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Module 1: Principios hidrodinámicos

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Ecuación de impulso lineal

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Conferencia-05: Principios hidrodinámicos

Buenos días todos ustedes. Vamos a la siguiente conferencia sobre ingeniería de ríos. Como comenté en última clase, las conservaciones de masas en forma tridimensional, lo hemos derivado y también hemos resuelto pocos problemas de ejemplo para demostrar cómo usar la forma tridimensional de ecuaciones de conservación de masa. Hoy, vamos más allá de las ecuaciones de conservación de masa que impulso las ecuaciones de conservación en formas tridimensionales. Antes de ir esa parte, al igual que la clase anterior puedo ver que los mismos 3 libros que nos estamos refiriendo. En su mayoría, los libros que hemos estado siguiendo ahora más detalles para darle el proceso básico de hidryn fluvial mics lo que está sucediendo y tan pronto como también vamos a seguir esos otros 2 libros a medida que procedemos para los próximos capítulos. A medida que vamos para los próximos niveles que si se mira esta ecuación de conservación de masa si el flujo es incompresible que significa que la densidad no cambia con el espacio y el tiempo. La densidad permanece constante y eso es lo que sucede cuando el número de mach de flujo es menor que 0.3 que es lo que si y u puede seguir cualquier libro de mecánica de fluidos que la mayor parte del flujo podemos considerar como un flujo incompresible en tres dimensiones o dos dimensiones. Cuando la densidad de flujo no varía significativamente en el espacio y los dominios de tiempo y eso es lo que podemos averiguar cuando el número de mach de flujo es menor que 0.3. Esa es las condiciones que tenemos forma tridimensional de la ecuación de continuidad vendrá así y la forma bidimensional de ecuaciones de continuidad vendrá así, muy simple para que esté haciendo esta parte 0, pero también derivamos las ecuaciones de continuidad para un flujo dimensional. Eso significa que sólo tenemos la variabilidad en términos de una dirección x y el tiempo. Aquí se encuentra la profundidad de flujo, U es la velocidad. Eso es lo que cuando se aplica esta ecuación de continuidad para el flujo de canal abierto con qL es el flujo lateral, T es el ancho superior, vamos a obtener esta ecuación de conservación de masa, las ecuaciones de conservación de masa unidimensional en términos de profundidad de flujo, en términos de la velocidad, en términos de flujo lateral.
Así que por favor refiérase a las derivaciones de la ecuación de continuidad para el flujo de canal abierto o el flujo de río con la parte de flujo lateral y eso es lo que tenemos ecuación diferencial parcial lo que usted obtiene en términos de profundidad de flujo, la velocidad y qL como una función de una dimensión tomando las direcciones x y la parte de tiempo. Esto es lo que para la ecuación de la conservación del flujo del río.
(Consulte la hora de la diapositiva: 03 :55) Para ver más allá de la extensión que nos permiten tener algunos ejemplos, los ejemplos numéricos resueltos. Digamos que tiene un río y las dos secciones que está midiendo Q1 y el Q2 que es lo que es 5 m3/s y Q2 es 3 m3/s suponiendo que no hay cambio significativo en el almacenamiento del canal. No hay un cambio significativo en el almacenamiento del canal, a continuación, averigüe el flujo lateral en el alcance.
Así que eso es lo que está sucediendo en un caso de campo real. Podemos medir la velocidad en las dos diferentes secciones transversales, podemos medir el área de flujo, podemos encontrar la descarga en las dos secciones. De eso si asumo que no hay un cambio significativo en el almacenamiento del canal o en el almacenamiento de la llanura de inundación, podemos computar una simple parte de flujo lateral. Sólo vamos a ponerlo en ecuaciones diferenciales parciales para Q1 se da, Q2 se da.
