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Realidad virtual Prof. Steve Lavalle Departamento de Matemática Aplicada Instituto Indio de Tecnología, Madras Conferencia-05 Geometría de los mundos virtuales (álgebra matriz y 2D)
Ahora quiero llegar a la rotación y para ello quiero generalizar un poco y quiero hablar de transformaciones lineales y voy a bajar 1 dimensión y generalizar un poco. Entonces, voy a ir en vez de ir directamente a 3 D rotaciones, voy a hablar de 2 D transformaciones lineales. Y entonces quiero hablar de los tipos de propiedades que una rotación de 2 D debería tener porque 2 D es muy fácil para nosotros entender entonces cuando entendemos que esas propiedades se generalizarán de nuevo hasta 3 D y veremos alguna estructura creo que es interesante que tal vez no has visto antes.
(Consultar Tiempo de Slide: 00:50) Así que, pensemos en 2 D transformaciones lineales; 2 D transformaciones lineales; por lo tanto, sólo voy a tener un 2 por 2 matriz M 1 1, M 2 1, M 1 2 y M 2 2 sólo 2 por 2 matriz con entradas de valor real y tengo un punto de 2 dimensiones. Así que, en vez de tener X, Y, Z sólo tengo X, Y, lo estoy escribiendo verticalmente. Por lo tanto, que podemos realizar operaciones de matriz alguien pensó que era una buena idea escribir de esa manera. Por lo tanto, consistentemente y hacer eso en álgebra lineal.

Así que, si realizo una transformación lineal me dejan decir X prime Y prime right. Por lo tanto, en otras palabras tengo algún punto X Y y al aplicar esa matriz tengo un X prime Y primer derecho. Así, algún tipo de transformación se ha realizado de nuevo somos sólo en 2 dimensiones aquí nos permite, vamos a escribir un sistema de coordenadas 2 D; sistema de coordenadas cartesianas.
(Consulte el tiempo de la diapositiva: 02:01) Por lo tanto, tengo el eje Y del eje X y quiero pensar en el caso más simple este es el punto 1 coma 0 aquí y este es el punto 0 coma 1, estos son la base estándar que usamos para las coordenadas cartesianas todo el tiempo y quiero pensar en lo que sucede a estos cuando realizamos nuestras transformaciones. Por lo tanto, tenemos M 1 1, M 1 2, M 2 1, M 2 2. Vamos a transformar este primer punto aquí 1 coma 0, a la derecha. Así que, si transformamos ese 1 0. Entonces, pongo el punto aquí, miro lo que obtenemos cuando realizamos la multiplicación.
(Consulte la hora de la diapositiva: 03:02)

Y obtenemos M 1 1, M 2 1, derecha.

Así, realizo esta multiplicación y se desprende de la segunda columna todo lo que me queda aquí es la primera columna haciendo esta operación.
Así que, muy interesante; así que, parece que cuando realizo esta transformación lineal me dice exactamente qué pasa con el eje de coordenadas X a la derecha. Por lo tanto, básicamente esta columna aquí me dice exactamente lo que va a pasar a la X coordinar todo bien porque acabo de tomar exactamente de largo que estoy alineado perfecto con este eje. Por lo tanto, me está diciendo lo que pasa a este elemento base derecho usted puede escribir estos como yo sombrero y j sombrero e ingeniería y si hay una tercera dimensión que puede escribir estos como k sombrero derecho estos son sólo los elementos básicos de la unidad para las coordenadas cartesianas cuando usted comienza a hacer el cálculo del vector básico correcto.
Por lo tanto, sólo estoy diciendo que lo que sucede es con la transformación lineal que usted puede haber visto esto antes de sólo prestar atención que cada columna aquí va a corresponder a lo que sucede al eje de coordenadas en su lugar particular. Por lo tanto, la primera columna dice lo que pasa o indica lo que pasa directamente pasa a las coordenadas X y si hacemos algo similar para la Y coordenada M uno tal vez escriba la matriz de nuevo M 1 1, M 1 2, M 2 1, M 2 2 y ahora pongo el 0 1 aquí.
Ahora, es como simplemente selecciona muy bien que he escogido este punto aquí que representa la parte Y el elemento base Y.
(Consulte el tiempo de la diapositiva: 04:38) Luego escoge muy bien la segunda columna 1 2, M 2 2 a la derecha.

