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Introducción a los cristales de Sonic

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Bienvenidos a la conferencia número 34 de la serie sobre Materiales Acústicos y Metamateriales. Entonces, esta es una conferencia importante porque hoy comenzaremos nuestra discusión sobre un nuevo tipo de metamaterial acústico, que es llamado como los cristales sonoros. De hecho, los cristales sónicos son uno de los primeros metamateriales acústicos en ser descubiertos lo siento inventado y estudiado. Así, se inventaron y estudiaron y se deriva del fenómeno de los cristales fotónicos que en realidad se desarrollaron para las ondas electromagnéticas.
Así que, de aquí en adelante y hacia las últimas conferencias estaremos estudiando sobre los cristales sonoros y su modo de funcionamiento, entonces vamos a resolver algunos problemas relacionados con eso. Así que comencemos esta conferencia. Por lo tanto, la primera conferencia es sólo una introducción a los cristales de Sonic.
(Consulte la hora de la diapositiva: 01:12)

Entonces, lo que vamos a estudiar aquí es que, vamos a estudiar qué quiere decir con cristales sonoros. Así, estudiaremos lo que se entiende por cristales sonoros, entonces estudiaremos los diferentes tipos de cristales sónicos de 1 dimensión, 2 dimensionales y 3 dimensionales y luego antes de ir y profundizar en cómo lo que es la física fundamental detrás de la operación de los cristales sonoros, necesitamos ganar algo de conocimiento sobre algunos conceptos de fondo en cristal la cristalografía o simplemente los cristales o cristales artificiales y luego algunos conocimientos también sobre formación de brecha de banda y resonancia local.
Así que, en esta conferencia comenzaremos con algunos de los conocimientos de fondo sobre los cristales. Así que, eso lo haremos. Por lo tanto, esto es lo que hará en esta conferencia en particular aquí.
(Consulte el tiempo de la diapositiva: 01:57)

Entonces, en primer lugar, ¿qué son los cristales sónicos? Por lo tanto, la forma en que están definidos es que en las conferencias anteriores cuando le había presentado lo que es metamateriales acústicos, le dije que hay varios tipos de metamateriales acústicos y que se clasifican principalmente en la base de cómo operan. Por lo tanto, usted puede tener un material con una densidad negativa. Por lo tanto, se convierte en un metamaterial acústico de densidad negativa y un ejemplo de ello fueron los metamateriales acústicos tipo membrana que habíamos estado discutiendo en las últimas 5 conferencias.
Y luego a; un metamaterial acústico, también puede manipular el sonido si tiene un módulo a granel negativo. Por lo tanto, o bien es un B negativo o un ρ negativo, ambos hacen que la velocidad del sonido sea imaginaria. Por lo tanto, el vector de propagación sale a ser imaginario y la región de frecuencias o el rango de frecuencias dentro de las cuales B es 0 lo siento B < 0; o ρ < 0.
Por lo tanto, en ese rango de frecuencias siempre donde se convierte en ρeffective, donde ρeffective < 0; o Beffective < 0. Así que, cada vez que cualquiera de las dos cantidades se vuelve negativa, entonces en ese caso lo que obtenemos es que nos encontramos en un vector de propagación imaginario. Por lo tanto, no hay ninguna onda de propagación del avión. Por lo tanto, la propagación se detiene en estas frecuencias.
Por lo tanto, los cristales sónicos son un ejemplo donde B se convierte en menos de 0 y a veces algunos cristales sónicos también pueden ser doble metamaterial negativo. Así, se trata de otro tipo de metamaterial acústico donde tanto B < 0 como ρ < 0. Así, cuando ambos B < 0 y ρ < 0, en ese caso lo que obtenemos es, obtenemos una flexión muy aguda del sonido o obtenemos un índice de refracción negativo.
Por lo tanto, esa es otra propiedad. Por lo tanto, los cristales sónicos por la definición usted verá que aquí en estos cristales a veces B < 0 o en algún tipo de casos tanto B < 0 y ρ < 0.
Por lo tanto, pueden actuar cuando B es menor que cuando una de las cantidades es menor que 0, entonces puede actuar como un material atenuante de sonido. Por lo tanto, puede bloquear las ondas de sonido siempre que, cada vez que uno de los dos parámetros se convierte en menos de 0. Pero cuando simultáneamente ambos parámetros se vuelven menos de 0, entonces en ese caso los mismos cristales sónicos pueden actuar tan fuertes que pueden actuar como doblando las ondas de sonido, pueden doblar las ondas de sonido bruscamente. Así que, vamos a ver aquí. Por lo tanto, lo que he discutido aquí es que, los cristales sónicos son un tipo de metamateriales acústicos, que trabajan en el principio de un módulo negativo a granel y/o el principio de la densidad negativa.
Por lo tanto, usted tendrá que encontrar ambos tipos de ejemplos, uno donde B < 0 el otro ejemplo donde ambos: B < 0 y ρ < 0. Entonces, ahora, ¿cómo definimos este cristal sónico? Como se puede ver el nombre tiene palabra de cristal en él y Sonic. Por lo tanto, es un tipo de cristal usado para la manipulación de sonido.
Por lo tanto, el peso se define es que, es un cristal artificial de una matriz periódica de tamaño finito. Por lo tanto, tiene una matriz periódica de tamaño finito que se compone de scatterers sónicos incrustados en un material anfitrión homogéneo. Por lo tanto, usted tendrá un material anfitrión homogéneo, que en general es un medio fluido y dentro del cual usted tiene algunos exploradores sonoros colocados en un arreglo periódico.
¿Y qué quiere decir con un carroñero sónico? Por lo tanto, cualquier material que pueda reflejar los sonidos completamente. Por lo tanto, idealmente no es posible una reflexión completa, pero hay materiales que pueden al menos reflejar la mayoría de los sonidos más de 0.9 por ciento podría ser el coeficiente de reflexión. Por lo tanto, cuando usted tiene tales materiales duros que pueden reflejar los sonidos tales