El ∆x también dado es un 2 m, distancia entre estos dos puntos, si es que puedo encontrar el primer gradiente usando esto, sólo Q2-Q1 por el ∆x. Estoy obteniendo este valor y qL será igual a, -1 m/s que es lo que vendrá como el flujo lateral como estamos considerando esto es igual a
0. Así que, si usted mira eso, es una ecuación de equilibrio simple.
Pero tenemos que ponerlo en una ecuación diferencial parcial con aproximaciones, calcule cuál será el flujo lateral. Como es negativo, está indicando que es una corriente perdedora. Así que, de la misma manera si tengo una serie de observaciones de la descarga en los diferentes intervalos, podemos averiguar cuáles son los tramos del río, perdiendo o ganando corrientes, que podemos hacerlo con la ecuación de conservación de masa simple que sigue aquí. Aquí estamos siguiendo la ecuación de conservación de masa con la suposición de que no hay cambio significativo en el canal o el almacenamiento de la llanura de inundación. Por lo tanto, este es un problema práctico que generalmente lo hacemos.
(Consultar Tiempo de Slide: 06:25) Ve por cosas poco estables que el ejemplo 5 en un flujo de río, la velocidad de flujo promedio del área es dada para nosotros, que es una función de la x es decir, U= 10x2. La profundidad de flujo también es función del espacio x y el tiempo t, que es h= 3x2t3. El ancho superior es una función de x es decir T = 5x3. El área de flujo es una función de x, es decir, A= 10x2 + 30. Y luego se descubre cuál será el flujo lateral en x y t. Ahora si miramos eso, entonces eso significa que tengo un río y esta es la dirección x y esa es la dirección x el valor U también varía como 10x2.
Este es el valor U, el h también varía con las funciones con un intervalo de tiempo diferente de t1 intervalo de tiempo, este es el valor h, es variable y que lo que variará y el ancho superior T también varía. Por lo tanto, que lo que estoy representando es que en x y el espacio t, esta velocidad promedio tiene una función, la profundidad de flujo tiene una función, la anchura superior está teniendo funciones y U también tienen, y el área de flujo es una función de la x.
Así que, si nos fijamos en este problema que se ve muy difícil, pero no es difícil, son todas estas variables, las variables de flujo de velocidad, profundidad de flujo, ancho superior, área del flujo que definimos en términos de x y t funciones. Entonces tratamos de averiguar cuál será el flujo lateral a x = 1 m, t = 5 s. Eso significa que esta es nuestra ecuación de gobierno que es lo que es una ecuación de continuidad dimensional del río que tiene un flujo lateral de qL y T es el ancho superior. Y si nos fijamos en que podemos encontrar la profundidad hidráulica como A /T esa función usted puede conseguirlo.
Usted puede tener una diferenciación parcial en, usted puede conseguirlo, y aquí también el derivado parcial de h con respecto al tiempo, es decir, , también puede obtener los valores. Así que sólo para tener un derivado parcial lo estamos calculando como está consiguiendo h es la función de esto. Así que esto es algo muy simple, simplemente estamos haciendo un derivado parcial con respecto a x o la t.
De la misma manera que estamos buscando el derivado parcial de la velocidad que es lo que tenemos conseguido. Entonces, si substituimos todo en esta ecuación de continuidad unidimensional, entonces usted sustituye x valor, usted puede obtener el valor qL en la x igual a esto y t igual a esto. Eso significa el qL, el intercambio lateral del agua que varía con un espacio, así como el tiempo que son las variabilidades funcionales.
Eso es lo que la variabilidad funcional de qL en términos de espacio y el tiempo, en un espacio y tiempo particulares estamos obteniendo valor, así que eso es lo que mi punto es que. Una vez más, dibujaría el espacio y el tiempo y estamos recibiendo las variaciones de q en diferentes valores. Esa es la función de relación de q1, q2, q3 lo que estamos obteniendo como funciones de espacio y espacio de tiempo. Eso es lo que estamos recibiendo este valor como en este ejemplo numérico.
Dando estos ejemplos a ti te das una confianza de que si tienes río y tienes las medidas de flujo, si conoces esta relación funcional con el dominio espacial y el dominio del tiempo, podemos cuantificar lo que podría ser el flujo lateral o si conoces el flujo lateral también podemos cuantificar cuál es el flujo en sentido ascendente, cuál es el flujo en sentido descendente, cómo cambia la variable de flujo con el ancho superior, el área del flujo y la profundidad de flujo y la velocidad promedio.
Esas cosas que podemos hacer con sólo usar ecuaciones muy básicas de ecuaciones de conservación de este, que son las ecuaciones de conservación muy básicas, podemos aplicarlo, pero este es el flujo constante con un flujo lateral. Eso es lo que la hemos derivado y también podemos resolver estos problemas de flujo de ríos de la vida real adoptando estas simples ecuaciones de conservación masiva, la ecuación de continuidad para nosotros.