Así que, sólo quería señalar que justo usted puede haber oído esto antes de algún lugar en álgebra lineal es muy simple en 2 dimensiones para ver que está sucediendo. Por lo tanto, cada una de estas columnas acaba de decir lo que pasa a ser el elemento base correspondiente o las coordenadas correspondientes. Así que, si creo así, entonces es muy útil ahora tomar algunas matrices muy simples y mirar lo que hacen.
Por lo tanto, permítanme hacer algunos ejemplos aquí y de nuevo estoy tratando de establecer esto estoy recordándole acerca de los conceptos básicos de álgebra lineal la mayoría de ustedes han visto antes de asumir, pero también voy a conectarlo un poco más tarde a algo más complicado. Así que, por favor, llévame si esto es dolorosamente simple. Así, pues, pero quiero que sea muy claro.
(Consulte la hora de la diapositiva: 05:24)

Y entonces vamos a llegar a cosas más complicadas. Entonces, si mi matriz ahora es esto y lo aplico a mi punto X Y debería ser muy claro lo que pasa entonces de nuevo solo miro estas columnas si aplico esto a un 0 no es ningún cambio, correcto.
Así que, si me aplico; si tomo esta matriz y la sustituyo aquí la aplico a 1 0 queda 1 0 si lo aplico a 0 1, queda 0 1 perfecto. Por lo tanto, esta es la matriz de identidad. Por lo tanto, no tiene ningún efecto justo pensar en cómo va a transformar este espacio. Así que, si ahora pongo algo en el espacio aquí mismo. Así que, ahora, pon algún tipo de objeto en aquí y empiezo a transformar todos los puntos en él. Por lo tanto, puedo transformar cualquier cosa en este espacio aquí incluyendo un simple triángulo, por supuesto, sólo quiero pensar en lo que le pasa; este no tiene ningún efecto bien bueno lo llamamos la matriz de identidad; debe tener algebraicamente ningún efecto.
Vamos a intentar otro. Así que, ¿qué pasa si tengo 2 0, 0 2, justo qué hará en ese caso solo le escala a la derecha. Por lo tanto, esto debe estirarse a lo largo del eje X por un factor de 2 estiramiento a lo largo del eje Y por un factor de 2 simplemente se escala si escojo una mitad en lugar de que se encoge a la derecha. Por lo tanto, es un escalado de algún tipo y por supuesto, podría poner diferentes números para diferentes ejes y luego voy a conseguir diferentes tipos de estiramientos, a la derecha, puedo estirarlo a lo largo de un eje u otro que distorsionará lo que lo llamamos la relación de aspecto cuando se trata de monitores y cosas como ese derecho. Por lo tanto, distorsionará la relación de aspecto toda la derecha negativa 1 0, 0 1.

Entonces, ¿qué nos dará eso, ¿verdad? Por lo tanto, es una especie de flip right. Entonces, nos da una imagen espejo digamos o como una manera informal de decirlo. Por lo tanto, tenemos una imagen de espejo ahora que no es algo que voy a considerar para ser satisfactorio desde la perspectiva de las transformaciones del cuerpo rígido que no debe ser capaz de mover un cuerpo a través del espacio y luego decir que es una imagen de espejo ahora mismo no parece como algo que sucede a la derecha. Por lo tanto, así que este no va a ser un tipo legal de movimiento el escalamiento tampoco es legal cuando se mueve un cuerpo a través del espacio no debe de repente ser de un tamaño diferente.
Así que, muy interesante de pensar en que intentemos este nos deja hacer una doble imagen de espejo. Así que, ¿qué pasa si voy y veo a su dibujo una línea aquí lo que si hago esto hago negativo un 0 0 negativo un derecho.