de materiales, actúan como carroñeros para el sonido. Por lo tanto, aquí en esta definición el escatador sonoro es cualquier material denso que refleja el sonido. Por lo tanto, puede ser metales, maderas duras, etcétera.
(Consulte la hora de la diapositiva: 06:31)

A veces el término cristal fonónico también se utiliza para los cristales sonoros. Por lo tanto, voy a hacer una distinción aquí. Así que, debido a que este es un campo en auge de investigación y diferencia y de diferentes grupos de científicos a través de diferentes partes del mundo, han surgido con una terminología diferente.
Así que, supongamos que un cierto grupo de científicos en un, en una parte particular del mundo tiende a seguir la terminología de los cristales sonoros, algún otro grupo tiende a seguir la terminología de los cristales fonónicos. Para sólo hacer la diferencia entre los dos claros: los cristales fonónicos que es otro término usado en algún momento sinonímicamente con los cristales sonoros es en realidad cuando estos cristales. Por lo tanto, los mismos cristales la definición que se da aquí que es un cristal artificial de tamaño finito matriz periódica, compuesto de scatterers sónicos incrustados en algún material de host homogéneo.
Por lo tanto, usted tiene un medio homogéneo y tiene scatterers sónicos colocados en una matriz periódica de tamaño finito. Cuando el material de acogida para esto se vuelve sólido usamos el término como cristales fonónicos, cuando el material anfitrión para esto se convierte en aire o fluido usamos el término como cristales sonoros.

Así que, en la mayor parte de nuestra discusión. Por lo tanto, en este curso particular la mayor parte de la discusión se limitará a los cristales sonoros, es decir, cuando tengamos scatterers sónicos o los escatadores del sonido colocados dentro de algún medio fluido en general que será el aire. Ahora, con base en la dirección de la periodicidad estos cristales sónicos pueden ser clasificados como 1 dimensional, 2 dimensional, y 3 dimensionales.
(Consulte la hora de la diapositiva: 08:06)

Por lo tanto, veamos algunas figuras que le harán entender lo que significa un cristal sónico y cuáles podrían ser las diversas direcciones de la periodicidad.
(Consulte la hora de la diapositiva: 08:26)