(Vea el tiempo de la diapositiva: 11: 30) Ahora, vamos por el siguiente que ya podría ser discutido en cursos de mecánica de fluidos.
Muchos de los cursos avanzados de mecánica de fluidos también están allí. Para hacer una completitud de este curso, estoy simplemente revisando esta parte de la ecuación de impulso. Siempre le sugiero que por favor consulte cualquier libro de mecánica de fluidos avanzado, la mecánica de fluidos F. M. White o el libro de texto de mecánica de fluidos Cengel y Cimbala, cualquier libro de mecánica de fluidos avanzado.
Usted puede entender cómo derivar esta ecuación de conservación de masa y la ecuación de conservación de impulso, de manera similar a las ecuaciones de conservación de energía. Aquí, le presentaré como un nivel introductorio para saber sobre la ecuación de conservación de impulso en las diferentes plataformas. Uno es el volumen de control en el nivel del tubo de corriente y otro es el volumen de control en el volumen de control infinitamente pequeño.
Donde tratamos de averiguar lo que podría ser el campo de velocidad, lo que podría ser el campo de presión que es lo que las derivaciones llamadas como Navier-Stokes ecuaciones en la mecánica de fluidos. Así que, para mirar ese aspecto, déjenme presentarles esta conservación del impulso que generalmente usamos en el flujo del río con formas muy simplificadas o también en formas avanzadas como considerándolo el campo de velocidad, campo de presión, campo de aceleración.
Tratamos de resolver estas ecuaciones de Navier-Stokes que es lo que intentamos hacer. Como introducción como una sesión informativa de este concepto, voy a presentar a usted más detalle, de nuevo puedo sugerir que por favor consulte el libro de mecánica de fluidos avanzado. Empecemos por la ecuación de conservación de impulso.
Como usted sabe de lo básico que el vector de la fuerza es igual a la masa multiplicada por el vector de aceleraciones, que es la segunda ley de Newton. Hablar de la relación entre cualquier sistema de continuidad de flujo que la fuerza será la masa multiplicada por la aceleración o la fuerza será la tasa de cambio de parte del impulso.
Esa es la segunda ley básica de Newton, donde aquí vamos a aplicar las mismas leyes para un volumen de control como el tubo de corriente. Así que, esto es lo que mi tubo de corriente, este es mi volumen de control donde voy a aplicar la misma ecuación, la ecuación de Newton segunda ley para estos volúmenes de control.
Como estoy considerando el tubo de la corriente, no hay un flujo a través de esto, no hay flujo está viniendo. Así que no hay flujo pasando a través de esto, sólo el flujo viene de la superficie, sale de esto. Esa es la razón por la que consideramos el tubo de corriente como un volumen de control para aplicar la conservación lineal del impulso. Así que si considero un tubo de corriente, entonces tengo un influjo justo y flujo.
El flujo y flujo puede tener el vector de velocidad resultante y U1 y U2 pueden tener componentes escalares de velocidad como u1, v1 y w1 y u2, v2, w2. Así que ustedes tienen los vectores de velocidad aquí entrando en esto y no hay variabilidad de la velocidad aquí en un dominio espacial, tampoco ninguna variabilidad de velocidad de esto. Si consideramos esa parte, la fuerza neta que actúa sobre estos volúmenes de control también puede resultar en las tres coordenadas escalares Fx, Fy y Fz.
Y este es un espacio de tiempo, x e y, z sistemas de coordenadas o sistemas de coordenadas cartesianas.
Básicamente, estamos hablando del cambio en el flujo de impulso, que es la diferencia entre el flujo de impulso, significa el impulso saliendo de este volumen de control, la afluencia de impulso en este volumen de control. Eso es lo que está entrando a través de la superficie y saliendo de esto esa diferencia será el cambio en el momento del flujo.
