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Module 1: Medidas de dispersión y distribución normal

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Desviación estándar y sus propiedades

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Desviación estándarDesviación estándar es la mejor medida de dispersión. La desviación estándar también se conoce como desviación cuadrada de la raíz de raíz.
 
Desviación estándar es la raíz cuadrada positiva del promedio de desviaciones de cuadrado tomadas de la media aritmética o más simple, la raíz cuadrada de la varianza. ¡ GUAU! ¡ Veamos si podemos simplificarnos!!
 
La desviación estándar se puede representar mediante la abreviatura S, sd o sigma.
 
La fórmula es sigma = + sqrt { frac { 1 } { n } sum (x_i-overline { x }) ^ 2 }, donde x_i son los valores de datos, overline { x } es la media o promedio, y n es el número de datos.
 
Propiedades
Si todas las observaciones que asume una variable son constantes, la desviación estándar es cero. La desviación estándar no se ve afectada debido al cambio de origen, pero se ve afectada debido al cambio de escala.Veamos los ejemplos que ilustran los dos métodos para manejar los datos.
 
Ejemplo 1: Una escuela primaria metropolitana grande tiene 8 clases de jardín de infantes con matrícula del siguiente número de estudiantes: 16, 18, 19, 20, 22, 22, 23 y 25. Busque la desviación estándar.
 
Solución:
1. Encuentre la media: overline { x } = frac { 16 + 18 + 19 + 20 + 22 + 22 + 23 + 25 } { 8 } = frac { 165 } { 8 } = 20.625
 
2. Veamos la tabla que necesitaremos para el problema: Listar los datos en la columna de la izquierda, la media en la segunda columna, su diferencia en la tercera columna y el cuadrado de esa diferencia en la última columna.
 
 
3. Para buscar la varianza, busque la suma de los valores en la última columna y, a continuación, divida por el número de valores de datos.
text { Var } = frac{ sum (x_i-overline { x }) ^ 2 } { n } = frac { 21.3906 + 6.8906 + 2.6406 + 0.3906 + 1.8906 + 5.6406 + 19.1406 } { 8 }
= frac { 59.8748 } { 8 } = 7.48435
4. Para encontrar la desviación estándar, tome la raíz cuadrada positiva de la varianza.
sigma = + sqrt { text { Var } } = + sqrt { 7.48435 } = + 2.800
A veces, tendremos valores en nuestro conjunto de datos que aparecen varias veces. En lugar de construir una tabla en la que cada dato tiene su propia línea, podemos condensar la tabla teniendo en cuenta la frecuencia con la que aparecen determinadas entradas de datos.
Ejemplo 2: Buscar la desviación estándar para el conjunto de datos: { 14, 12, 20, 12, 20, 20, 14, 18, 20, 12, 18, 15, 12, 20, 14 }
Solución: Es posible que sea más fácil empezar pidiendo los datos: { 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 15, 18, 18, 20, 20, 20, 20, 20 }1. Busque la media: overline { x } = frac { 4 (12) + 3 (14) + 15 + 2 (18) + 5 (20) } { 15 } = frac { 241 } { 15 } = 16.0 en la línea { 666 } approx 16.07
2. Echemos un vistazo a la mesa que necesitaremos para el problema. Aunque hay 15 valores, observamos que hay muchos duplicados.
Por lo tanto, condensaremos la tabla, teniendo en cuenta la frecuencia de cada entrada distinta.
x_i f overline { x } x_i-overline { x } (x_i-overline { x }) ^ 2 f (x_i-overline { x }) ^ 212
4
16,07
-4.07
16.5649
66,2596
14
3
16,07
-2.07
4.2849
12.8547
15
1
16,07
-1.07
1.1449
1.1449
18
2
16,07
1,93
3.7249
7.4498
20
5
16,07
3,93
15,4449
77.2245
3. Para buscar la varianza, busque la suma de los valores en la última columna y, a continuación, divida por el número de valores de datos. Recuerde dividir por 15, el número de partes de datos, no 5, el número de filas.
text { Var } = frac{ sum (x_i-overline { x }) ^ 2 } { n }
= frac { 66.2596 + 12.8547 + 1.1449 + 7.4498 + 77.2245 } { 15 }
= frac { 164.9335 } { 15 } = 10.9955
4. Para encontrar la desviación estándar, tome la raíz cuadrada positiva de la varianza.
sigma = + sqrt { text { Var } } = + sqrt { 10.9955 } approx +3.3159