Entonces, ¿qué hará eso? Así que, si volteo con respecto o hice el tipo de espejo de flip con una flip de simetría hago el flip con respecto al eje X y luego el flip con respecto al eje Y después de voltear dos veces he duplicado el espejo que lo hace sin espejo y he puesto este objeto boca abajo a la derecha. Así que, muy agradable.
Por lo tanto, eso en realidad es una rotación porque está al revés y no es una imagen espejo. Por lo tanto, este es rotar por ciento ochenta grados que cuando ponemos nuestros sombreros de matemáticas en usará radianes. Así que, así que rotar por pi hay algunos otros más complicados que sí terminamos necesitando en otro lugar sólo fuera de cuerpos rígidos, pero ¿qué haría esto? Correcto, si aplico esta transformación. Así que, ahora, para la coordenada X comenzará a aumentar a medida que Y obtenga mayor derecho esta X se va a sustituir por X + Y. Así que, eso tendrá un efecto de tomar algo que es decir dibujarlo aquí lo haré si empiezo con una plaza.
(Consulte la hora de la diapositiva: 09:21)

Se convertirá en algo así como este derecho. Entonces, es lo que se llama una transformación de corte.
Así que, si hago esto me meto en X cortante y si quieres un esfuerzo cortante Y puedes simplemente ir al otro lado y tienes un esfuerzo cortante Y que será estirando hacia arriba en la otra dirección puedes tener combinaciones de shears de todas las diferentes escalas y puedes tener imágenes de espejo todas estas cosas juntas juntas es la potencia de 2 D transformaciones lineales derecho. Por lo tanto, la pregunta ahora es si sólo quiero aplicar las rotaciones qué es lo que me permite hacer; sólo agregamos restricciones, vamos a romper o eliminar todas las cosas que no nos gusta y ver lo que queda cuántos grados de libertad tenemos si podemos hacer cualquier 2 por 2 matriz que queremos. Estudiante: 4.
4, a la derecha, sólo 4 números reales independientes que podemos poner aquí y. Por lo tanto, tenemos 4 grados de libertad para empezar. Así que, quiero pensar en ello desde la perspectiva de eliminación quiero eliminar grados de libertad que no quiero permitir que suceda y eliminar cualquier otra cosa que pueda necesitar ser en eso. Por lo tanto, que estoy satisfecho de que lo que me queda es sólo rotaciones, todo bien. (Consultar Tiempo de Slide: 10:46) Así que, 4 rotaciones y sabes que todavía estamos en 2 D lo que no me permite tener. Así que, no quiero ni de nuevo muy informal ningún estiramiento de ejes. En otras palabras, quiero preservar la escala. Así que, vamos a empezar tenemos 4 grados de libertad en esta matriz M 1 1, M 2 1, M 1 2, M 2 2, derecha. (Consultar Tiempo de Slide: 11:15) Tenemos 4 grados de libertad en ella y ahora voy a empezar a imponer restricciones. Por lo tanto, la restricción número uno aquí si no tengo estiramiento de eje; eso significa, estas columnas recuerdan que le dije lo que cada columna representa la distorsión del eje o la transformación del eje que debe tener longitud uno y que la columna en general tiene que tener longitud uno.
De lo contrario, si usted piensa en lo correcto, la multiplicación de la matriz sólo está realizando un producto de punto simple o producto interior y por lo tanto, si la magnitud del vector con el que se está multiplicando no se normaliza entonces se obtiene una escala diferente. Por lo tanto, tiene que tener una longitud de unidad. Por lo tanto, el número de restricción aquí significa que las columnas. Por lo tanto, tener longitud uno. Así que, en otras palabras cuando tengo esta matriz miro las columnas y debo tener el caso de que M 1 1 cuadrado más M 2 1 cuadrado es igual a un derecho. Por lo tanto, tengo este derecho de restricción y debo tener esta restricción aquí muy similar M 1 2 cuadrado más M 2 2 cuadrado es igual a uno cuántos grados de libertad que acabo de perder.

Estudiante: 2.
2. Por lo tanto, perdí 2 grados de diferencia que tenía 4 cada uno de estos círculos aquí soy como usted sabe que coinciden con el profesor marcando puntos de aquí a la derecha en la toma de puntos de su grado. Así que, digamos que perdió uno por que tiene un grado de libertad menos que perdió uno por eso ahora sólo le quedan 2 grados de libertad. 2, quiero no tener derecho de cizallamiento y no me gusta este extraño efecto de corte que no es natural para las transformaciones rígidas del cuerpo.
Entonces, lo que significa en ese caso es que estos ejes de coordenadas aquí mismo recuerdan cada uno de estos es el eje de coordenadas transformado que tienen que seguir siendo ortogonales o perpendiculares a la derecha. Por lo tanto, en básico cuando se multiplican los vectores juntos utilizando un producto de punto o producto interior cuál es la condición que tiene para que lo que tiene que estar satisfecho para que sean perpendiculares 0, a la derecha.
Así que, esa es la condición que sólo tienes que decir que estas columnas cuando tomas el producto interior derecho porque estos cada uno de estos representa un vector por sí mismo que dice donde el eje de coordenadas se está transformando a la derecha la base de coordenadas se está transformando también. Por lo tanto, cuando tomo estos 2 y tomo su producto interior tengo una restricción que se parece a esto. Por lo tanto, esta es la condición número 2 que hay M 1 1, M 1 2 más M 2 1, M 2 2.

