puedas obtener una información más detallada de cuáles son los componentes de frecuencia individuales y cuáles son los diversos números de onda o vectores de propagación de ondas. Por lo tanto, esto crea la necesidad de utilizar un espacio recíproco.

(Consulte la hora de la diapositiva: 08:25)

Así que, dentro de los cristales también digamos que estamos estudiando la propagación de ondas en el cristal, entonces podemos o bien estudiar la propagación de ondas en el espacio real normal que es la dimensión espacial en el tiempo, pero también podemos crear un espacio recíproco. Por lo tanto, lo que tenemos es que tenemos un cristal que puede ser representado en un nuevo marco completamente y ese nuevo marco le mostrará la relación de cómo la onda se está propagando sobre las diferentes frecuencias y sobre los diferentes números de ondas.
Por lo tanto, se puede pensar en el espacio recíproco, ya que es equivalente a hacer una transformación de Fourier del espacio real. Por lo tanto, para obtener un análisis más detallado de la propagación de ondas, podemos estudiarlo haciendo una transformación de Fourier del espacio real. Por lo tanto, se trata de un marco que se utiliza para estudiar la propagación de las olas y se construye utilizando la reciprocidad de las dimensiones originales del espacio real.
Por lo tanto, como un nombre sugiere que es el espacio recíproco lo que significa que lo que fuera el espacio real, utilizamos el recíproco de las dimensiones. Por lo tanto, corresponderemos las cantidades para obtener un nuevo tipo de marco donde estudiamos la propagación de olas y este nuevo marco le dará información más detallada sobre los componentes de frecuencia de la onda.

(Consulte la hora de la diapositiva: 09:53)

Entonces, ahora sabemos que el espacio real que comprende de tres dimensiones espaciales ortogonales X, Y, Z y el eje del tiempo. Así que, si tienes que pensar en un espacio recíproco, así que para un espacio recíproco necesitarás algo de reversa de la dimensión espacial y algo recíproco de la dimensión del tiempo a algo. Así, las dimensiones para el espacio recíproco, por lo que aquí las dimensiones de un espacio recíproco pueden ser tres dimensiones ortogonales donde la unidad es proporcional a 1 por la dimensión espacial, 1 por la dimensión espacial, de la misma manera.
Por lo tanto, estos y puede comprender de una dimensión cuya unidad es directamente proporcional a la recíproca de la época. Por lo tanto, estamos utilizando la reciprocidad de las cantidades que se utilizan en el espacio real para conseguir un nuevo marco. Ahora, sabemos de dos parámetros importantes que fue la longitud de onda y el período de tiempo en el espacio real. Por lo tanto, si reciprocamos la longitud de onda que es 1 λ y luego añadir 2π a la misma.

Por lo tanto, 2π λ como usted sabe es un número muy importante que es el número de onda o el vector de propagación. Del mismo modo usted puede hacer 2π T que le da la frecuencia angular que es otra vez ω, un parámetro muy importante para una onda. Por lo tanto, una elección óptima podría ser que creamos un espacio recíproco usando ω y k como las dimensiones. Entonces, lo que se llega aquí es eso. Por lo tanto, el espacio recíproco típico se crea utilizando las tres dimensiones de número de onda ortogonal.

Así que, con todo lo que hay nos deja decir que teníamos x y y z eje, entonces corresponde a cada dirección que tenemos un vector de propagación de onda individual. Así, tenemos un vector de propagación de onda a lo largo de la dirección x, un vector de propagación de onda a lo largo de la dirección y, y un vector de propagación de onda a lo largo de la dirección z. Por lo tanto, tienes kx, ky y kz. Estos son los tres componentes independientes del vector k total.
Por lo tanto, se trata de kx, ky y kz; kx, ky y kz. Por lo tanto, estos son los tres vectores de ondas individuales o números de onda y representan las tres dimensiones de número de onda ortogonal. Por lo tanto, estas tres primeras tres dimensiones son kx, ky y kz y la cuarta dimensión es entonces 2π T que

es la dimensión de la frecuencia angular Así, cuando esta forma de marco se utiliza donde usted tiene k espacio, donde usted tiene un espacio recíproco que comprende del espacio ω − k. Por lo tanto, en lugar de tener la ubicación y el tiempo espaciales, ahora están usando lo que es la frecuencia y el número de onda y están representando las diversas ondas en términos de estas coordenadas, entonces eso se convierte en un espacio recíproco que también es llamado como espacio ω-k o simplemente el espacio k.
Así que, ahora ya sabes por qué usamos el espacio recíproco, es para obtener un análisis más detallado de los componentes de frecuencia y la propagación de la onda. Por lo tanto, el mismo entramado que estudiamos en el directo; en el espacio real entonces puede ser convertido en un espacio recíproco.
(Consulte la hora de la diapositiva: 13:49)