Por lo tanto, aquí se puede crear el primer tipo de cristales sónicos, digamos que tenemos algún material de barrera. Por lo tanto, si usted ve en esta figura aquí, todo esto es un sonido duro que refleja el material.
Por lo tanto, son un sonido duro que refleja el material o son simplemente se puede decir un fuerte material de barrera. Por lo tanto, cuando se utiliza tal actúan como depuradora. Por lo tanto, estos actúan como scatterers de sonido. Por lo tanto, cuando el sonido es incidente en estos materiales se refleja de vuelta. Por lo tanto, están dispersando las ondas de sonido.
Por lo tanto, este tipo de tales materiales de barrera o scatterers pueden ser colocados como este por uno de manera periódica. Así que, usted tiene esto, por lo que la disposición periódica lo que se entiende por disposición periódica es que, esta distancia, esta distancia y así, en. Por lo tanto, la distancia entre la dispersión es la misma. Por lo tanto, todos estos son equidistantes. Entonces, aquí lo que ves es eso, esta periodicidad que es cuando vas a esta dirección. Por lo tanto, la dirección normal a la superficie del material de barrera. Entonces, en esta dirección normal lo que ves es que, de repente ves que la propiedad del medio está cambiando periódicamente.
Por lo tanto, lo que está sucediendo aquí es que digamos que el catador tiene su propio B y ρ. Por lo tanto, este es el B y los valores de ρ para el escatador y este es el B y el valor de ρ para el aire o el medio que estamos usando. Así que, una vez que vas en esta dirección lo que ves es que periódicamente este valor de B y ρ sigue cambiando y ocurre sólo en una dimensión. Así, en este particular; en esta dirección en particular se obtiene una variación periódica en las propiedades, pero cuando se mira en otra dimensión ortogonal. Por lo tanto, vamos a decir que miran hacia la dirección vertical. Por lo tanto, a lo largo de la vertical no hay variación periódica.
Si elige algún punto en particular, permanecerá la constante en todo el eje y si esto se convierte en eje x. De manera similar a lo largo de la dirección z también no hay variación periódica, la variación periódica es sólo a través de esta dirección que se da en esta figura. Por lo tanto, esto se convierte en la dirección de la periodicidad que es la dirección donde las propiedades que varían periódicamente.
Así que, a medida que vaya por esta dirección primero obtendrá B y ρ como y después de una cierta distancia de repente cambiará a Ba y ρa y después de cierta distancia volverá a cambiar a Bs y ρs y este patrón seguirá repitiéndose porque todas estas distancias y estos valores son los mismos.
Por lo tanto, el espesor del material es el mismo en todas partes y la distancia entre el material es la misma. Por lo tanto, esto también es el mismo grosor. Por lo tanto, el espesor del material es el mismo, así como la distancia o el espaciado entre el material es el mismo. Por lo tanto, se obtiene una variación periódica. Por lo tanto, esto se convierte en un típico cristal sónico dimensional.
(Hora de la diapositiva: 11:46)

¿Qué se entiende por un cristal sónico de 2 dimensiones? Usted obtendrá la misma variación periódicamente, pero ahora en dos direcciones ortogonales independientes. Así que, si ves en esta figura aquí. Por lo tanto, este es uno de los más famosos arreglos de cristales sónicos que fue propuesto por Miyashita et al. en 2003. Por lo tanto, esto se toma de su papel.
Así que, aquí tienes un entramado cuadrado; así que aquí esta es una dirección de periodicidad y esta es la otra dirección de periodicidad. Por lo tanto, no hace falta decir aquí que el diámetro; así que esto es como un arreglo periódico de barras de aluminio en el aire. Por lo tanto, no hace falta decir que todas estas barras de aluminio o cilindros de aluminio, el diámetro de estas barras de aluminio será el mismo el material y la composición será la misma y el espaciado entre ellos debe ser el mismo. Así que, cuando el espaciado es el mismo, así que de nuevo aquí ahora dos cosas que tienes que tener en cuenta aquí. Por lo tanto, digamos que el espaciado a lo largo nos deja decir que este es el eje x y este es el eje y y hay un periódico.
Por lo tanto, cuando se va por el eje x lo que se ve es que, los valores B, ρ que están cambiando periódicamente porque el material está cambiando periódicamente. Por lo tanto, en este caso el espaciado es el mismo, así como el grosor es el mismo. Por lo tanto, digamos que este es un valor d y este es algún valor s1 o el espaciado a lo largo de la dirección x. Entonces, esto es lo mismo todo esto va a ser el mismo, pero no necesariamente cuando uno va por la dirección y.