(Consultar Tiempo de Slide: 14:25) Por lo tanto, sólo un producto de punto o un producto interior estas 2 columnas tienen que igualar 0 cuántos grados de libertad he perdido su 1; 1 perdido 1 grado de libertad una restricción agradable aquí perdió un grado de libertad. Por lo tanto, digamos que 1 menos 1, espero que tengamos algunos grados de libertad a la izquierda bien el tiempo que estamos hechos con nosotros tal vez estamos hechos somos nosotros hemos bajado a un grado de libertad y usted dijo que era y usted; usted y yo todos estamos de acuerdo en que un grado de libertad era apropiado para la rotación de 2 dimensiones. Así que, ¿cómo estamos hechos tenemos todas las restricciones o no.
¿Qué es lo que piensa usted democráticamente, que piensa que estamos hechos y sólo decimos, por lo tanto, la mayoría piensa. Entonces, entonces vamos a terminar de quién piensa que no estamos hechos la mayoría no está seguro de que creo que este video ok bien hay una restricción restante tenemos el número de grados de libertad derecha, pero hacemos que no toleramos imágenes de espejo todo bien. Por lo tanto, tenemos que arreglar eso. Así que, después de imponer estas 2 restricciones lo último que quiero pensar ahora es que quiero decir que no hay imágenes espejo.
La manera formal de decir que en matemáticas es usted necesita para preservar la orientación. Por lo tanto, ninguna orientación que cambie si usted no presta atención a que entonces su sistema de coordenadas de mano izquierda puede llegar a ser diestro todo tipo de cosas malas pueden suceder a la derecha. Por lo tanto, tenemos que preservar la orientación. Por lo tanto, ninguna imagen de espejo después de realizar estas 2 restricciones resulta que no quedan muchas opciones para el determinante de esa matriz, solo puede ser 1 o menos 1.
Por lo tanto, termina siendo un hermoso detector de si alguien está tratando de realizar una imagen de espejo o no haciendo esa matriz. Así que, lo único que tienes que haber pasado para el caso restante lo escribiré aquí es para implementar que es determinante de la matriz poner toda la matriz y hay puntos de escritura, pero debo poner los ms en que tiene que ser igual a uno no negativo esos son las únicas 2 posibilidades que quedan cuántos grados de libertad perdí allí. Estudiante: 0.
0, no perdí ningún grado de libertad. Entonces, lo que es interesante es que lo que queda va a ser un círculo de posibles rotaciones de 2 dimensiones antes de que no me limitara el número 3 en realidad tenía 2 círculos hay un círculo de las rotaciones estándar y luego hay un círculo de rotaciones de imagen espejo y. Por lo tanto, esta última restricción simplemente elimina el círculo malo el círculo que no corresponde a los cuerpos rígidos a la derecha. Entonces, esa es la siguiente clase de pregunta interesante es qué matrices siguen siendo correctas porque estas van a ser las que son rotaciones.
Así que, después de realizar todo esto y. De hecho, cuando miro estas ecuaciones aquí que se ve un poco familiar bien. Así que, si yo en lugar de escribir M 1 1, M 2 1, si acabo de escribir que con las coordenadas X e Y usted reconoce esto como la ecuación de un círculo de la unidad en el plano. Por lo tanto, es suficiente con sólo parametrizar este círculo y luego derivar los otros 2 parámetros de la matriz desde el punto en el círculo. Entonces, eso es lo que resulta ser bastante fácil de hacer y termina trabajando muy bien.
Entonces, que si lo hago de esa manera entonces sólo puedo parametrizar el círculo. Así que, lo que acabo de decir que me dejó hacerlo a lo largo de aquí, entonces sólo digo M 1 1 es igual a cosine theta M 2 1 es igual a pecar theta que es sólo una parametrización estándar del círculo de la unidad todo el derecho y. Por lo tanto, una parametrización estándar del círculo de la unidad alguna cantidad theta supongo que mi sistema de coordenadas en este caso en particular es el eje M 1 1 y el eje M 2 1 derecho. Por lo tanto, eso es todo lo que he hecho estoy tomando estas la primera columna aquí y mostrando que usted puede parametrizarlo muy bien como un círculo.
Así que, las matrices que obtengo son cosine theta sin theta y ahora acabo de hacer sustituciones simples para averiguar desde el álgebra aquí en estas ecuaciones en el número uno y el número 2 para averiguar el resto de él me pongo menos el pecado theta y cosine theta y usted puede hacer la sustitución simple aquí por ejemplo, para verificar que la restricción número 2 está muy bien que usted puede ver fácilmente que el número de restricción uno está satisfecho para la segunda columna este aquí porque todavía es cuando yo cuadrado estos y agregarlos yo consigo esa famosa suma de identidad trigonométrica suma de cuadrados de pecado y coseno es uno. Por lo tanto, eso sucede para las columnas que el producto interior claramente funciona y suma ser 0.
Así, estas son las matrices que quedan y se ha encontrado una hermosa parametrización por simple reconocimiento de que estas caen sobre un círculo unitario. Por lo tanto, la rotación de 2 D termina siendo muy fácil por esa razón.