Por lo tanto, estudiemos la red directa que sabemos que es el entramado representado en el espacio real.
Ahora cada entramado puede ser pensado como una repetición de un bloque de construcción primario.
Por lo tanto, usted y ese mismo bloque de construcción cuando se repite utilizando algunas operaciones simétricas como si se traduce o se gira o se refleja sobre algún eje, puede crear todo el cristal, de modo que la unidad primitiva se convierte en la célula de la unidad primitiva o simplemente el bloque de construcción primitivo del sistema de cristal.
Ahora, si sabemos; si sabemos cómo se produce la propagación de la onda en esta célula primitiva en particular y sabemos que eso es porque un entramado es en realidad un arreglo periódico, es un arreglo periódico ordenado muy fuerte. Así que, si podemos averiguar cuál es la zona mínima o la mínima, la principal, la unidad repetitiva más pequeña que al repetir está creando todo el cristal, entonces en ese entonces podemos estudiar.
Así que, en lugar de estudiar la propagación de la onda sobre todo el dominio del cristal, podemos simplemente estudiar la propagación de la onda sobre esta unidad repetitiva y podemos reflejar o simplemente podemos simplemente traducir o reflejar los resultados sobre el otro sobre nosotros podemos seguir reflejándolo, de modo que obtengamos los resultados sobre todo el cristal para reducir el tiempo de cálculo en cómo calcular.
Por lo tanto, a veces se utiliza MATLAB o a veces se utilizan algunos métodos de elementos finitos para calcular o muchas otras herramientas numéricas para calcular cómo la onda debe propagarse dentro de diferentes cristales. Por lo tanto, puede reducir el tiempo de cálculo si reduce la zona de cálculo. Así que, en lugar de estudiar ahora para todo el cristal, puedes estudiar dentro de una pequeña unidad de repetición y entonces sabes que el resultado que estamos obteniendo para esta unidad repetitiva será simétrico porque el cristal es simétrico, la unidad repetitiva puede ser simétricamente, muchas de estas unidades simétricas pueden ser arregladas para obtener todo el cristal.
Por lo tanto, el resultado será el mismo para el cristal. Por lo tanto, cualquier resultado que obtenga dentro de una unidad primaria, se puede utilizar para crear la solución para todo el cristal. Por lo tanto, para reducir el tiempo de cálculo a veces sólo se estudia la propagación de ondas dentro de la célula de unidad primaria.

(Hora de la diapositiva: 16:19)

Entonces, ¿cuál es la definición? La definición formal de esta célula de unidad primitiva, es la celda de volumen mínimo que corresponde a un solo punto reticular de una estructura que puede ser utilizada para crear todo el cristal usando algunas operaciones simétricas como la traducción, la rotación y la reflexión.
Por lo tanto, es el volumen mínimo de la celda con solo un punto de celosía que puede actuar como la unidad repetitiva para crear todo el cristal y otra forma de definirla puede ser el locus de puntos en un espacio que están más cerca de ese punto de celosía.
Así que, supongamos que tenemos un cristal, elegimos un punto y queremos y queremos crear una célula de unidad primitiva alrededor de ese punto de celosía, entonces será el lugar de todos los puntos que están más cerca de ese punto de celosía en particular que a cualquier otro punto de la red y ya que este tipo de célula particular que creamos se llama como la célula de Wigner-Seitz. Por lo tanto, lleva el nombre de los científicos que lo descubrieron y propuso esta idea de Wigner y Seitz.
Por lo tanto, la célula de la unidad primitiva a veces también se llama como la célula de Wigner-Seitz.

(Consulte la hora de la diapositiva: 17:29)