Por lo tanto, incluso en la dirección y se puede tener el radio será el mismo que es un cilindro circular.
Por lo tanto, el diámetro será d, pero el espaciado entre ellos que es el espaciado aquí podría ser algún valor sy. Por lo tanto, el punto principal es que a lo largo de esta dirección todo el espaciado tiene que ser el mismo, pero podría ser diferente del espaciado para la otra dirección ortogonal. Así, en ese caso obtenemos dos direcciones independientes donde tenemos variación periódica y el periodo podría ser igual o diferente porque el espaciado es porque en una dirección el espaciado es un cierto valor digamos que a lo largo de la x dirección las varillas que están espaciadas nos dejan decir unos 100 centímetros de diferencia y a lo largo de las y direcciones están espaciadas unos 120 centímetros de diferencia.
Incluso entonces actúan como que serían clasificados como un cristal sónico de 2 dimensiones, pero el período en las dos direcciones va a ser diferente porque el espaciado se ha vuelto diferente. Entonces, el período o la variación periódica, el período será ¿qué? Es la distancia a lo largo de la cual el patrón está repitiendo o las propiedades de material de onda que están repitiendo y que la distancia dependería de lo que es el diámetro de la varilla, y el espaciado entre la varilla.
Por lo tanto, obtenemos dos direcciones independientes para la variación periódica y el período puede ser diferente. Por lo tanto, esto es lo que he dicho. Por lo tanto, un punto adicional es que el período de las dos direcciones tal vez diferentes; pueden ser diferentes, pueden ser lo que sea el caso.
(Hora de la diapositiva: 15:25)

De la misma manera podemos definir un cristal sonoro 3D. Así que, esta otra vez esta cifra que he tomado es de Liu en el. Así, estos autores habían propuesto un cristal sonoro en el año 2000 que es un cristal sonoro 3D. Entonces, ¿de qué se compone? Por lo tanto, es un cubo de 8 × 8 × 8. Así, tiene 8 esferas a lo largo del eje x, 8 esferas a lo largo del eje y y 8 esferas a lo largo del eje z.
Así que, las tres direcciones. Así que, la periodicidad aquí se te da, estos son los x y que corresponden a la x y y el eje z del sistema de coordenadas cartesianas y aquí los escatadores individuales que se utilizaron para este particular; este particular cristal sonoro. Así que, ¿cuál era el. Por lo tanto, en el caso anterior los verificadores utilizados por los autores fueron los cilindros de aluminio, cilindros de aluminio sólido o barras de aluminio. En este caso es la bola de plomo, por lo que tiene un diámetro de un centímetro de diámetro de bolas que se recubren en la parte superior con 2,5 milímetros de capa de goma de silicio. Por lo tanto, este es el tipo de catador individual que estamos utilizando y que periódicamente están dispuestos en todas las 3 dimensiones para formar este tipo de cubo.
Así que, de nuevo si vas a lo largo de esta dirección x lo que verás es que, primero pasas por la esfera y luego viene alguna brecha de aire, luego esfera entonces brecha de aire, luego esfera y brecha de aire.
Así que, de la misma manera que pasas a lo largo del eje y, obtienes el mismo patrón, y el eje z obtienes el mismo patrón. Por lo tanto, en estas tres direcciones usted está recibiendo variación periódica en la propiedad, pero dependiendo de lo que es el espaciado y lo que es el arreglo como en las tres direcciones ortogonales el período tal vez el mismo, puede ser diferente no importa.
Por lo tanto, este es otro ejemplo de un cristal sonoro 3D.

(Consulte la hora de la diapositiva: 17:29)