Eso es lo que iguala a la fuerza. Si estoy buscando un componente de fuerza horizontal, estoy mirando los cambios de flujo de impulso que suceden en la dirección x. Eso es lo que si lo sustituyo ρA U y1. Eso significa que si miro esta parte, si miro este flujo de impulso, el flujo de impulso será el m.V, eso es lo que ρ A V y la velocidad por lo que son los componentes aquí ρ multiplicado por A2U2 que es lo que el flujo de impulso que sale de este volumen de control que entra en estos volúmenes de control. Eso es lo que será la fuerza que actúa en la dirección x, donde la afluencia masiva se le da como estamos igualando para la ecuación de conservación de masa, estamos aplicando para este volumen de control. De la misma manera, podemos escribir para Fy y Fz. Así, podemos averiguar cuáles serán las fuerzas que actúan en las direcciones y y la dirección z para estos volúmenes de control como de costumbre, simplemente escribiendo este flujo de masa.
Y el cambio de la velocidad el componente de velocidad escalar v2-v1, w2-w1 que indica para nosotros lo que será la fuerza actuando en las direcciones x, y las direcciones y las direcciones z. Esta es una manera muy simple de aplicar la conservación de la ecuación de impulso para el volumen de control como un tubo de corriente con el flujo de flujo que es normal a la superficie de control.
(Consultar Tiempo de Slide: 17:43) Así que, eso es algo muy fácil, pero cuando vienes al flujo del río, por favor recuerda que no tendrás velocidades uniformes cuando tienes un canal pequeño o grandes ríos como el Brahmaputra o un río más pequeño como siempre tienes con las variaciones de velocidad, pero la mayoría de las veces medimos la velocidad promedio, así que encontramos la velocidad promedio del área. Podemos medir las velocidades promedio del área.
Si estamos midiendo la velocidad promedio del área ahora como cómo puedo computarlo, cómo podemos estimar, cuál será el flujo de impulso si lo tomo la variabilidad, las variaciones de las velocidades en un flujo de canal abierto de conocer esta parte de la velocidad media de la zona. Así que eso es lo que hacemos si he estado considerando las distribuciones de velocidad, que sigue tal vez una distribución logarítmica de la velocidad y donde suponiendo que es la velocidad promedio de la velocidad promedio de U.Area U multiplicado por el área A dará la descarga. Si estoy calculando el flujo de impulso basado en esta U de capital y el flujo de impulso basado en la pequeña u las variaciones de velocidad si lo computo, esto es distribuciones de velocidad reales, flujo de impulso, esto es el impulso promedio del área. Por lo tanto, tenemos un factor de corrección. Esto es lo que llamamos coeficiente de impulso o coeficiente Boussinesq.
Eso es lo que es el factor de corrección que adoptamos para la velocidad promedio si compuse el flujo de impulso, lo que será el factor de corrección en lugar de tomar distribuciones de velocidad reales que es lo que estamos igualando aquí para calcular el β que es el coeficiente de impulso y estos valores beta varían de 1.02 a 1.14 para el flujo de canales abiertos haciendo así.
Eso significa que si estamos calculando las velocidades promedio del área y usando ρ U2 A usted está calculando el flujo de impulso, ese flujo de impulso no será flujo de impulso real en el flujo de canales abiertos. Necesita un factor de corrección que sea más de un valor. Eso significa que estamos prediciendo el flujo de impulso cuando consideramos el capital U, la velocidad promedio del área en la corrección del flujo de impulso.
Ese valor aumenta 1,02, va a la 1, eso significa que parte del caudal del río puede ir al 1, algo del río puede llegar a superar el 15%. Por lo tanto, ese es un número bastante grande de flujo de impulso sólo para tener en cuenta las variaciones de velocidad, si usted lo considera las correcciones de flujo de impulso pueden variar de 1.0 a 1.14 para el flujo de canal abierto que es lo que lo indica.
Debemos saber con precisión las distribuciones de velocidad para saber cuál es el flujo de impulso que entra en el volumen de control o salir del volumen de control. Si estamos siguiendo el concepto promedio, podemos obtener el valor, que está bajo el flujo de impulso predicho en comparación con las variaciones reales de la velocidad en un flujo de canal abierto.
(Consultar Tiempo de Slide: 21 :32) Ahora, vamos a escribir la ecuación de Euler que está allí en cualquier libro de mecánica de fluidos, pero tengo que resumir con eso. Ahora, estamos considerando un volumen de control infinitamente pequeño y también estamos considerando que el factor de velocidad que tiene un componente escalar y todos estos tienen u, v, w las partes de componentes escalares que tienen el campo de velocidad. Están teniendo variabilidad en x, y y z, el dominio del espacio así como el dominio del tiempo.