Por lo tanto, esto muestra este diagrama aquí muestra cuáles son las diferentes unidades primitivas. Por lo tanto, digamos que usted tiene un arreglo cúbico, entonces usted tiene un entramado cúbico, entonces un entramado cúbico podría ser roto primero en su entramado de Bravais. Por lo tanto, el entramado cúbico le dará una estructura cúbica.
Por lo tanto, esta es la célula de la unidad del entramado cúbico y dentro de esta célula de la unidad también podemos romper para obtener lo que es la unidad de repetición que contiene sólo en un punto de celosía. Por lo tanto, digamos que hemos elegido esto como el punto de la red, entonces tenemos que averiguar el volumen del espacio o el lugar entero de los puntos que están más cerca de este punto de celosía que de cualquier otro punto. Así que, si ven el avión aquí, esto es jugar, esto está a mitad de camino en esta dirección en particular.
Por lo tanto, aquí cualquier punto dentro de esta zona, ellos estarán más cerca de este átomo en particular que del otro átomo adyacente en la parte superior. De la misma manera si ves el espacio este este espacio aquí, también está a medio camino. Este plano está a medio camino en estos sitios; longitud lateral. Por lo tanto, cualquiera de todos los puntos que están dentro de este particular entre este punto, punto de celosía y el plano.
Entonces, todos estos puntos aquí que están dentro del punto de celosía y el plano, estarán más cerca de este punto de celosía en comparación con este punto de celosía adyacente y de la misma manera que ustedes pueden seguir construyendo tales planos y finalmente encuentran un volumen de espacio que es un cubo mismo y pasa a través, pasa a mitad de camino entre todas estas líneas. Por lo tanto, está a medio camino. Así, las líneas son las líneas de conexión de los puntos de celosía adyacentes. Así que, a medio camino entre que tienes aviones y dentro de eso puedes conseguir un cubo.
Por lo tanto, esto nos muestra la primitiva unidad de repetición para una estructura cúbica. De la misma manera se puede obtener alguna célula de Wigner-Seitz o una primitiva célula repetitiva o la primitiva primaria lo que nosotros llamamos célula de unidad primitiva, esto sale a ser esto. Así que, siempre lo que haces es elegir un punto de celosía en particular y ver lo que podría ser el volumen de espacio que es el que contiene los puntos que están más cerca de esto y no a ningún otro punto de la red y luego se crea un volumen de espacio que se convierte en la unidad de repetición primaria que en la repetición puede crear toda la estructura de entramado. Al igual que tenemos la célula de la unidad primitiva, también tenemos otro parámetro que es llamado como un vector primitivo de celosía.
(Hora de la diapositiva: 20:19)

Por lo tanto, estos son los vectores independientes que definen todas las direcciones de la periodicidad en una célula de unidad. Así que, digamos y el punto a los sitios adyacentes en el entramado, así que digamos que tenemos algunos. Por lo tanto, es mejor mostrarlo en las dos dimensiones para una mejor visualización. Por lo tanto, digamos que tenemos sistema de red cuadrada 2D.
Así, estos dos; estos dos vectores se convertirán en los vectores de celosía primitiva porque se puede ver que hay una periodicidad a lo largo de la dirección horizontal y una periodicidad a lo largo de la dirección vertical. Así, podemos elegir un punto como el punto de celosía o el punto reticular primitivo y luego, tenemos los vectores que se unen al centro de este origen a esto al centro del siguiente punto de celosía adyacente.

Por lo tanto, esta es la longitud que la longitud será igual a la distancia entre los centros de dos puntos de celosía adyacentes o pares de celosía. Por lo tanto, esto es lo que se obtiene y corresponden a las direcciones individuales donde la variación periódica está sucediendo de la misma manera que usted puede para un entramado hexagonal. Usted consigue estos como los vectores de celosía primitiva y usted puede decir que cualquier otra repetición.
Por lo tanto, hay una repetición sucediendo en esta dirección, hay una repetición sucediendo en esta dirección y también hay una repetición en esta dirección este, pero esto puede ser representado como una combinación de las dos primeras direcciones. Por lo tanto, esto no es independiente. Por lo tanto, sólo tenemos dos direcciones independientes aquí. Por lo tanto, estos son los vectores de la red, que es simplemente la dirección sobre la cual la variación periódica está sucediendo y ellos son independientes.
(Hora de la diapositiva: 21:59)

Por lo tanto, esto es una especie de sistema de coordenadas para una red directa. Ahora, vayamos a la celosía recíproca y estudiemos los mismos términos en la celosía recíproca. Entonces, ¿qué es una celosía recíproca? Es simplemente el entramado que se construye en el espacio recíproco y cómo construimos un entramado recíproco.
Por lo tanto, digamos que tenemos a1, a2, y a3 como los primitivos vectores de celosía de una red directa. Así, en el caso anterior teníamos un sistema 2D. Por lo tanto, sólo teníamos dos vectores de celosía, pero si tenemos un sistema de red en 3D, entonces tendremos tres de estos vectores de celosía a1, a2, y a3 y si hacemos estas operaciones de transformación, entonces obtendremos los vectores de celosía primitiva para la celosía recíproca y luego basaremos en que se puede crear la celosía recíproca.