Así que, ahora que hemos visto lo que se entiende por un 1D o un cristal sonoro 2D o 3D. Por lo tanto, depende del número de direcciones independientes a través de las cuales obtenemos una variación periódica en la propiedad del material o una variación periódica en el B y los valores de ρ. Pero los cristales sónicos más comúnmente utilizados son en realidad cristales sonoros 2D y 3D y por lo tanto, estaremos limitando nuestras discusiones a los cristales sónicos 2D y 3D y lo más importante a los cristales sónicos 2D porque son más fáciles de construir y pueden dar algunas propiedades notables cuando se trata de una atenuación de sonido y una flexión de sonido.
Entonces, en el comienzo de la conferencia les expliqué que pueden ser dobles negativos o pueden tener un B. Así, en caso de un B negativo están tratando de atenuar el sonido porque cuando uno de los parámetros B o ρ, uno de los parámetros se vuelve negativo, entonces k vector se vuelve imaginario y lo que obtenemos no es propagación del sonido. De la misma manera si tenemos un doble material negativo. Por lo tanto, una especie de lo que está haciendo es que si lo comparamos con un si con un doble negativo o doble material electromagnético negativo, entonces en ese caso tienen un índice de refracción negativo.
Por lo tanto, de la misma manera el índice de refracción negativo general se logra lo que significa que las ondas de sonido se vuelven muy bruscamente o se doblan muy bruscamente cuando entran en contacto con tales cristales sonoros dobles negativos.

(Hora de la diapositiva: 19:04)

Por lo tanto, pueden ser utilizados para ambos propósitos: atenuación y flexión y discutir sobre ellos. Por lo tanto, para discutir cuál es el modo de operación y para obtener un mejor conocimiento, en primer lugar necesitamos tener algún conocimiento de fondo sobre lo que se entiende por cristales y cristales artificiales.
Por lo tanto, algunos conocimientos de fondo sobre lo que son los cristales, cuáles son las diversas terminologías dentro de un cristal, cómo es la propagación de la onda estudiada dentro de los cristales y luego algunos conocimientos sobre las brechas de la banda y el conocimiento sobre la resonancia local. Por lo tanto, cuando usted tiene este conocimiento y entonces podemos juntos lo juntamos y estudiamos muy fácilmente cómo las ondas se propagan dentro de un cristal sónico y cómo funciona el cristal sónico.

(Hora de la diapositiva: 19:50)

Así que, comencemos con cristales y cristales artificiales para que, aquí. Ahora, en la física de estado sólido o cuando usted estudia acerca de los materiales que usted habría oído que por lo general un material puede existir ya sea como amorfo o como cristal. Amorfo es más como una forma irregular en polvo mientras que, cristal allí tiene una naturaleza más nítida y periódica y los cristales que son más son más tienen una forma más bien definida si se quiere decir.
Por lo tanto, el material existe en la forma de algunas estructuras que tienen una forma muy rígida y bien definida. Entonces, ¿qué quiere decir con cristal? Es un material sólido cuyos constituyentes como usted puede tener los átomos, moléculas, iones; lo que sea. Eso es hacer del material, hay arreglados en una estructura microscópica muy ordenada que forma una celosía de cristal que se extiende en toda dirección.
Así que, cuando el cuando los bloques de construcción del material que pueden ser átomos, moléculas o iones que están dispuestos de manera fortuita nos ponemos amorfos entonces un poco de arreglo policristalino y finalmente, cristalino significa un arreglo altamente ordenado de estos arreglos altamente ordenados de digamos que lo llamemos bloques de construcción. Así que, en lugar de llamarlo porque depende de material a material.
Algunos materiales los bloques de construcción son iones por ejemplo, cloruro de sodio Na + Cl−; del mismo modo en algunos materiales es el carbono elemental; la unión de carbono carbono existente como grafeno o diamante así. Por lo tanto, allí el bloque de construcción es átomo y en la mayoría de los otros casos es una molécula.

Así que, en lugar de llamarlo átomos o qué o moléculas o iones, solo usaré los términos de los bloques de construcción. Por lo tanto, los bloques de construcción o las unidades de los materiales allí están dispuestos en una forma altamente ordenada en una forma cristalina. ¿Y qué se entiende por celosía? Por lo tanto, si este es el cristal entonces este arreglo o esta geometría se llama celosía.
(Hora de la diapositiva: 21:59)