Si estoy considerando el campo de velocidad y el campo de presión, ¿cómo puedo aplicar esta ecuación de conservación de masa y ecuación de conservación de impulso? Así, anteriormente hemos utilizado el campo de velocidad para derivar esta ecuación de conservación de masa, para la ecuación de conservación de impulso tenemos que aplicar el campo de velocidad, así como el campo de presión. Eso es lo que vamos a discutir aquí.
Primero es muy simple manera que estamos escribiendo esta ecuación de conservación de impulso, ecuaciones de conservación de impulso lineal para el flujo inviscid, no hay efectos viscosos significativos fueron las regiones donde la resistencia a fricción que no es tan significativa. Las regiones donde el viscoso no está dominado esas son las regiones que podemos aplicar esta ecuación de Euler. Donde el viscoso no domina que mucho podemos tener las ecuaciones básicas que se llama es la ecuación de Euler.
Ahora, volvamos a cómo estoy derivando eso. De nuevo, estoy considerando un pequeño volumen de control a medida que lo ves que está teniendo una dimensión de dx, dz y dy en los sistemas de coordenadas x, y, z. Si considero p es la presión en este plano que es sólo un plano de centroide y cómo la presión está variando a la distancia dx/2 hacia adelante o hacia atrás, de la serie de Taylor puedo encontrar las variaciones de presser como esta, multiplicado con el área que recibo la fuerza debido a esta presión.
Así que, conozco esta presión, sé que esta área de esta superficie térmica es de dy by dz que significa que conozco la fuerza. De igual manera lo que es la fuerza está actuando sobre esto, de igual manera lo que es la fuerza está actuando sobre esto, aquí se dan las direcciones de la fuerza. Por lo tanto, podemos descubrir que la fuerza neta está actuando en este volumen de control en la dirección x. Así, podemos tener el componente de fuerza debido a la gravedad que es lo que será el componente gx de las fuerzas del cuerpo que es la fuerza de gravedad por unidad de masa en la dirección x.
Así que este volumen de control tiene las fuerzas de gravedad pero no hay fricción, esto es friccionado, no hay componente de esfuerzo cortante aquí, sólo los componentes de fuerza de gravedad están allí y los componentes de la fuerza de presión que es lo que es la fuerza de gravedad, que está actuando en las direcciones x en este volumen de control.
(Consulte el tiempo de la diapositiva: 25:11) Si sólo lo equipara la suma de las fuerzas que actúan en la dirección de Fx, ésta es la fuerza que actúa como puede ver las direcciones de la fuerza y el componente del gx es la fuerza de la gravedad. Así que la fuerza neta es que estoy teniendo esto que la fuerza neta será igual a la masa multiplicada por la aceleración en las mismas direcciones de coordenadas. Por lo tanto, si usted tiene esa parte que es lo que puede aplicar, esta es la parte de aceleración y esta es la fuerza por unidad de masa de ancho de unidad de acuerdo.
Y esta parte de aceleracion esta teniendo 2 componentes, aceleraciones locales y las aceleraciones convectivas en las direcciones u es igual a 2 componentes, una es la fuerza neta debido a las variaciones de presion en la direccion x y esta es la fuerza debido a la gravedad debido al peso de este elemento de fluido, peso de este volumen de control de fluido en la direccion x. Por lo tanto, este es el componente de aceleración, esta es la fuerza por unidad de masa, que es también el componente de aceleraciones.
Esto es debido a la diferencia de presión lo que usted tiene en la dirección x, debido a que lo que es la fuerza neta está actuando esto es el componente de fuerza de gravedad. Este es el componente de aceleración como es u y todos estos componentes consideramos como campos escalares que es lo que lo definimos como aceleraciones locales y la aceleración convectiva. Como he derivado para la dirección x, de manera similar puedo derivar para la dirección y y la dirección z.