Realidad virtual Prof. Steve Lavalle Departamento de Mecánica Aplicada Instituto Indio de Tecnología, Madras Conferencia-3-3 Geometría de mundos virtuales (rotaciones 3D y guiñada, lanzamiento y rollo)
Preguntas sobre eso. Entonces, voy a llegar al caso 3D ahora, que es la razón por la cual te arrastré a través de todo esto. Una muy bonita propiedad que quiero señalar aquí porque es más difícil de visualizar en 3 dimensiones es que, he utilizado este parámetro theta si cambio theta por una pequeña cantidad, decir que cambio por una décima de un radián o algo.
(Consultar Tiempo de Slide: 00:43) Entonces la cantidad de rotación cambia por una pequeña cantidad a la derecha el cuerpo rígido se moverá por una pequeña cantidad, y no importa si cambio por déjennos decir si voy de 0 a 0.1 o si voy de uno a 1.1 un cambio de punto uno corresponde a la misma cantidad de cambio para el cuerpo rígido.
En 3 dimensiones para la rotación 3D es muy difícil recuperar esa propiedad, hasta que sepas cómo hacerlo. Pero si usted era sólo para diseñar algo usted mismo que tiene esa propiedad por lo que, si yo varíe mis parámetros de rotación por un poco cómo hacer la variación en la rotación 3D sea la misma cantidad de poco. Y esto va a ser muy importante si haces algo como decir diseño de filtro y método de seguimiento, porque quieres medir los errores en tu seguimiento y quieres hacerlo de una manera consistente. Usted sabe que de lo contrario se confundirá usted pensará que tiene enormes errores en esta parte del espacio de rotación y errores muy pequeños sobre en esta otra parte cuando. De hecho, los errores pueden ser los mismos en términos de cuánto el cuerpo está realmente rotando.
Así que, ese es el tipo de dificultades en las que nos metimos en 2 D muy fácil de ver estas cosas que se hace más difícil en preguntas 3D sobre esto.
(Consulte el tiempo de la diapositiva: 01:43) Así que voy a ir al caso 3D. Así que, ahora, vamos a probar las rotaciones 3D No creo que tenga ganas de montar 3 por 3 matrices con un montón de m s y subíndices y todo eso. Por lo tanto, sólo lo escribiré con puntos en su interior. Por lo tanto, tenemos matrices más grandes es ahora, sólo voy a escribir algunos puntos aquí y hacerlo rápido que puede llenar en el m s si le gusta.
Así que, ahora tengo 9 grados de libertad para una transformación lineal de 3 por 3 con entradas de valor real aquí. Así que, empezamos con 9 puntos y quiero usar el mismo tipo de razonamiento ahora, vamos a dar nombres a estos vectores de columna aquí. Entonces, voy a llamar a esto? 1,? 2??? ? 3. Por lo tanto, voy a utilizar eso para referirse a estas columnas porque si usted recuerda en el caso de 2 D nos seguimos refiriendo a las columnas. Entonces, me limitaría a referirse a aquellos como? 1,? 2,? 3 uno también puede querer referirse a ellos como??,?? ??? ??, pero yo soy puedo ser cuidadoso si no quiero hacer que se vean como subíndices escalares.
Así,. Así que, basta con tomar? 1,? 2,? 3 alright. Entonces, la restricción número uno ¿qué era el número de restricción que alguien recuerda?
Estudiante: (Tiempo De Referencia: 03:01). Por lo tanto, la longitud del vector debe ser 1 y. Por lo tanto, si tomo el si cuadrado cada uno de los componentes y agregarlos.
(Consulte la hora de la diapositiva: 03:13). Debería ser igual a 1. Supongo que sólo puedo escribir que el uso de la notación de norma de un álgebra, pero si usted comodidad más justo cuadrado cada elemento agregarlos. Por lo tanto, la norma de V 1 debe ser igual a la norma de V 2, debe ser igual a la norma de V 3, debe ser igual a 1.