Por lo tanto, es una disposición regular repetida de tres dimensiones de átomos, iones, moléculas o células de unidad que componen el sólido. Por lo tanto, eso arregla, ese patrón tridimensional de arreglo de estos bloques de construcción individuales se convierte en el entramado. Por lo tanto, los cristales que ocurren naturalmente ahora tienen que ver que los cristales que ocurren naturalmente, existen, aquí la repetición, la repetición sucede o el arreglo sucede en una escala microscópica, pero no, pero para los cristales artificiales puede tener algunas células individuales. Así, y el metamaterial acústico puede ser pensado como un cristal artificial.
Por lo tanto, tenemos algún bloque de construcción individual que es una célula de unidad y luego se está arreglando de una manera periódica. Por lo tanto, en general está formando una especie de celosía de cristal. Así que, esto es lo que aquí es donde entra la palabra cristal artificial. Por lo tanto, existe tal clase de materiales que tienen un patrón repetido en una escala macroscópica, es decir, en la escala de las microestructuras o células de la unidad. Así que, en vez de hablar ahora de los átomos, tenemos más grandes estructuras más grandes que en realidad pueden ser visibles a simple vista.
Así, se pueden ver y estas estructuras se repiten periódicamente y se disponen ya sea en una dimensión o dos dimensiones o tres dimensiones en una matriz periódica y juntos ese material puede ser una especie de pensamiento como un cristal artificial. Por lo tanto, un cristal sónico es un cristal artificial de hecho, la mayoría de los metamateriales que implican la disposición de las células unitarias de una manera periódica, pueden ser pensados como un cristal artificial.
(Consulte la hora de la diapositiva: 23:46)

Otra terminología que voy a discutir es el sistema de celosía de Bravais. Por lo tanto, esto es como un conjunto de todas las formas posibles de un entramado puede ser periódico si se compone de esferas idénticas colocadas en el punto de la red. Así que, cualquiera que sea la estructura si reemplazas esa estructura y sólo colocas esferas idénticas en los puntos de la red, entonces cuáles son las diversas formas que puede tomar, que un cristal puede ser formado.
Y se han identificado 14 sistemas de este tipo y se muestran aquí. Por lo tanto, todo el cristal puede ser generado cuando tal lattice de Bravais se repiten. Por lo tanto, esta es la variedad de formas que existen y estas se muestran en esta figura aquí.

(Hora de la diapositiva: 24:32)

Por lo tanto, lo que usted consigue aquí es que, usted tiene un cúbico simple, una cara centrada cúbica. Así que, simples medios cúbicos que nos permiten decir que tenemos los parámetros a, b, y c.
(Hora de la diapositiva: 24:44)

Entonces, no voy a entrar en el detalle de esto porque cada estudiante ha estudiado materiales y materiales sólidos en su clase 10, 11 y 12 e incluso en el B-Tech. Por lo tanto, ya tienen el conocimiento de esto lo que se entiende por una simple estructura cúbica o una cara centrada cúbica o un cuerpo centrado cúbico.

Por lo tanto, esta es las diferentes formas de arreglos estándar de una celosía de cristal particular. Por lo tanto, cuando se repite esta estructura en particular. Por lo tanto, usted tendrá algunos infinitos tales cubos que son apilados, adyacentes en la parte superior o inferior. Así, se repiten en todas las tres direcciones entonces se obtiene un cristal; de manera similar se puede repetir esta estructura en todas las tres direcciones y se obtiene otra estructura. Así, usando este tipo estándar de formas se pueden crear varias formas de cristales y esto es sólo una revisión de lo que esto significa, pero el punto de interés aquí es la estructura cúbica y la estructura hexagonal.
Debido a que el punto general de estas conferencias es estudiar acerca de los cristales sónicos y los cristales sonoros en general, o bien están dispuestos en un entramado cuadrado o en un entramado hexagonal ya sea en 1D o en 2D o 3D. Por lo tanto, o toman esta forma cúbica o forma hexagonal. Así que, esto es más de nuestro interés y a medida que vamos y estudiamos más sobre la disposición de los cristales sonoros, nos daremos cuenta de que lo que es la importancia particular de estudiar este entramado de Bravais.
(Consulte la hora de la diapositiva: 26:10)