De la misma manera podemos tener estas 3 ecuaciones, que se llama las ecuaciones de Euler en una forma diferencial parcial con los componentes escalares de la velocidad u, v, w que es una función del espacio y el tiempo y la presión y el componente de aceleraciones de gx, gy, gz. Esa es la variabilidades lo que tenemos lo que en estas ecuaciones tenemos u, v, w que son los componentes de la velocidad escalar son desconocidos para nosotros, que es una función del espacio y el tiempo y también la presión.
Cuatro incógnitas están ahí, gx, gy, gz es conocido por nosotros porque podemos ver lo que serán los componentes de la fuerza de la gravedad en la dirección x, y dirección y z dirección. Así, estas 4 incógnitas podemos conseguir la solución de esta ecuación diferencial parcial con inclusión de ecuación de conservación masiva. Así, 3 ecuaciones de impulso y 1 ecuación de conservación de masa, las 4 ecuaciones, ecuaciones diferenciales parciales.
Si lo resolvemos, obtendremos los cuatro campos escalares como u, v, w, y la presión. Así que, si usted mira que, hoy en día una gran cantidad de herramientas están allí, las herramientas de dinámica de fluidos computacionales están allí, podemos resolver estos en cualquier problema de fluidos complejos para obtener lo que son las variaciones u, v variaciones, variaciones de w y las variaciones de p. Sólo que tenemos que resolver esta ecuación diferencial parcial no lineal para averiguar cuál será el u, v, w y el valor p y este caso tenemos un flujo inviscid.
Aquí la parte de fricción, la pérdida de energía se debe a las fricciones o el impulso, las ecuaciones de impulso lineal debido a los tirones y las tormentas que no lo estamos incluyendo. Esa es la razón por la que estamos hablando de los formatos de ecuaciones de Euler. (Consultar Tiempo de Slide: 29:07) Vamos a tener algunos ejemplos de lo que hemos hecho para el río Brahmaputra usando el modelo hidrodinámico, que es el modelo CCHE2D para simular las variaciones de profundidad del agua a escala estacional, la escala mensual y la escala diaria, cómo la variabilidad de la profundidad del agua está allí. Por lo tanto, usando estas ecuaciones cuando lo resolvemos, si usted mira este es el archivo de ejemplo lo que estamos demostrando a usted variaciones de profundidad de agua en las escalas diarias, el caso estacional y la escala mensual que son las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Si nos fijamos en que podemos medir las variaciones de profundidad como si se mira la escala de cómo la profundidad de flujo está aumentando o disminuyendo, cómo se están formando los canales, cómo las llanuras de inundación están recibiendo más aguas. Todas estas cosas lo podemos hacer en un modelo matemático resolviendo la ecuación de Navier-Stokes, eso es lo que son las posibilidades de hoy, eso es lo que estamos configuran estos modelos para saber cómo están estas variaciones de profundidad de agua.
Al mirar algunos de los colores rojos están ahí, la profundidad del agua como de 25 metros de altura y hay la profundidad de agua menor de 3 metros, tanta variabilidad de la profundidad del agua, que varía con el espacio, que varía con el tiempo. Eso es lo que estamos tramando como una ecuación de flujo de 2 dimensiones. Lo hemos resuelto usando estos modelos para averiguarlo.
Por lo tanto, lo que tengo que decir es que la comprensión de estas ecuaciones básicas, desarrollando en los modelos, implementar para el caso real del río que por qué es bastante difícil saber acerca de la base de las ecuaciones de gobierno para el flujo del río.
(Consultar Tiempo de Slide: 30 :57) Teniendo en cuenta que hemos estado discutiendo sobre esto, la próxima clase discutiremos más detalles de cómo lo haremos más interesante en términos de solucionadores de ecuaciones de Navier-Stokes.
Con esto, permítanme concluir las clases de hoy con citar a los estudiantes que están contribuyendo para preparar estas presentaciones y resolver los problemas, reconociendo sus esfuerzos. Vamos a completar esta semana. La cita de Mohandas K. Gandhi es que la tierra provee suficiente para satisfacer las necesidades de cada hombre, pero no la codicia de cada hombre. Así que eso es lo que es la tierra, que es lo que es el proceso del río y los mecanismos de la riqueza del agua. No debemos ser demasiado codiciosos para la riqueza del agua, pero suficiente lo que está allí para satisfacer estos requerimientos humanos o la exigencia de la naturaleza. Con esto, vamos a concluir esta clase.
Gracias.