(Consulte El Tiempo De Presentación: 03:36) Y. Así que, empezamos con 9 puntos, ¿cuántos solo perdí?
Estudiante: (Tiempo De Referencia: 03:42).
Tres a la derecha. Así que, perdí 3 ahí. Por lo tanto, tengo esto reconsiderar esta cosa me da un grado de pena de libertad de 3 que usted sabe.
Por lo tanto, perdí 3 grados de libertad justo 2, 2 era esta cosa sobre los productos internos derecho que tienes para evitar el esquileo. Por lo tanto, usted tiene que tener los productos internos ser igual a 0 a la derecha los productos de punto entre las columnas que las columnas, Yo jo una vez que todos ellos todos nos dejan ver bien productos de punto no hay realmente un producto de triple vía aquí mismo. Así que, llegamos a hacerlo en parejas muy buenas. Por lo tanto, hacemos todos los pares de (Tiempo de referencia: 04:20) ver si elige 2 es igual a 3. Por lo tanto, hay 3 pares que no importa, lo que el pedido es porque los productos de punto no se preocupan por ordenar los productos cruzados.
Por lo tanto, supongo que sólo necesito elegir el par s aquí. Por lo tanto, digo que necesito tener V 1 punto V 2 igual a 0, necesito tener V 2 punto V 3 es igual a 0, y V 1, V 3 derecho obtener el otro par. Por lo tanto, necesito tener V 1 punto V 3 igual a 0.