(Hora de la diapositiva: 22:53)

Y esta acción es, obviamente, es que sucede en ambos sentidos. Entonces, ¿qué quiere decir con esto es que por cada entramado directo habrá un entramado recíproco que será único así y viceversa. De la misma manera que nos deja decir el ejemplo de la transformada de Fourier que voy a dar de nuevo. Por lo tanto, digamos que usted tenía una señal real en x y t para x, y, z, y t.
Entonces, era una función de p como una función de x, y, z, y t hiciste una transformada de Fourier y obtienes señal en el espacio recíproco. Por lo tanto, tienes una p como función de ω y k, otra vez haces una transformada de Fourier. Por lo tanto, lo que obtendrá es que volverá a obtener la señal real de vuelta que será p como una función de x, y, z y t.
Por lo tanto, lo que haces es que si haces esta operación dos veces, obtienes la señal real de vuelta. De la misma manera, digamos que usted crea un entramado recíproco de una celosía recíproca, entonces usted conseguirá la celosía directa. Por lo tanto, si la misma transformación se vuelve a hacer a los vectores de celosía recíproca, se obtienen los vectores de celosía directa.

(Hora de la diapositiva: 24:05)

Así, se ha encontrado en estos estudios de cristales es que un simple cúbico genera un simple entramado recíproco cúbico, centrado en la cara genera cuerpo centrado, centrado en el rostro centrado en el cuerpo y hexagonal genera otro entramado hexagonal como el entramado recíproco.

Por lo tanto, la forma para hexagonal y cúbico simple sigue siendo la misma. Las dimensiones cambiarán obviamente que se regirán por estas ecuaciones de transformación, pero la forma será la misma.
(Hora de la diapositiva: 24:35)

Ahora, el último concepto en esta conferencia en particular es la zona de Brillouin. Así que, al igual que teníamos una célula de unidad primitiva o una célula de Wigner-Seitz para un entramado directo, así que ahora tenemos un entramado recíproco. Si usted descubre cuál es la célula de Wigner-Seitz para este entramado recíproco que será su zona de Brillouin.
Así que, primero tienes un cristal, lo conviertes en su celosía recíproca y luego se descubre cuál es la unidad de repetición mínima con solo un punto de celosía. Así que, eso te dará la zona de Brillouin. Entonces, lo que podemos hacer es que digamos que queremos estudiar la propagación de las olas en un cristal. Podemos reducir el cristal en su zona de Brillouin sólo para reducir el tiempo de cálculo y podemos estudiar la propagación de la onda sólo dentro de la zona de Brillouin y basado en el conocimiento que obtenemos que se puede transferir para crear el in para obtener el conocimiento de lo que está sucediendo en todo el cristal.
Así que, solo estudiando una pequeña zona podemos obtener el conocimiento de lo que está sucediendo en todo el cristal. Sin embargo, si usted ve estas zonas de Brillouin aquí, también tienen simetría.
Por lo tanto, la zona de Brillouin en sí puede ser reducida aún más y más abajo, de modo que obtenemos la zona más pequeña que podemos estudiar y recrear el resultado para todo el cristal.
(Consulte la hora de la diapositiva: 25:57)

Así que, eso da el concepto de zona Irreductible Brillouin. Por lo tanto, la zona de Brillouin que estamos obteniendo también puede ser simétrica en la naturaleza. Por lo tanto, podemos cortar las zonas en las diversas porciones de simetría y conseguir la unidad más pequeña que en la repetición creará la zona de Brillouin y esta zona de Brillouin en la repetición creará todo el cristal.

Así, IBZ es un concepto muy importante porque a partir de ahora cuando estudiemos sobre la respuesta de los cristales sonoros, siempre veremos la respuesta en el en el del eje será el IBZ o la Zona de Brillouin Irreducible porque el cómo se propaga la onda solo se estudiará en la Zona de Brillouin Irreductible del cristal sónico y eso puede darte la idea de lo que estará pasando en todo el cristal Brillouin. Por lo tanto, esto es sólo para reducir el tiempo de cálculo y guardar; ahorrar tiempo de cálculo, y la complejidad de los resultados.
(Consulte la hora de la diapositiva: 26:55)

Así que, digamos si este es un cristal en particular, esta es la zona muy pequeña que es simétrica y que en la repetición está creando la zona de Brillouin; así que esta es la IBZ. Por lo tanto, continuaremos esta discusión sobre la zona de Brillouin irreductible, entonces seguiremos adelante para discutir acerca de las brechas de la banda en la próxima conferencia.
Así que, gracias por escuchar.