Así, por ejemplo, aquí el entramado individual señala aquí el espacio que realmente pueden representar la ubicación de los exploradores sonoros. Y el otro es el espacio el espaciado entre ellos. Así que, aquí cada uno puede tener los scatterers sónicos y la otra cosa se convierte en el espaciado o el material de acogida. Por lo tanto, es así como se pueden arreglar estos catadores; se pueden arreglar en forma cúbica o se pueden arreglar en forma hexagonal. La última terminología en el estudio de los cristales es la densidad de embalaje o la fracción de relleno. Entonces, como sabemos, ¿de qué componen los cristales? Ellos componen de algunos bloques de construcción que se arreglan de manera periódica y en un cristal sónico que significa que está compuesto de algún scatterrer sónico que se dispone de alguna manera periódica.
Entonces la fracción de llenado se define como, cuál es el espacio ocupado por esa unidad repetitiva particular. Entonces, cuál es la fracción del espacio ocupado por ella en comparación con el espacio total del material. Por lo tanto, la fracción de llenado o la densidad de empaque se da como el volumen de espacio ocupado por la unidad primaria. Esta es esta unidad primaria en términos de celosía se convierte en un punto reticular o en términos de cristal sónico se convierte en los exploradores sonoros. Por lo tanto, si tenemos para un catador sonoro la misma definición para, para un cristal sonoro la definición de ffcrystal será; la fracción de relleno se convertirá en volumen de espacio ocupado por los escatadores divididos por el volumen total de espacio por el material por el cristal sónico.
Por lo tanto, el cristal sónico compondrá tanto del escatador como del medio anfitrión. Por lo tanto, el volumen total de espacio será el volumen de los depuradores más el volumen del material de host.
Por lo tanto, el denominador es ese término volumen total y el numerador es el volumen de espacio ocupado por los depuradores.
(Consulte la hora de la diapositiva: 28:44)

Por lo tanto, esta es la definición de fracción de relleno o densidad de empaque. Ahora, por lo general, como te dije a ti los sistemas cúbico y hexagonal son más de interés lo que significa, ahora vamos a estudiar más sobre los cristales sónicos 2D y 3D, pero de manera más general sobre los cristales sonoros 2D.

Por lo tanto, en un cristal sónico 2D el sistema cúbico puede ser pensado en la dimensión dos como un embalaje cuadrado y en la dimensión dos el tipo hexagonal de la disposición puede ser pensado como un embalaje hexagonal. Por lo tanto, estas dos formas de embalaje son más comunes para los cristales sónicos y el embalaje cuadrado es más fácil de construir y el embalaje hexagonal ¿por qué es el preferido? El empaque hexagonal es preferido porque tiene una fracción de llenado mucho más alta. Por lo tanto, dentro de este pequeño volumen se pueden contener más depuradores sonoros al mismo tiempo que tienen el mismo espaciado entre ellos.
(Hora de la diapositiva: 29:40)

Así que, si lo muestro aquí, digamos que estos son estos scatterers sónicos individuales y este es el arreglo en el que están siendo arreglados y este es el material anfitrión. Por lo tanto, este es el material de acogida y estos son los scattaters ok. Por lo tanto, en ese caso y el espaciado entre los dos depuradores se da para que sea un y el radio del depurador se da para ser r. Por lo tanto, tenemos el r y el valor.
Por lo tanto, tomemos una unidad repetitiva aquí. Entonces, esta es la unidad de repetición y vamos a ver lo que pasa aquí, tenemos una plaza. Por lo tanto, esta unidad de repetición es en realidad una especie de cuadrado y dentro de la plaza. Así, el lado de la plaza es a y dentro de la plaza tenemos un cuarto, un cuarto y un cuarto de círculos en todas las cuatro esquinas donde el radio es dado por r.
Entonces, ¿cuál será la fracción de llenado? Será lo que es el volumen de espacio ocupado por los depuradores que es la superficie total ocupada por los círculos divididos por la superficie total de la plaza. ¿Y cuál es el área de los círculos? ¿Cuántos círculos tenemos? Tenemos cuatro

Un cuarto círculo, cada círculo es un cuarto. Por lo tanto, tenemos 4 cosas así. Por lo tanto, esto se convierte en área neta de círculos. Por lo tanto, tenemos:

Área ocupada por los catadores = área de círculos en unidad de repetición = 4 × 1 4
× πr 2

Así que sale a ser πr 2 y la zona de la plaza es una plaza. Por lo tanto, la fracción de relleno que obtenemos para un embalaje cuadrado es πr 2.