Así que, cuando pongo todo eso juntos supongo que he perdido 3 grados más de libertad. Hey no malo en hacer el mismo tipo de patrón que para 2 D. Así, perdimos 3 más con estos todavía tenemos la tercera condición que está en nosotros no queremos imágenes de espejo.
Entonces, 3 necesitamos tener el determinante de esta toma 3 por 3 matriz sea igual a 1 y de nuevo esto no va a bajar los grados de libertad, esto lo va a mantener igual solo va a eliminar la mitad de los casos. De hecho, debido a que cada transformación duplicada tiene una correspondiente que no está duplicada, se está deshaciendo exactamente de la mitad de ellos. Así que, en el caso de 2 D como dije que había como un buen círculo y un círculo de espejo, había el círculo de rotación verdadero y el círculo de espejo.
Ahora nos queda un conjunto de 3 dimensiones o un espacio de 3 dimensiones de rotaciones tenemos 3 grados de libertad que tenemos que conseguir nuestros dedos en ella de alguna manera describirlo de alguna manera tenemos 3 grados de libertad izquierda y fue en 2 diferentes componentes hay como la parte reflejada y la parte sin espejo. Esta restricción elimina la parte no duplicada. Por lo tanto, si quieres tener la parte reflejada entonces simplemente hacer que el determinante sea negativo uno y. Por lo tanto, vamos a evitar eso. Por lo tanto, para el momento en que se nos haga finalmente, tenemos lo que deberíamos tener hasta aquí abajo de las 3 restricciones.
Y tenemos 3 puntos para 3 puntos cuatro rotaciones 3D bien.
(Vea el tiempo de la diapositiva: 06:48) Así que, voy a empezar con una manera sencilla de describir las rotaciones en 3D, y luego después de eso llegar a la forma más apropiada para hacer las cosas que queremos hacer. Así que, para empezar aquí y vamos a tomar un descanso en breve, déjenme empezar aquí con los 3 canónicos de las 3 rotaciones canónicas que son de guiñada, de paso y de rollo. Por lo tanto, estos van a ser 3 parámetros independientes que podemos usar para describir las rotaciones, son lo más que diría intuitivo y fácil para que la gente entienda, pero causan muchos problemas y daños más adelante. Así que, voy a presentarles por primera vez que podemos hablar de ellos, son ellos son útiles si los mantienes separados, pero cuando los combinas juntos a veces acabas con un lío.
En primer lugar, asegúrese de que todos sabemos de lo que estamos hablando. Por lo tanto, yaw va a ser este derecho que todos hagamos esto juntos. Por lo tanto, yaw es como este buen lanzamiento. Por lo tanto, yaw no es como ningún derecho y el tono es como si y luego rodar es así, que si entiendo los gestos de la cabeza por aquí significa tal vez usted sabe. Por lo tanto, no estoy seguro de que sea así. Así que, así que tenemos sí no y tal vez. Así que, así que todos hagamos esto juntos. Por lo tanto, yaw lo dice juntos. Estudiante: Yaw Pitch. Estudiante: Pitch.
And roll. Student: Roll. Roll and. Por lo tanto, mantenga esas rectas es muy servicial yaw pitch and roll. Así que, déjenme escribir las matrices para estos y luego lo haremos y entonces vamos a romper la guiñada, voy a escribir así que voy a decir que es una matriz de rotación, con un parámetro alfa y parece que este coseno alfa 0 pecado alfa 0 1 0 menos el pecado alfa 0, coseno alfa. Esto se parece mucho a la matriz de rotación de 2 dimensiones, si usted mira las esquinas y la parte central se ve una guiñada como la matriz de identidad derecha. Por lo tanto, la parte central se parece a la matriz de identidad porque está diciendo básicamente no molestar a la coordenada y.

Si hago un vaivén hacia atrás y adelante aviso que el aviso de sí que, la coordenada y no está cambiando a la derecha, he olvidado mis coordenadas para un poco aquí sí y es hacia arriba. Por lo tanto, el aviso y no está cambiando cuando hago esto correcto sólo x y z son. Por lo tanto, es esencialmente una rotación en el plano x z, por eso se ve como la matriz de rotación de 2 D. Esto es un poco de cambio con respecto a él, pero eso es porque estos están apareciendo en la esquina si usted hace un cambio circular hacia abajo y hacia entonces se verá exactamente como la matriz de rotación de 2 D que se aplica.
Por lo tanto, el tono es muy similar escribimos R de beta digamos, lo que el acceso se deja sin molestar para el tono lo siento hacer esto x es imperturbable. Por lo tanto, ya podemos adivinar que la parte x va a parecerse a una matriz de identidad, y luego aquí en esta parte restante este bloque restante sólo hacemos la matriz 2 por 2 rotación, pero con una beta cosina beta, menos el pecado beta ssine beta cosine beta y luego finalmente, roll; roll debe dejar la coordenada z sola entonces a la derecha. Entonces, z va hacia adelante y hacia adelante z es la profundidad. Entonces, z va y viene cuando hago un rollo no debería estar interfiriendo con eso, hicimos alfa beta gamma. Por lo tanto, el parámetro gamma representa que obtenemos cosine gamma menos sin gamma, sin gamma, coseno gamma. Por lo tanto, el bloque superior es exactamente esta matriz de rotación de 2 dimensiones.

Pero correspondiente al plano x y, y luego la parte z es la identidad 0 0 1 0 0 0 1 derecha. Así que, eso es lo que obtenemos y ahora si quieres generar cualquier otra rotación 3D, solo necesitas escoger alguna cantidad de guiñada, alguna cantidad de lanzamiento, y alguna cantidad de rollo y luego puedes aplicarlas secuencialmente y eso generará cualquier rotación, pero podría no proporcionarla y ella. De hecho, no proporciona una representación hermosa en el sentido que mencioné donde un pequeño cambio en estos parámetros, puede o no corresponder a la misma cantidad de cambio en la rotación física real, y esa es las dificultades a las que estaremos llegando después del descanso.