(Hora de la diapositiva: 31:23)

Del mismo modo, si tenemos un embalaje hexagonal, si tomamos una repetición en la unidad aquí. Por lo tanto, tenemos el. Así, aquí tenemos la misma r y la misma a, por lo que el radio del escatador es el mismo y el espaciado entre el depurador es el mismo. Por lo tanto, aquí este es el material del anfitrión y este es el escatador y tienen el mismo radio y espacio. Así que, vamos a encontrar la fracción de relleno. Por lo tanto, tomamos una unidad de repetición aquí.
Así que, aquí de nuevo la fracción de relleno será lo que sea. Así que, si esta es la unidad repetitiva en particular esta cosa, este hexágono se está repitiendo y está creando todo el arreglo. Por lo tanto, dentro de esta unidad repetitiva cualquiera que sea el volumen del carroñero es lo que sea el volumen sea cual sea el área ocupada por los círculos. Y de manera similar el área total, el espacio total ocupado por el material será el área del hexágono. Así, área de círculos por la zona de hexágonos.

(Consulte la hora de la diapositiva: 32:23)

Por lo tanto, vamos a calcular primero cuál es el área ocupada por la unidad de repetición total que va a ser la zona del hexágono. Así que, aquí el lado es un y hexágono se puede pensar en que se puede dividir así. Así, todos estos triángulos son triángulos equiláteros con ángulo de 60 grados.
Entonces, si este es el que es el espaciado, entonces esta altura h para un triángulo en particular se convierte en un pecado 60 °, por lo que es un tiempo. Así que, en este particular triángulos.
Por lo tanto, si usted toma este triángulo aquí este triángulo más grande este es el hipotenuse y este es el ángulo opuesto. Por lo tanto,

h = a sin 60 ° = a
√ 3 2

Por lo tanto, el área del hexágono será ¿qué? Será 6 veces porque todos estos triángulos son triángulos similares que son y son triángulos equivalentes y todos son equiláteros.
Entonces, 6 tales triángulos están allí.
Por lo tanto, tenemos 1, 2, 3, 4, 5, 6, por lo que 6 multiplicado por el área del triángulo que es la mitad de la altura en la base, por lo que:

Superficie ocupada por triángulos = 6 × 1 2
× h × a = 3 × a √ 3 2
× a = 3 × √ 3 2
× a 2

Así que, esto sale a ser la zona ocupada por el material.
(Consulte la hora de la diapositiva: 33:52)

Ahora, vamos a averiguar cuál es la zona ocupada por el catador dentro de esta unidad. Ahora, tenemos 6 círculos de este tipo en la esquina. Por lo tanto, en primer lugar hay un círculo en el centro. Por lo tanto, este volumen es lo que estamos tratando de averiguar esta área lo siento. Por lo tanto, esta es la zona que estamos tratando de averiguar.
Entonces, ¿qué será esto? Esto será πr 2 y luego todas estas secciones si usted ve aquí, todas estas secciones son en realidad un tercio. Así que, si tienes una línea aquí y esto va a ser igual todo esto es de 120 °. Por lo tanto, es un tercio de un círculo. Así:

(6 × 1 3
+ 1) × πr 2 = 3πr 2

Por lo tanto, esta es la superficie total ocupada por los depuradores.

(Hora de la diapositiva: 34:47)

Por lo tanto, la fracción de llenado se convertirá entonces en la zona ocupada por los depuradores divididos por el área del material total que si se ve se convierte en. Por lo tanto, esto y esto se cancela:

ffhexágono = 2π
√ 3 (r a) 2

Por lo tanto, esta es la fracción de llenado de hexágono.
(Consulte la hora de la diapositiva: 35:08)

Por lo tanto, esta es la fracción de relleno del hexágono y para la plaza es:

ffsquare = π (r a) 2

Por lo tanto, si compara las dos fracciones de llenado. Así que, si se comparan las dos cantidades aquí lo que se obtiene es, la fracción de relleno de hexágono es casi 1.155 veces la plaza. Por lo tanto, lo que significa que en un embalaje hexagonal, puede llevar a un aumento del 15,5 por ciento en la densidad de la empaquetadura para la misma dimensión de los escatadores y para la misma dimensión del anfitrión y el espaciado; así que eso es lo que se obtiene y el espaciado.
Por lo tanto, con el mismo espaciado y con el mismo tipo de depuradores utilizados incluso entonces se obtiene una fracción de relleno mucho mejor utilizando un embalaje hexagonal y por eso se prefiere este arreglo en particular para la organización de dos cristales sónicos dimensionales.
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